Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Однако соотношение между импульсом и длиной волны и между энергией и частотой не изменяются при переходе в релятивистскуюобласть. Поскольку это именно та длина волны, которая определяет разрешающую силу такого «электронного микроскопаэ, то использование (без конкретного вычисления импульса) нерелятивистских формул является вполне законным. Задача 6.10. Рассмотрим двухатомную молекулу, состоящую из атомов А и В, центры которых задаются векторами а н Ь.
Используя борновское приближение, покажите, что амплитуда рассеяния электрона на такой молекуле Кпв = еб?">ч ~л (й) + ерш>«ь1в (о), (6.57) где 1л и?в — амплитуды рассеяния электрона на отдельных атомах при допущении, что каждый из этих атомов располагался бы в начале системы координат. Межатомные связи слабо влияют на распределение заряда вокруг ядер (за исключением очень легких атомов, таких, как водород), так как силы этих связей действуют лишь на самые внешние электроны атомных оболочек. Используя соотношение (6.57), покажите, что вероятность рассеяния при заданном значении передаваемого импульса д пропорциональна сумме >х + 1в + 21л1в соз («1 «в), где «( = а — )>.
Вычисленные в борновском приближении амплитуды 1' являются действительными величинами и применимы для тех энергий электронов (порядка т кэв), которые обычно используются в дифракционных опытах с молекулами. Однако если молекула состоит из очень тяжелых атомов, таких, как уран, то атомный потенциал У становится настолько большим, что борновское приближение оказывается уже недостаточно точным для описания экспериментов. В этом случае необходимо внести небольшие поправки. Задача 6.11. Предположим, что молекулы ориентированы совершенно случайным образом.
Покажите, что эффективное сечение рассеяния электронов, усредненное по совокупности таких молекул, пропорционально сумме Й + >' + 21и?в (з>п (в( Х хв()/(в( 6)). Как обобщить этот результат на случаймногоатомных молекул? 4. Рассеяние электрона ыа атоме $57 Все эти результаты лежат в основе электронной дифракционной техники, позволяющей определять форму различных молекул.
Задача 6.12. В предположении о независимости потенциала р' (г) от времени покажите, что интегрирование по времени в выражении для ядра К'в (Ь, а), описывающем рассеяние во втором порядке теории возмущений, приводит к формуле "" ' =(..")'Ы.)'"1 1"'".'.„'::,'„"" Х ~ ЕХр ( —,) (Г„< + Г„+ Г»н)э 1 $г (Гс) )Г (Гб) Рте Ртб, (6.58) где точки а, ь, б и с< расположены так, как это показано на фиг.
6.9; величина г,б равна расстоянию между точками с и б< и т. д. Полагая, что потенциал гг (г) становится пренебрен<имо малым на рас стояниях, небольших по сравнению с Л, и Л», покажите, что Ф и г. 6.9. Учет членов второго порядка в равложении теории возмущений. Кав яа фиг, б.х <случай э), здесь изображено рассеяние алектрона атомным потенциалом в двух рааличных точках. Электрон выходит нз точки о и движется нан свободная частица до гочки с, где он рассеивается; после етого электрон снова движется иаи свободная частица до точки б, где происходит еже одно рассеяние, и далее снова продолжается свободное двжнение вплоть до точни», где электрон попадаегв счетчик.
Точни с н П могут находиться в любом месте прострайсгва. Атомный потенциал в этих гочявх вависит от длин радиусов-векторов г и гщ измеряемых ог центра атома О. с эффективное сечение дается формулой а = ( 7 ~х, где 7 — амплитуда рассеяния, содержащая лишь члены первого приближения: г 2пах,) гс гб + ( — ) ~ ~ Е <' " Р» 'б'г'(Гб) ( — ) Е<П»ижсб Х Х 'гг(г,) е~п"~рс'" «эг, «зуб+члены более высокого порядка.
(6.59) Здесь р» — импульс электрона, вылетающего в направлении К», а р, — импульс электрона, движущегося в направлении 158 Га. д. Метод теории еоемкее<ений е кеантоеой механике — В,. Абсолютная величина импульса равна р, и она почти не меняется при упругом рассеянии электрона на относительно тяжелом атоме. Можно было бы ожидать, что, когда борновское приближение становится недостаточно точным, имеет смысл вычислять в качестве поправки члены второго порядка и т. д.
Но на практике оказывается, что в выражениях типа (6.59) мы встречаемся с весьма медленпо сходящимися рядами. Если второй член дает сравнительно заметную поправку (например, 10о<а),то каждый следующий член даст ненамного меньший вклад, так что получить существенное улучшение результата довольно нелегко.
Конечно, в задачах, где погрешности борновского приближения сравнительно малы (скажем, меньше лаз), учет второго члена является вполне хорошим способом вычисления поправок. Описание рессеяния с помощью волновой функции. В рассмотренных выше экспериментах по рассеянию мы предполагали, что в начальном состоянии электрон был свободной частицей с импульсом р,. Предполагалось также, что величину этого импульса можно определить методом измерения времени пролета (т.
е. по полному времени Т, необходимому для прохождения расстояния Л, + Ль). Конечно, не обязательно использевать именно этот способ; нас вполне удовлетворит любое устройство, которое позволит определять величину импульса. Поэтому обобщим рассмотренную картину процесса рассеяния, воспользовавшись понятием волновой функции. Допустим, нам известно, что влетающий электрон имеет импульс р, и энергию Е, = ра/2т.
