И. Петровский - Лекции (1120446), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Воспользуемся замечаниями 1 и 2 к 4 2 н будем решать систему уравнений (6,4) вблизи точки (а, О), задавая в качестве начальных данных на 1„всевозможные системы многочлеяов. Так как за постоянку!о 1н' мы можем ваять постоянную ЛХ*, определенную в замечании 1 к З 2 и общу!о для всех точек (о, 0), то в силу замечания 2 к 1 2 мы можем утверждать, что если а достаточно мало, то все функции, составляющие решение системы (6,4) прн таких начальных условиях, будут заведомо определены п аналитичны в Н„н, следовательно, непрерывны вплоть до границы Н„вместе с их частными пропзводными.
Итак,' равенство (7,4) справедливо, если 0 < а < а„ (аз — некоторое фиксированное полол!ительное число), а все с! являются любыми многочленами, Возьмем л!обое такое а и пусть длина отрезка 1, равна г„. По известной теореме Вейерштрасса, для любого з > 0 найдется система таких многочленов и! (1 — — 1, ..., и), что всюду на 1, будет !и,.— с,. ( < с (1=1, ..., и). (8,4) В силу формул (7,4) и (8,4) ;~'„а ~(у= 1=! = ~,~~ пр! Ф+ ~ ~~ и! (и! — С1) г(у ч„сз„~, шах ~ и,.
(, 1 1 ! !д! 1 откуда в силу произвольности с получаем: ~ (у-О, !а! 1 т. е. все и, жО на („ если только 0< а < аю Этим тео- Рема Гольмгрена доказана. Прн помощи этой теоремы и замены независимых пе- Ременных нетрудно доказать теорему о единственности Решения обобщенной задачи Коши прн прежних предпо- ложениях о системе (1,4), когда начальные данные эада- ютсн на аналитической лннннг нигде не имеющей харак- ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ ХРАВНЕНИИ (гя, 1 4) О единственности Решения ЗАНАчи коши гб тернстического направления.
Аналогичная теорема справедлива также для линейньгх систем с болыпим числом независимых переменных, когда начальные данные зада«отея на аналитической поверхности Я. Прн этом нужно только, чтобы эта поверхность В нигде не имела харак. тернстнческого направления. От функций, еоставлягощих решение, можно требовать„чтобы они были заданы только по одну сторону от Ю и были непрерывны вместе со своими частнымн производными первого порядка вплоть до В. Если при этих условиях два решения совпадают на Ю, то онн совпадают и в некоторой окрестности В. Замечание. Можно точнее описать ту область на плоскости (х, у), где решение задачи Коши для системы (1,4) одпнственным образом определяется начальными данвьгми (область единственности).
Пусть этп начальные данные заданы на отрезке АВ оси х=0, а решения раесматринаготся вправо от этой оси. Проведем через точки А и В вправо характеристики, блг«я«айшгге к отрезку АВ. Тогда можно показать, что областью единственности решения задачи Коши будет область, ограниченная отрезком АВ и этими двумя характеристиками. Аналогично определяется область единственности лри большем числе независимых переменных (ср. з 10 и з 12, где задача Коши решается для гиперболических уравнений). 2. Вскоре после доказательства теоремы Гольмгрегга Адамар показал, что вопрос о единственности вблизи Я решения задачи Коши для нелинейных уравнений легко сводится к вопросу о единственности решения задачи Коши для линейных уравнений е достаточно гладкпмн, но необязательно аналитическими козффпдпентами.
Поэтому все дальнейшие усилия были сосредоточены па решении этого последнего вопроса. В 1938 г. Карлемак решил его для енстеы уравнений с частнымн производными по двум независимым переменным. Теорема Карлемана состоит в следугощем. Пусть дана система уравнений: «$ о — "' +- ч', АО(х, у) —.— + ,'Р ВН(х, у)зг=О (г =1, 2,, л).
(9,4) грункцгги Аси В„заданы в некоторой замкнутой Области 6 полуплоекости х > О, примыкающей к отрезку' ,у1<а оси ординат; А«, имегот на 6 ограниченные производные до второго порядка включительно; В„, огранлчены на 6. Тогда рошенпе системы (9,4) на 6, удовлетворягощее условиям хг(0, у)=0 при )у!<а (г =-1, ..., и) и имеющее непрерывные первые производные по х и у, равно тождественному нулю в некоторой части 6' области 6, примыкагощей и отрезку )у|...а, Прп этом предполагается, *по в каждой точке 6 все корни Определителя ).4«) — ьой, ! ") различны между собой, т.
е. что нн в одной точке этой области 6 нет совпавших характеристических направлений. Прл нарушении этих условий единственность решения задачи Коши может нарушиться; это показал А. Д. Мышкис (1947). Он нрпвел пример системы ди ди до — =а,(х, у) — +Ьг(х, у) —, до ди до ,— =а„(х., у),—, +4«(х, у),— е коэффгщнентами, заданными и дифференцируемыми на всей плоскости, котораЯ имеет Решение ио, Оо такое, что фУнкпнн и„п Оо Облацагот ненРеРывнымн частными пРоизноцяымп всох порядков, равны аул!о на прныой х=О, но отличны от пуля в любой близости начала координат.
