Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(6.18) Выражение в скобках имеет такой же вид, как и правая часть соотношения (6.17); суммирование в обоих случаях производится по бесконечному числу членов. Это означает, что ядро Кг можно записать как Кт(Ь, а) =Ко(Ь, й) — — ' ~ Ко(Ь, с) У(с)Кг(с, а) дт„(6.19) что является точным выражением. Мы получили интегральное уравнение, определяющее ядро Ки, в случае, когда известно ядро Ко (заметим, что для ситуации, описанной в задаче 6 1, ядро Ко нужно заменить на Ко). Следовательно, проблема интегрирования по траекториям сведена нами к решению интегрального уравнения. Физически этот результат можно интерпретировать следующим образом. Полная амплитуда перехода системы из точки а в точку Ь посредством любого числа актов рассеяния может быть представлена как сумма двух амплитуд.
Первая из них — амплитуда вероятности того, что движение частцы происходит без рас- у 2. Иьюпееральчсое уравненчве для ядчча Хг Прежде чем применить результаты предыдущих параграфов к научению конкретных примеров, получим некоторые общие математические соотношения, включающие ядра и волновые функции для систем, движущихся в потенциальном поле. Используя предыдущие результаты, можно записать соотношение (6.4) в виде Кт (Ь, а) = Ко (Ь, и) — — ' ~ Ко (Ь, с) У(с) Ко (с, а) е[т,--' 143 у 3.
егнтегралъное уравнение дяя ядра Ку сеяния (ядро Ко). Вторая — амплитуда перехода, происходящего с одним или большим числом рассеяний. Эта амплитуда выражается последним членом соотношения (6.19). Точка с здесь может мыслиться как точка, в которой происходит последнее рассеяние. Таким образом, система движется от точки а до точки с в потенциальном поле, и это ее движение точно описывается ядром Ку (с,а). Затем Ь д Ф и г. 6.3. Общий случай. В случае 1 частица, на которую действует потенциал у, движется от тачки а до точки ь как свободная; ато описывается амплитудой к,(ь,а). в случае а частица рассеиваетс~ на потенциале У один или большее число раа, йричем последнее рассеяние происходит в точке с.
Движение иа точки а в точку е опнсывается ядром К (г, о), а иа точки е в точку Ь вЂ” ядром К, (Ь, с). Комбинация этих двух случаев, в которой учтены все положения точки с, охватывает все воаможвости и дает для Ку (Ь, о) уравнение (0.10). в точке с происходит последнее рассеяние, после чего система совершает переход как свободная (без рассеяний) в точку Ь. Эта часть движения описывается ядром К,.
Все сказанное вьппе иллюстрируется фиг. 6.3. Последнее рассеяние может произойти в любой точке пространства и времени в промежутке между точками а и Ь, поэтому амплитуда для слон(ного движения, представленная подынтегральным выражением в последнем члене формулы (6.19), должна быть проинтегрирована по всем возможным положениям точки с. Задача 6.6. Для свободной частицы уравнение (4.29) сводится к следующему: Л д Ьа да — — — Кс(Ь (1)+ 3 д г КО(Ь~ о)=(йб((ь д~)6(хь — х) (6.20) Используя это уравнение и уравнение (6 19), покажите, что ядро Ку удовлетворяет дифференциальному уравнению В д Вв дв — — К( (Ь, а)+ — —,Ку(Ь, а)+ т'(Ь) К„(Ь, а)= дхь =13 6 (хь — х,) 6 (10 — 1,).
(6.21) $44 Гл. д. Метод теории вовмуецений в квантовой механике у 3. Ранложенме волновой фунтвцим В $4 гл. 3 мы ввели понятие волновой функции и рассмотрели некоторые соотношения, связывающие волновые функции и ядра. Соотношение (3.42) показывает, каким образом с помощью ядра, описывающего движение системы в промежутке между двумя моментами времени Ь, и Ьь, можно получить волновую функцию для момента Ьь, если известна волновая функция для более раннего момента времени Ь,. Здесь вто уравнение нам будет удобно записать в виде вр(Ь) = ~ Кг (Ь, аИ (а) е[х„ (6.22) где )'(а) — значение волновой функции в момент времени Ь = = Ь, [т.
е. )'(а) — функция точки х,[, ф (Ь) — волновая функция для более позднего момента времени Ь = Ьь '). Мы предполагаем такпее, что в промежутке между этими двумя моментами времени система движется в потенциальном поле У, где ее движение описывается ядром Кт (Ь, а). Если разложенное в ряд ядро Кк [см. формулу (6.18)) подставить в соотношение (6.22), то мы получим разложение в ряд функции вр (Ь).
