И. Петровский - Лекции (1120446), страница 3
Текст из файла (страница 3)
близка к куску плоскости. Другими словамл, предди ди положим, что производные — н —. малы, и будем дх, дзз в наших рассуждениях пренебрегать высшими степенями этих пронззочиых. Во-вторых, мы предположим, что под действием силы 7'(хм хз) точки мембраны двнгазотся только по перпендикулярам к плоскости (х„хз), так что нх координаты (х„х ) прн атом не меняются. Вывод уравнения будет опираться на одно нз основных положений механики †принц возможных перемещений, согласно которому в состоянии равновесия сумма элементарных работ всех действующих на систему снл при любом возможном (допускаемом наложенными связями) переьгещекзпч должна равняться нулю").
Для вычисления элементарных работ найдем работу, произведенную силами, действующими на мембрану, при перемещении ее нз первоначального плоского состояния и положение, задаваемое функцией к (х„хз). Работа силы, плотность которой равна / (х„х,), определяется интегралом ~ /(хы х ) м(х„хз)Их, с(хз, ") Нм. Г. К. С у с л о и, Теоретическая механика, Гостехиздат, 1946.
так как на элемент мембраны г)х, ох действует сила г'(х„хе) 4х, охз. Изменение площади мемораны при этом перемещении равно 1 1 Ь 1+ .',"+ .',— 1) йх, 1*„ а работа внутренних снл прн этом изменении площади равна — Р ~ ~ (Р 1 + и,", + „'з — 1) гх, с( с Разложим гюдннтегральнуго функцизо в ряд по степв- Низам Изь Н Пхз Н, ВОСПОЛЬЗОВаВШНСЬ Преднспсжвпиеы О Ма лостп этих величин, отбросим старшие члены разложения. При этом для работы внутренних снл упругости получим выражение — — ~ ~ [и„'з + и„' ) за Ых . с Поэтому работа всех действующих на мембрану внутренгщх сил н силн / прн перемещении мембраны из положения покоя в некоторое положение и(х„х,) равна 7 з .4(п)= ~~ ~ -- —.(и,",+я„',)+/и~с(х,Цх,.
(11,1)«) С Произведем теперь некоторов возможное перемещение мембраны, т. е. добавим к и(х„, х ) некоторую функцгпо 3п(х„хз). Работа всех действующих снл прн этом перемещений равна вариации интеграла (11,1), которую нетрудно подсчитать. Имеем: АА = Л(и+ би) — 4 (и) = ~ ~ [ — Т( '; ',+и,'.,~и',)+у'и1 ' „с(~,. (12,1) ") Интеграл (! 1,Ц рамн с точностью Ио зпаиз иотенцизльиой энергии ььчмбрзиы и поло>ненни разпоиесии. Таким образом, мы можем сказать также, что наиз вывод осиовзи па том, что в положении равновесия иотенцпзльнзя энергия всякой мехоничесиой знстемы минимальна.
з н, г. Петвсссзии 18 ВВВДВНИВ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНННИЙ (гл 1 Она должна быть равной нушо согласно принципу возможных перемещений. Р)ктегрируя первые два слагаемых по частям, получим; ~ ~ (Пх,$их, -Ь Пх2епх2) Е(Х2'1Х2- дн дхн дхн ! ви г 8,1 г~ " ' + —, ~ьие1х е(х* ) ) ( дх21 вх1 ь откуда ( ( (у'Аи+ ~) 822 е(х 2(хз (1Э 1) ь о где через йн обозначена сумма вторых производных деи д2и дн дхх 822 дп —, + —., —.
означает производную по каправлепшо внешней нормали к границе Ь. Как было указано выше, Зи — возможное неремешение, т, е. перемещение, допускаемое связямн, наложенными на мембрану. Эти связи накладываются обычно на край мембраны, поэтому функция 822(х,, х„) во внутренних точках мембраны является произвольной непрерывной функцией. Следовательно, из равенства нулю 622 можно сделать вывод, ~то для положения равновесия функция и (х„ха) в любой внутренней точке удовлетворяет уравневшо Т22к+~=О. (14,1) Это уравнение вазываетсв уравяенвел Пуассона.
Что же касается связей, то окя сказываются на граничных условиях, которые могут быть весьма разнообразны. Мы отдельно рассмотрим наиболее часто встреЧа2ОЩНЕСн СЛУЧан. Е Закрепленная мембрана Пусть край мембраны закреплен вдоль некотороя пространственной кривой, проектиру2ощей2ся в Ь, Если параметрические уравнения Ь суть х, =-х,(г), х2 — — х,(в), то мы требуем, чтобы мембрана проходила через венотору~о кривую х, =- х, (в), хз-- хз(в); к= у(в). Прн этом еднвственньм огравнченкем, наложенным на йи, будет 8л=О па Ь.