Следовательно, волповая функция налетающих электронов ,р — е«<л<ва'е-<Ыл<ва< (6.60) Использовав теперь два первых члена соотношения (6.25), мы можем в первом приближении теории возмущений записать следующее выражение для волновой функции вылета<ощих электронов: ф(В < ) <ыю'а нье-Ял<ка<ь <ь, ~ ~ Ко(Кь еь; г, <)У(г, <) е<ыюг ее-<Ыл>ка<сРг~й. (6.61) ь Первый член в этом выражении представляет собой дебройлевскую волну свободных частиц, которые проходят область действия потенциала, не рассеявшись.
Второй член — амплитуда рассеянных электронов. Коли обозначить его через ф„то эта функция опишет рассеянную волну. 159 4. Рассеяние елгхтрона на атоме Задача 6.18. Предположим, что потенциал У" (г, 1) в действительности не зависит от времени 1. Подставив в формулу (6.61) выраяеение ядра К„соответствую)цее движению свободных частиц, и проинтегрировав полученный результат по переменной 1, покажите, что $ (~ь 1ь) = се) ) ь ь (снуь)ра нь с "ьс где гьс — расстояние от конечной точки Ь до переменной точки интегрирования с, а р — абсолютная величина импульса электтрона.
Ф и г. 6.10. Рассеяние электронного пучка на атомном наре, Пучок электронов можно представить в виде еквнвелентной ему плоской волны, движущейся по направлению к атомному ядру, расположенному в точке Я = О. Правее этой точки большая часть пучке будет по-прежнему двигаться как невоемущеииея плоская волна с импульсом р . Меньшая честь пучка рассеивается не ядре и расходится от точки О в вине сферйческой волны.
Поэтому суммарная интенсивность )т.е. число електроиов) в некоторой точке ь, определяемой Радиусом-вектором кь, состоит ие двух частей. Одна ие пих представляет сОбой нерессеянный пучок, описываемый плоской волной ехр Пр .Вь)Ь). Вторая — сто рассеянная сферическая волна и/ВЬ) ехР ПРКЬУЬ) с еевисящей от углов амплитудой Ь Комбинация еткх двух волн определяет пространственную часть волновой функции пучка електронов после рас- сеяния. Предположив снова, что на небольших по сравнению с Л„ и Ль расстояниях потенциал спадает до нуля, покажите, что выражение (6.62) мелеет быть записано как ПНОРЯЬ ф(р)ь 1Ь) =с1 День'ьсннора'кь+е ' Ль 160 Гл. Е.
Метод теории вовмииВеыий е квантовой механике где амплитуда рассеяния 1 следующим образом выражается через функцию и (д): с(Ч) (6.64) 2ыве [см. соотношение (6.35)). Последний член формулы (6.63), функцию (1!Ль) ехр ((рйьй), можно рассматривать как пространственную часть волновой функции рассеянных частиц. Она имеет вид сферической волны, расходящейся из центра рассеивагощего атома. Для каждого определенного угла рассеяния амплитуда этой волны зависит от угла через функцию ~, которая, как видно из формулы (6.64), изменяется в зависимости от величины передаваемого импульса д. Таким обрааом, полная волновая функция электронов после рассеяния может рассматриваться как сумма двух членов.
Первый член представляет собой плоскую волну нерассеянных электронов ехр ((р, ° Кь/Ь), второй член — сферическую волну рассеянных электронов, как показано на фиг. 6.10. Используя такой подход, выведите формулу для эффективного сечения о. Задача 6.14. С помощью метода, основанного на использовании волновых функций, рассмотрите рассеяние электрона на синусоидально осциллирующем поле, потенциал которого имеет вид (6.65) У(г1) =У(г)созю1. Повалите, что в первом борновском приближении энергия расходящейся волны изменяется на величину, равную;Е ю.
Что дадут члены высших порядков) д б. Возмущения, вависяи1ие отп времени, и амплитудм переходов Амплитуда перехода. Теория возмущений оказывается особенно полезной, когда потенциал бе, соответствующий невозмущенной задаче, не зависит от времени. Из соотношения (4.59) видно, что ядро в этом случае может быть разложено в ряд по собственным функциям вры и собственным аначениям невоамущенной задачи Ко (2, 1) = ~~~~~ вР (ха) Д (х,) е — 6™"д'е-'о длЯ 1з ) Г, (6.66) (для простоты ограничимся случаем одномерного движения). Рассмотрим теперь полученные ранее разложения ядра Ки (2, 1), подставив в них выражение для Ко.
Коли выписать только два З а. Веаавввееиип, аевипеизие ет ереавеии 161 первых члена, то Къ (2 1) =',~ врп(хз) ф~~(х,) е Плпявдез вз>— — — Я ~'„~ ф (х,) ф" (Хз) а'(хз зз) е-<вв /лквз ва>ф (хз) Х и т Х вр,', (хв) е <ввп/лдез-ез) свхз ~йз+... (6.67) Ясно, что в каждом члене разложения переменная х, входит лишь через волновую функцию ф* (х,); аналогичным образом входит и переменная хз, поэтому ядро Кг мы всегда можем записать в виде Кк (2в 1) = еа с~~ Лтп (Зю зв) фт(хз) фп (хв)в (6.68) и т Обозначим для краткости т тп (зз) = ~ фт (хз) те (хзв Гз) фп (хз) е(хз -ОЭ (6.71) (эта величина иногда называется матричным элементом потенциала У, взятым между состояниями п и т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
