Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 31
Текст из файла (страница 31)
е. Р(И) / т )3 из (6.41) ед. объема г 2яа / Т (П +Аз)з ' так что Р(Ь) / т )З (Во+Па)З Р („= ), „„, ) ! Р (Ч) )' „' (6.42) В $ 5 мы дадим геометрическую интерпретацию этого отношения и более детально рассмотрим функцию»г («1). Эффективное сечение рассеяния. Характеристики атома в экспериментах с рассеянием удобно описывать с помощью понятия эффективного сечения рассеяния '). Привлекательность такого '] В литературе вместо термина «аффективное сечение» часто используются также термины «поперечное сечение» нлн «эффективное поперечное сечение». Все зтн термины совершенно эквивалентны.— Прим. Рве. 152 Гл.
б. Метод теории еоемукгений е леантоеай механике подхода обусловлена нашей привычкой к представлениям классической физики. Эффективное сечение и определяется как та эффективная площадь атома-мшпени (в классическом смысле этого слова), которую должен иметь перед собой электрон, чтобы рассеяться в единичный телесный угол. Этот телесный угол измеряется относительно сферы, центр которой совпадает с центром Ф к г. 6.8.
Частицы бомбардируют площадку ао мишени и отклоняются па угол 6, попадая па площадку, измеряемую телесным углом аье. Если бы не произошло ыи одного соударения, все частицы попели бы в точку б. Вместо етого они пописают в точку Ь, раабрасываясь по площади павля.
ВеРоятность обнаружнгь частицу в точне б обратно пропорционалена площадк, по которой распределит- ся пучок в точке б. Аналогачно вероятность обнаружения частицы в точке Ь обратно проыорциональыа площади кабо, по котоРой распределится пучок рассеявшихся частиц, когда онн долетят до точны Ь. Вели ваять отношение втих площадей, ео получим обратную величину отношения соОтветствующих вероятностей. С втой тачки арения мы говорим, что все частицы, которые попадают на мяшень площадью Пщ рассеиваются на угол 8. В деасгевгеаькосгн, канечыо, только немыогае иа частиц, Ьопааающих на мншеыь, вообще рассеиваются и только часть ив них — на угол 8.
Итак, элемент площади ао, который мы испольеовали в ыашвх расчетах, есть еффекс1иекое попепечное сечение рассеания на угол 8, отнесенное к единице телесного угла бо, в которой рассеиваются чеегицы. атома. Эффективное сечение будет поэтому функцией угла рассеяния, т. е. функцией угла между векторами К, и Вь. С помощью такой классической модели мы можем выразить вероятность попадания электрона в заданную точку Ъ. Ксли частицы, вылетающие из начала координат, сталкиваются на расстоянии Л с мишенью площадью сьо, то эти частицы уже не попадут в область сь', где они имели бы разброс в круге с площадью ((Ла + Ль)гЛ,)вас. Вместо этого они полетят в телесном угле Ый в направлейин Ь и будут, следовательно, иметь разброс ко площади Льда, как показано на фиг. 6.8.
Поэтому отношение вероятности попадания частицы в точку Ь к вероятности ее попадания в точку сь, на пути к которой не было соударений, равно обратному отношению этих площадей: Р (Ь) (па+ йЬ) с(О1Ла яь й() (6г43) Э а. Раоееяние электрона на атоме Сравнивая выражения (6.42) и (6.43), мы видим, что эффективное сечение рассеяния в единицу телесного угла есть (6.44) Основное преимущество такого применения понятия эффективного сечения по сравнению с рассмотренным выше соотношением (6. 40) заключается в том, что выраяеение (6.44) не зависит от конкретных экспериментальных условий. Поэтому эффективные сечения, полученные из разных экспериментов, можно сравнивать непосредственно, тогда как для вероятностей, отнесенных к единице объема, такое сравнение невозможно.
Следует подчеркнуть, что понятие эффективной мишени является чисто классическим и представляет собой лишь удобный способ рассмотрения вероятностей рассеяния. Между величиной эффективного сечения и раамерами рассеивающего атома не существует прямой связи и нельая представлять себе, что механизм рассеяния локализован в области именно таких размеров. Например, тень, которая при классическом рассмотрении должна появиться позади мишени, на самом деле вовсе не будет обладать свойствами классической тени с резкими границами; так как мы имеем дело с волновым процессом, то эта тень будет искажена дифракцией. Различные выражения для атомного потенциала. На примере конкретных задач здесь показаны результаты, полученные при различных предположениях о виде атомного потенциала Р (г).
Задача 6.6. Пусть мы имеем потенциал, соответствующий центральным силам, т. е. К (г) = Г (г). Покажите, что функция э (е() может быть записана в виде э э(е() =в(д) = — ' ~ г(з1п в )У(г) дг. о Если допустить, что ээ (г) является кулоновским потенциалом ге'/г, то интеграл в выражении для э (д) оказывается осциллирующим вблизи верхнего предела, т. е. при г-~.
