И. Петровский - Лекции (1120446), страница 5
Текст из файла (страница 5)
*) Строго говоря. кз предыдущих рассуждений следует тсаько, что ди ил —. деь ке ееенсят от ! Ва каждом отрезке прямой, параллельной оси Сс, 1 (»лаком лежеше»! внутри С. Следоветельво, иь — — =О в той ди дяь час»к области С, которая покрывается отрезками прямых, парал- лельных ося с, леликом лежа!пеня внутри С я пер»сека!ошяыя С». Ко тан кек рассматриваемые функпнв еяалятячпы, то но пав»сгной теореме теории анвлятнческнх функпяй отсюда следует' ображеппе вх в нуль во всей областп С. к ее, Очевяяно, задачу Коши пля уравяевпя (3,2) можно снесен Мачо Коши для скстеыы (а,в) указ»внии способом, ле предпо- лагая пни, ея евелптичиостн коэффппясятов уравнения я начальных функ* если область С выпукла по !, т.
о. прямая, параллельная пересекает граалпу С пе боя~с чем н лвух точках. ВВКДВНИВ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНВППП (гл. т Итак, мы показали, что система, состоящая из урэвве. ний (5»2), (5,2)' л (5,2)" нли, короче, система (5,2) эквивалентна уравнению (3,2), если прн г = 0 да из = —. дхз ' При произвольных же начальных условиях система (5,2) ' в некотором смысле богаче решеннямн, чем уравнение (3,2), так как только решениям системы (5,2) с начальными дм условнямк удовлетворяющими условн»о и, = —, соответдхь ' ствуют решенкя уравнения (3,2), Задача 1. Покажите, что задачу Коши для шобой скстемы (1,2) можно свести к задаче Коши для некоторой системы первого порядка шща (1,2).
Задача 2. Покажите, что задачу Кощн для нелиней- ной системы первого порядка вида (1,2) можно дифференци- рованием уравненай системы, введением новых неизвестпых функций и дополнительных уравнений свестн к задаче Коши для квазплиэейной системы уравнений первого порядка, т.
е. для системы, линейной относнтельно всех производных, 4. Таким образом, задача Коши для линейного урав- нения второго порядка (3,2) свелась к задаче Коши для линейной системы (5,2) первого порядка. Совершенно так же можно свести к системе уравнений первого порядка, разрешйнпой относительно производных по 8 от всех не- известных функций, любую систему вида (1,2), Поэтому мы докажем теорему Ковалевской для провзвольвой ли- нейной системы, котору1о мщкно записать в виде (1,2), если мы докажем ей для произвольной линейной системы первого порядка вида и л и —." = ~~»' ~~»', а)"!~ ' — "' + ~, Ьпи, + с, (9,2) (1 = 1, 2, ..., А») с аналитическими коэффициентами при произвольных ана- литических начальных условиях и,(0, х„..., х„)= р,(х„х»л °, х„) (10,2) (1=1, 2,, 1У). злдлчА коши, тиогвмА ковьлквскоп Случай любых аналптлческвх функций»л, легко сводится к случаю, когда все Ф, (х, ..., т„) ==- О.
Для этого вместо прея~них неизвестных функций и (т, х,... „х„) мы введем новые нензвестныо функции г, (г, х..., » х„) = и, (~, х„..., х„1 — э„. (хп ..., хч), (И,2) б»уш»цик с, будут удовлетворять системе уравнений: л ч я дез и»» к +(с, + Я, ч»', а)",~ д~~+ ~ 6,.»у,. ), (12,2) у=» ь-» з-1 вполне аналогичной системе (9,2) н начальным условиям с, (О, х„х„..., х,) = — О. (1,2) Доказав существование решения задачи Коши для скстемы (12,2) с нулевыми начальными условиями, мы докажем тем самым н разрешимость исходной задачи. Для сокращения записи мы будем считать, что унсе исходные функции и»(т, х„, ..., х„) удовлетворя»от начальным условиям и;(О, х„., „х„)ни О.
(14,2) 5. Докажем сначала единственность решения задачи Коши для системы (9,2) при начальных условиях (14,2) в классе аналвтпческнх функций вблизи точки 0 с координатами с=О, х,=О,...,х„=О, т. е. докажем, что ни в какой окрестности атон точки пе существует двух различных аналитических решений системы (9,2), удовлетворяющих при 1= 0 одним и тем же начальным условиям (14,2). Аналитические в окрестности начала координат функции и,, (г, х,, ..., х„) вблизи начала разлета»ется в степенные ряды по 1, х„..., х„, Коэффициент аь,»ч .„Ач прн т»» з",» ... х",,» в разложенгп1 функции ".(З х„, хм) равен зо ВВНДВИИН.