Прп этом производные гоэффипнентов системы терпят Разрыв при х=О н па этой >ке примой совпадают корни характеристического уравнения, Может ли варушатьса едккетвенность решения задачи Коши, если частные производные от коэффициентов непрерывны, неизвестно «*). ) о гг = 'г гг, г . -г, ~«) См. стотыо А. Мыгвкига в «Ъ сшхах «гатомотнчоских наук«, т 1!1, выи. 2 (!«)ЕЗ), сор. 3 — 4б. В ией сформулированы все основные 4«онты, соязоияыо с вовро~ оы о единственности рос«ения оалачн Ножн, лог«азот«льстив глгавиоиюнх ия них и)гиввдоны. То««н«с и«««ется водробнан бнбаногрвфнн вопроса.
ВВедение. КЛАссиФикАпин УРАВнении (гл, т ". /~! о единстВеннасти Решения 3АдА йн каши 57 Что касается уравнений и систем с неаналитическими коэффициентами л произвольным числам независимых переменных, то, как мы уже отмечали, этот вопрос до настоящего времени не разрешен. Доказана единственность решения задачи Коши в классе достаточно гладких функций для так называемых гиперболических уравнений и гиперболических систем, а которых речь будет итти позже, 11птересучощнй нас вопрос о единственности решения задачи Коши в области неаналитпческнх, но достаточно гладких функций связан с вопросом о том, единственным лн спосоаом можно продолжить достаточно гладкое действительное решенно (и.„..., ил) системы (13,3) предыдущего параграфа, заданное на некоторой действительной области в пространстве (в, ..., х,) по одну сторону н на самой достаточно гладкой поверхности Ю, нигде не имеющей характеристических направле|шй7 Действительно, задание функций и, па адпу сторону поверхности Я и на самой этой поверхности определяет значения на этой поверхности самих функций и, и пх производных, входящих в условия Коши.
Таким образом вопрос о продолжении функций и, за поверхность а' сводится к нахождению решения обобщенной задачи Коши а области, лежащей по другую сторону поверхности Я. Как сказано выше, вопрос а единственности этого решения не решен да сих пор полностью. Точна так н<е да снх пор остается нерешенным полностью вопрос о том, можно лн разнымп спасооами вродолжять достаточно гладкое действительное решонпо (и,„..., из) сксшмы (13,3), заданное на некоторой действительнои области пространства (хю ..., Е„), лежащей по одну сторону достаточно гладкой поверхности Ю, и на самой этой поверхности, и в том случае, если поверхность а является характеристической для данной системы и данного решения. Для всех уравнений, которые мы будем рассматривать, такое продолжение всегда возможна очень многими способами.
Вопрос о неединствениости продолжения решения системы (13,3) за характеристику эквивалентен воцросу о существовании многих решений обобщенной задачи Каши, если условия Каши, заданные на характеристике, таковы, чта они вообще допускают хотя бы одно такое решение. Мы видели, что для этого заданные на характеристика функции и, и их производные должны, вообще говоря, удовлетворять некоторым соотношениям. Эти условия заведомо выполни|отея, если существук1т функции и„... , ил, удавлотворяющие заданным уравнениям па одну какую-либо сторону характеристики.
Если интересоваться только аналитическими решениямн, то вопрос о единственности продолжения за характеристику, как вообще за любую поверхность заданного на (в+ 1)-мерной области решения, всегда решается этом сны~ ла, чта такое продолжение единственно, так как аналитическая функция л+ 1 независимых переменных вполне определяется сзоимн значениями на как угодно малой области (и+ 1)-го измерения, 3, В п. 3 $ 3 мы видела, что если поверхность о, ка которой задаются условия Коши, нигде не имеет характеристических направлении, то эти условая Каши вместо с уравнениями системы (7,3) единственным образом определяют на ней значения всех функций и, и всех их производных до порядка и,.
Если же поверхность Ю вблизи точка А является характеристической, та условия Коши, заданные на ней, допускают' различные системы значений а"~; — „', которые могут удовлетворять снстеме (7,3), если д(с' ' они допуска~от хотя бы одну такую систему значений д чи — „' (мы приняли здесь, что уравнением поверхности а' д(з' служит уравнение 1„=-0).
Поэтому могут существовать такие функции, которые удовлетворяют уравнениям (7,3) всюду в некоторой области, внутри которой находится кусок характеристической поверхаости, причем производд 'и; лыс „' на этой поверхности имеют разрыв первого дхО' рада. При подходе к Я с разных сторон ети производные прнближа~отся к разным значениям, которые удовлетворяют одновремеаао уравнениям (7,3) на поверхности Ю.
Если бы поверхность Ю ие была характеристической, то ВВЕЦВНИВ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНВНИЙ (гп д !и, производные — „' не мотли бы Иметь иа ной разрывов д(еч первого рода при непрерывности коэффиянентон уравнений (7,3) и непрерывности всех других производных от функций и! вида два. додэ!,"! ... д11„'» ' йе+ й!+ + !гс = "~ ";* "е '~ ".. Аналогичные утверждения справедливы н для нелинейных систем. Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
