Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Однако сравнение членов более высокого порядка показывает, что ато тем не менее оказывается хорошим приближением к величине Р— Р'. К тому же выводу моя<но прийти весьма строгим и убедительным путем. В самом деле, среднее значение экспоненты е", где х — независимая переменная, всегда больше или равно, чем экспонента от среднего значения х, до тех пор, пока х — действительная величина и используемые при усреднении веса положительны, т.
е. р 1. 1Триызил минимума этих масс лежит вьппе кривой. Ордината этого центра тяжести равна среднему значению ординат точек, т. е. (е"). Эта величина, очевидно, превышает е< > — ординату кривой в точке, соответствующей абсциссе центра тяжести, которая равна среднему значению (х). В левой части равенства (И.5) берем среднее значение величины ее-з' по траекториям с положительными весами ез'л>х (1), где Я' и Я вЂ” действительные величины. Следовательно, в соответствии с (И.б) эта величина превысит ехр (Я вЂ” Я'), где (Я вЂ” Ю') — среднее значение Ю вЂ” Ю' при том же способе усреднения (т.
е. с весом ез'Ух (1)). Это означает, что (о — Я') = ~ ~ (Я вЂ” Б') ез'Ях(1) ц>х< ( ~ ~ ез'Ух(1) «х, ) (И.7) и, следовательно, Отсюда е<з-з'> <е-Йр-р'>. (И.8) Ро ~(г ' — — (о — 8') 1 о як (И.9) И окончательно Р<Р' — 6, (И.10) где 6= — ~ ~ (Я вЂ” К)ез'Юх(1)б>хг ~~ ~ ез'6»х(1)д>х< ) . (И.И) Именно здесь оказывается кстати принцип минимума.
Он гласит, что если бы мы вычислили Р; — 6 для различных «действий» Ю', Ф н г. 11.1 Экспонента от среднего н среднее от экспоненты. Мы считаем, что весовые множители а< положительны, и раеематрвваеи их как раалвчиые иаеоы, разнеженные вдоль кривой, тогда воледотвяе вогвттаети кривой е* вкеповевта от среднего значения л, т. е. е<*>, должна лежать виже, чем ередневзвеженное от внопоиенты.
Величина е<*> лежат ва кривой, а <е" > — центр тяжести уназанных точек — должеы быть раеноложеп над кривой. Га. 11. Вориазионный метод 324 то результат, дающий наименьшее значение, был бы наиболее близок к правильному значению свободной энергии Г'). На самом деле энергия Р соответствует, конечно, случаю Я' = Я, однако можно считать, что если Я и Я' отличаются на некоторую величину первого порядка малости, то отличие Г' — Ь от Г не превьппает величины второго порядка малости.
Если бы удалось угадать общий вид функции Я', пусть даже с точностью до каких-то неопределенных параметров, то можно было бы вычислить Р' — б, оставляя эти параметры неизвестными. Затем, минимизируя Р' — 6, можно было бы подобрать лучшие значения этих параметров, «лучшие» в том смысле, что для них Р' — б наименее отличалось бы от истинного значения энергии Г.
Аналогичный принцип минимума можно использовать, чтобы определить приближенное значение энергии наинизшего состояния системы Ео. Напомним, что я=е-де= ч~' ,е-дки. (11.12) и=о По мере того как температура системы убывает (т. е. с ростом величины ))), члены этого ряда, содержащие более высокие значения энергии, становятся все менее и менее существенными. При определенных обстоятельствах в ряду Я будет преобладать член с наименьшей энергией е дно, т. е. 1пп Я=я-зло. (11.13) з-» Теперь, рассуждая подобно предыдущему случаю, можно просто ааменить в формулах Р на Ео. Определим Е; как результат вычисления интеграла по траекториям с новым действием Я' и запишем Е«~~Ео (11 14) в качестве первого приближения в пределе больших значений р.
При отыскании Ео с помощью этого приема наша задача будет несколько проще, чем в случае свободной энергии Г. В частности, можно пренебречь условием совпадения начальной и конечной точек траекторий. Чтобы понять это, вернемся к выражению (10.28) и заметим, что с ростом р в матрице плотности р (х', х) доминирующим также становится член нулевого порядка и она ') Стоит снова подчеркнуть, что кзк Я, тзк и В' пз являоотся фунвцпопзлами действия в собственно фнзнчзснзм знзчзнпн »гого понятия, гзк кзк обз снн содержат минную пзрсмзнную и, нспзльзовзнную в качестве овремсннбй» переменной.
Однако оперировать с нвтзгрзлзмп по трззкторяям для этих функционалов можно тзк жз, кзк для использованных выше физических фуннцнонзлов дзйствня. г" 2. Применение вариаэионново метода стремится к величине е Злв~ро (х')~рвв (з). Поэтому точки х' и х войдут только в предэкспоненциальный множитель, и их положение не повлияет на поведение экспоненты, в то время как оно является основным в таком вычислении Е,. 2 2, Применегеие оариаееионного метода В качестве примера вычисления функции распределения с использованием только что описанного вариационного принципа рассмотрим случай одномерного движения одной частицы.