оо. Тем не менее такой интеграл можно сделать сходящимся с помощью искусственного введения в подынтегральное выражение множителя е — '" и после вычисления интеграла перейти к пределу при е — ~- О. Используя этот прием, покажите, что в итоге получается сечение резерфордовского рассеяния 4яеета 2ее 6.46 да Гб (тиэ(2) [аж (О/2Ца ( ) $54 Гл. д. Метод теории вовмищеиий в кваитовоэ механике где е †зар электрона, э . О д=2рз(в — = 2тиэ(п— 2 2 (6.47) а 6 — угол между векторами 2, и 2ь. Результат, полученный в задаче 6.6, случайно оказывается точным в том смысле, что первое борновское приближение дает точную величину вероятности рассеяния на кулоновском потенциале. Это не означает, что члены высшего порядка обратятся в нуль; дело в том, что они вносят вклад лишь в фаау амплитуды рассеяния.
Поскольку вероятность равна квадрату модуля амплитуды, она не зависит от фааы. Таким образом, первое борковское приближение дает правильное значение вероятности рассеяния, но не является точным выражением для амплитуды. Случай кулоновского рассеяния любопытен еще и по ряду других причин. В частности, строго классическое (т. е. проделанное в предположении, что электрон ведет себя как заряженная точечная масса) исследование этого рассеяния приводит к тому же самому реаультату, Задача 6.7. Предположим, что потенциал У (г) создается зарядом, распределенным с плотностью р (г), так что Рви'(г) =4яер(г). (6.48) Пусть плотность р(г) спадает до нуля при ~г~-» со. Умножая соотношение (6.48) на ехр Пц (г/д)] и дважды интегрируя по переменной г, покажите что функция о (ц) может быть следующим образом выражена через плотность р: Г о(2() = — а ~ еп~акч в>р(г) Нвг (6.49) да Атом можно описать, используя понятие плотности заряда.
В области атомного ядра эта плотность заряда предполагается сингулярной, так что ее можно представить в виде б-функции от расстояния г с коэффициентом Я, равным заряду ядра. Если р, — плотность атомных электронов, то функция о (в)) в этом случае запишется как г о (ц) = ~~ ~ ре (г) ебтюч ° г «вввг ~ (6 50) чв Величину в скобках принято называть атомным формфактором.
(Заметим, что точно с таким же формфактором мы встречаемся при изучении рассеяния рентгеновских лучей. Действительно, в теории рассеяния рентгеновских лучей доказано, что в этом случае основную роль играют атомные электроны, а не ядро. 4. Рассеяние еяектрона на атоме Задача 6.8. Покажите, что для потенциала (6.51) 4агеаао (ч) = „,+,„,), (6.52) и, следовательно, .=я" ~ — "," ~4(эЫ2)'+ —," <11 '. (6.58) Полное эффективное сечение от определится как интеграл от сечения и по поверхности единичной сферы, т.
е. о~= ~ оЮ. о Покажите, что это сечение имеет вид 2еео о'т = яа' —, (2ив)3 ао (2ра)о (6.55) Задача 6.9. Пусть мы хотим учесть тот факт, что атомное ядро имеет конечный радиус г = 1,2.10 га х (массовое число) ~' см (6.56) в предположении, что заряд ядра распределен приблизительно равномерно внутри сферы такого радиуса. Спрашивается, как это предположение повлияет на эффективное сечение рассеяния электронов на атоме в области больших передач импульса д? Покажите, каким образом отсюда может быть определен радиус ядра. Насколько велика должна быть величина импульса налетающих электронов р, чтобы стало заметным влияние структуры Поэтому формфактор для рентгеновских лучей будет тем же самым, что и в случае рассеяния электронов на атоме, если не считать того, что для рентгеновских лучей не нужно учитывать фактор Я.) В атоме потенциал изменяется по кулоновскому закону лишь при очень малых радиусах.
С увеличением радиуса атомные электроны начинают постепенно зкранировать (компенсировать) электрический заряд ядра до тех пор, пока при достаточно больших значениях г потенциал ие обратится в нуль. В очень грубом приближении эффект экранировки атомными электронами можно оценить с помощью формулы 2ео (6.51) Через а в этой формуле обозначен радиус атома, Заметим, что это не тот внешний радиус атома, которым польауются химики; адесь а= ась'~е, где ко= ао!еаео=0,528 А.
156 Га. д. Метод теории вовмуи>ений в квантовой механике атомного ядра? Какие углы, большие или малые, следует при этом измерять более точно и почему? 3 а м е ч а н и е. В эксперименте такого рода требуются настолько большиеимпульсы электронов, что для нахождения энергии фактически нужно пользоваться релятивистской формулой Е = )/твсв+ с'р' — >все, поэтому, строго говоря, для описания взаимодействия мы уже не имеем права применять нерелятивистские формулы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