Таким образом, вр (Ь) =- ~ Кэ (Ь, а) ~ (а) еех,— — — ~ Кс (Ьв с) У (с) Ко(с, а) Нто~ (а) «)ха+ ° ° (6 23) Первый член этого разложения дает волновую функцию для момента времени Хь в предположении, что между Ь, и Ьь система остается свободной (или невовмущенной, в последнем случае ядро Кс нужно заменить ядром К„). Обозначим этот член через ~р <р(Ь)= ~ Ко(Ь, а))'(а) е)х .
(6.24) Используя зто определение, ряд (6.23) можно переписать теперь как тЬ(Ь) =ер(Ь) — — „' ~ Ко(Ь, с) й(с)ер(с)е[т,+ + —,, ~ ~ Ке(Ь с)У(с)Ко(с е())е(е()ер(е()Нтеатй+.... (6.25) Записанный в таком виде ряд теории возмущений называется борковским разложением функции тр. Если ограничиться только ') Заметим, что наше условие Хс (Ь, о) =О для еь ( Е„приводит к тому, что соотношение [6.22) становится непригодным, если еь( е, однако в области таких значений е мы не будем пользоваться этим соотношением. $45 4. раеееаэие Елаатрока ка атоме первыми двумя членамн (т. е. учесть лишь первый порядок разложения по Р), то получим первое борковское приближение.
Оно соответствует единичному рассеянию на потенциале У. Это рассеяние происходит в точке с. До этой точки движение системы является свободным и описывается функцией ~р (с), после рассеяния система снова движется как свободная от точки с до точки Ь и описывается ядром К, (Ь, с). Интеграл должен быть взят но всем возможным точкам, в которых происходит рассеяние. Когда используются три члена ряда (т. е. учитывается второй порядок по р), результат называется вторым борковским приближением и т.
д. Задача О.А Используя соображения, подобные тем, что привели нас к уравнению (6.19), покажите, что волновая функция ер (Ь) удовлетворяет интегральному уравнению '~(Ь)=~р(Ь) в ~ Ко(Ь, сЯ(с)ер(с)е) (6.26) Это интегральное уравнение эквивалентно уравнению Шредингера — —,— + — у ф+уф=о. В дев Ва д1 2т (6.27) Ограничившись одномерным случаем, покажите, как получить уравнение Шредингера из интегрального уравнения (6.27). у 4.
Рассеяние элентнрона на атпомс Математическое рассмотрение. Идею метода и формулы теории возмущений мы рассмотрели пока несколько формально. Чтобы выяснить физический смысл этой теории, рассмотрим теперь конкретную задачу о рассеянии быстрого электрона на атоме. Рассмотрим эксперимент, в котором пучок электронов бомбардирует мишень из тонкой металлической фольги, а затем попадает на соответствующий счетчик, как зто показано на фиг.
6.4. Предположим, что энергия рассеивающихся частиц определяется методом измерения времени пролета. Это означает, что мы фиксируем электрон, вылетающий из источника в некоторый момент времени, скажем ~ = О, и определяем, какова вероятность того, что он попадает в счетчик через некоторый промежуток времени, равный времени задержки У. Тогдамоя|но непосредственно использовать наше выражение К (Ь, а), полученное для амплитуды перехода из одного положения в другое за некоторый определенный промежуток времени.
Можно упростить задачу, предположив, что взаимодействие является настолько слабым или фольга настолько тонкой, что каждый электрон будет взаимодействовать, как правило, лишь с одним 146 Гл. 6. Метод ггвории возмущений в квантовой механике атомом. Фактически для большинства экспериментов с рассеянием это предположение является весьма реальным. Более того, в целом ряде случаев многократное рассеяние также можно анализировать на основе простого однократного рассеяния на одном 6> и г.
6.4. Вксперимепт с рассеянием алвктронов. Электроны, испаряющиеся с электрода в точке а, собираются в пучок с помощью коллимвруюашх отверстий в экранах Я и Я' и бомбардируют далее мишень из тонкой Фольги в точке О. Вбльжая часть электронов проходит по прямой без рассеяная (если, конечно, их энергия достаточно велика, а мишень достаточно тонкая), но невоторыо алектроны отвлоняются при взаимодействии с атомами мишени и рассеиваются, например, нод углом О в точку Ь. Воли счетчик в точке Ь перемещать вверх и вниз, иожно установить аависимость между относительным числом рассеяяий и углом рассеяния О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