КЛЬССИВИКХЦИЯ ХЛАВНВНИП (гл. 1 Мы докажем единственность решения задачи Коши, если покажем, что начальные условна (14,2) определяют единственным образом коэффициенты разложения функций и,, удовлетворяющих системе (9,2), в степенные ряды по г, х,, ...,х„или, что все равно, если мы локан<ем, что эти условия единственным образом определяют значения всех производных от и,, в точке О с координатами г=.х„=... = — х„=-О, Ьудем определять эти производные последовательно. Начальные условия определяют единственным образом значение в точке 0 всех производных ви а д -) дьм дх, ...дя„< хя-...-,яя-е Все эти производные равны нулю, так как тождества (14,2) можно дифференцировать по х, х, ..., хяе Допустим, что решение задачи Коши сущестиует. Подставам вместо и, в уравнения (9,2) функции, соетавлняощпе это решение.
Проднфференцнруем все полученные тождества й, раз по хв й раз по хя, ..., й„раз по х„. Тогда в левых частях получатсн производные вида (16,2) дядяЯ, ...а Я.' а в правых — производные по х„хя... х„от неизвестных функций и коэффициентов уравнения, т, е. величины, однозначно определенные в точке 0 уравнениями и начальными условиями. Полученные тождества определя<от в точке 0 значения производных вида (16,2) (одно дифференцирование по 1). Продвфферевпируем кан<дое нз тождесгв (9,2) один раз по 1, й раз по х„...,й„раз по х„. Тогда в правых частях получатся выраякення, составленные нз производных от и< вида (16,2) и (15,2) н производных от коэффициентов а~г1, Ь„и с,.
В левых же частях получатся производные вида дь Яж (1»2) д<ЯдяЯ'."дя " ь (два дифференцирования по г), Так как мы уже доказали, что производные вида (16,2) к (15,2) единственным образом определяются в точке 0 уравнениями (9,2) и началь- 1 2) злдьчь коши. тволнмь ковалввскоп З1 ными условиями (14,2), то ото<ода следует, что единственным образом определя<отся и все производные (17,2) в точке О.
Продолжая эток процесс, мы найдем, таким образом, что все производные от и, определяются в точке 0 едянствекным образом уравнениями (9,2) н начальными условиями (14,2). Но значения всех производных аналитической функции и;(8, х„..., х„) в фиксированной точкеО однозначно определяют значения коэффициентов степенного ряда по г, х„,...,х, в который зта функция разлагается в окрестности О, н потому вполне определяют значения самой этой функции в некоторой окрестности точки О. Таким образом, два аналитических решения системы (9,2) с одними и теми же начальными у<ловцами (14,2) обязательно совпаданот в некоторой окрестности начала координат. Тем самым доказана единственность решения задачи Коши для системы (9,2) в классе аналитических функций. 6. В и.
5 мы показали, что начальные условия вполне определяют коэффициенты разложения функций и< в степенные ряды по я', х„..., х„. Для доказательства существования решения задачи Коши нам достаточно доказать, что степенные ряды с коэффициентами, определенными в п. 5, сходятся в некоторой окрестности точки О. В самом деле, если эти ряды сходятся, то представляемые нмк аналитические функции и,(г, х„..., х„) равны нулю в точке 0 вместе ео всеми их частными пронзводнымн по х„х„...,х„(см. (15,2)).
Следовательно, онн тождественно по х„хя..х„равны нулю при г=О и потому зтн функции удовлетворя<от начальным условиям (14,2). Что этн функции удовлетворя<от системе (9,2), следует из того, что по самому способу построения этих функций в точке О левые части уравнений (9,2), если в них подставить определенные таким образом и,, вместе со всеми нх производными по г, х„.,х„, совпадают со значениями в этой точке цравых частей этих уравнений и еоответствуюп<их нх производных. Следовательно, левые части уравьекнй тон<явственно равны правым в некоторой окрестности начала координат. Для доказательства <ходкмостн степенных рядов, полученных нами для функций и,, воспользуемся жетодозя зяазясоракля. ВВВДВНИЖ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