Используя приближение, развитое в гл. 10, действие для такой частицы можно записать в виде 8= — ~ ( — [х(г))е+У [х(г))~ еЫ. (11.15) Ь Тогда при больших значениях р функция распределения равна хо з е-злв ж ~ ~ ~ехр~ — ~ ( — [х(г))а+1' [х(г)])е(г) ~ Ях(г)авто. (11.16) хв о Этот интеграл взят по тем тракториям, которые возвращаются к исходным начальным точкам; после его вычисления проводится дальнейшее интегрирование по всем возможным начальным точкам. В з 2 гл.
10 мы уже рассмотрели аналогичную задачу и выяснили, каким образом здесь можно получить классическое приближение. В классическом пределе при высоких температурах (когда ееТ велико по сравнению с «) величина рб столь мала, что траектории, проходящие далеко от точки хо, не дают заметного вклада. Поэтому потенциал можно заменить постоянной величиной [г (х,), и вклад интеграла по траектории будет постоянной величиной, равной е а (е З о)нааооии ~ ~/ ~ е З Е ~ его 251 (11.17) как показано в выражении (10.18). В гл. 10 рассматривалось квантовомеханическое уточнение классического результата путем разложения потенциала в ряд около среднего положения траектории с точностью до членов второго порядка. Дальнейшее уточнение было достигнуто с помощью потенциала П, полученного специальным методом усреднения.
Теперь мы видим, что такое приближение явилось частным случаем применения вариационного метода. Чтобы пояснить эту мысль, пересмотрим основные пункты рассуждений, используя обозначения и понятия этой главы. Га. 11. Вариазионныа метод Нашей задачей является вывести подходящую пробную функцию И' (х), где х — среднее положение траектории, определяемое выражением в х= — ~ х(е)е[8. (И 18) Вдоль любой конкретной траектории эта подстановка фиксирует значение потенциала, так что действие принимает новый вид в 8 = — ~ — ", ' (г 6И ( ). о (И.19) С помощью этого более общего выражения можно вычислить как г", так и (8 — Я'>.
Следуя тем же путем, используем выражение (И.14). После всех необходимых подстановок получим ~ $ ~охР( — ~ 2 иоде) ~(охР[ — РИ'(аШЯа(е) дао 'о х ( — ~ ~ ( — ' ~ р [х (г )] а — И (х)) х в х ~ехр( — ~ — хоеИ) ~ (ехр[ — РИе(х)]) Ях(ю) о[хо). (И.20) о У=хо — х. (И.21) Имеет смысл напомнить, что траектории, используемые в выражении (И.20), таковы, что их начальные и конечные точки совпадают и, подобно тому, как это сделано в формуле (И.16), в заключение проводится интегрирование по всем конечным точкам хо. Отметим, что числитель выражения для 6 очень похож па выражение для 1 (х), введенное в (10.63), если ограничиться траекториями со средним значением х и отложить интегрирование по всем возможным аначенням х на последний этап вычислений.
Так же как и при нахождении величины 1 (х), мы видим, что числитель в Ь не зависит от е'. Интегралы по траекториям в числителе и знаменателе можно вычислить с помощью методов, применявшихся в гл. 10, и воспользоваться при этом результатом (10.65), заметив, что 2. Применение еариавионного метода Так как энаменатель является просто частным случаем выраже- ния, стоящего в числителе, то ОС С б= ~ ~ (]е(хо) — И'(х)] ~ехР ~ — — (хо — х)а~) Х ОС С Х (ехР( — [И'(х)]) е]хо г]х Х ( ~ ~ (ехР ~ — (хо-х)а| ~ Х СО О Х (ехР[ — бйс(х)]) Нхо Ых) а.
(И.22) Интеграл по хо в знаменателе выражения (И.22) легко вычиСЛяЕтоя И даЕт (ря !бт)с/а. КРОМЕ ТОГО, ИНтЕГраЛ В ЧИСЛИТЕЛЕ, СОдЕржащий ]т' (х), дает в точности такой гке сомножитель. Для последующего интегрирования в числителе и упрощения окончательного выражения удобно ввести функцию О У(х)= $/ — „б ~ ]е(хо) ~ехр ~ — — „(х,— х)е~~ е]хо. (И.23) Вид функции й (й) отражает учтенный нами квантовомеханический эффект. Эта функция является средневзвешенным потенциала [е (х,) с гауссовой весовой функцией, подобно тому, как мы имели для функции У (х,), определенной соотношением (10.68); ширина гауссовой кривой равна снова (]]йа/12т)ма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