Благодаря этому огракиченн2о в формуле (13,1) исчезает криволинейный интеграл. ОПРВЛВЛВния. Прпмнры Полученная задача — найтп решение сова с граничным услови ние УРавнениЯ Пуасгадатвй Дириххе для этого ° ' — называется и=у(в на г о уравнения. Рн / =- О уравнение Пуассона об а ние Лапласа . У она обращается в уравне- С нОТОРЫМ МЫ ужв ВОТ ЕЧал щем примере. У тречались в предыдуЕвободная мембра Е, ваем Никаких ограничений на а на, .Слн мы не н акладыкРай может свободно пере е " на положение мемб раны, то ее КОВОН ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛН пе смещаться по ве ти р калькой бочае 6и произвольно как в у лнндра с основанием Ь.
В < этом слумы получаем для уравненнч 14 '1 ак внутри, так и на г условие на Ь дн — =О. дн 1П. Часто встречается действ)чощей на внут случай, ког а д, кроме силы ~ кутрепвие точки мемб приложена вертнкал раны, к ее краю так что на . ьвая сила с л элемент в границы действ ет , линейной плотностью ~ ц е равновесия мемб аны и мы ищем положение виях, то к интеграла (11 1 ': зае м н 1О' ,1) мы должны прибавить ~х 21и и в и соответственн о „си в.
П риволи яейный интеграл в о в этом сл чае в ~ ( — т —,'."+ У,~„;„,1, ь МЫ получаем для вида; уран"ения Пуассона краевое уел У' — — т =О дн дв на линии Ь, вадачл (задачи .21 газвакие вьчорой краевед та задача косит 1Ъ, Иво,„'„ '""ж"а) если г', не заВисит От и* го . '. гда Рассматривается е е закреплен ' Же так называемое «уп действу2ошая на к - т е случай, когда сила, 22е 1кемб аны», неньпо; " на кран мембраны, пропорцнон,,н, „ 2 2 (в) = йп (в). введвние, кльссиФикАция МРАвиений (гл, 1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
ПРИМЕРЫ В этом случае краевое условие для уравнения Пуассона ди принимает ввд Т вЂ”. — йи = О. ди Переходим теперь к выводу уравнения движения мембраны. Мы будем прн этом рассматривать только малые и только поперочвые колебания мембраны. Малость кодо ди лебаннй означает малость и, — и —., и ова уже была ' дх, дхг' нами использована при выводе формулы (11,1), а поперечными называются колебания в направлении перпендикуляра к плоскости (х„х,), Таким образом, с изменением времени с координаты (х„ хг) фиксированной точки мембраны ие изменяются, меняется только функция и = и (г, х„ хг). ди(>,х,хг) . Е„точки с координатами(х„хг) Рав"а д> дги (>, х„хг» ускорение равно „.',," - .
Чтобы получить уравнение движения мембраны, нужно по принципу Даламбера учесть силу пнерц>ш мембраны. г>ги Плотность этой силы равна — Р (х„х,) —.„,, где о (х„х ) — поверхностная плотность мембраны в точке (х„т ), Мы получим уравнение поперечных колебаний мембраны, если в уравнении (14,1) заменим второе спад>и гаемое на — р —,, св (15,1) Воаможные краевые условия прк этом остаются те я>е, что и для уравнения (14,1), с той разинцев, что задавае- мые на гравице функции могут теперь зависеть от вре- мени, Чаще всего встречаютс,я задача о мембране, край которой закреплен вдоль линни >'.: и(с, х„х,) =Она Ь, и ди >>, х>, хг» задача о свободной мембране: '.' ' ' =- О на У. Как и в случае уравнения теплопроводпости, физиче- ски очевидно, что одни граничные условия не могут единственным образом определить движение мембравй, так как оно существенно зависит от начального положе- няя и начальной скорости.
Действительно, в дальнейшем будет показано, что Решение уравнения (15„1) опредс ляется однозначно, если задать начальные условен п(>о~ х~~ хг) =-Ж~(хю~ хг)~ (х„х )66 (16,1) и> (>о х>* хг) = Р> (х> хг) и граничные условия какого-либо нз рассмотренных тнш>в. Теоретически можно Рассматривать так называемую неогран>щенную мембрану, т, е. колебания всей плоско- сти (х„хг), подчш>еняь>е уравнению (15,1). К такой за- даче мы можем прийти, если рассматриваемая мембрана настолько велена, что влиянием границы можно пре- небречь, В этом случае, как будет показано в дальнейшем, достаточно одних начальных данных, чтобы определить единственное решение ураннеппя (15,1), Если >ке мы для конечной мембраны зададим точько условия (16,1), то этим решение однозначно определится не для всех зна- ченпй г, а для каждой точки (т.„ хг) только в некотором Интервале (.— >„>>), зависящем от точки.
Прп этом велп- чнна этого интервала тем меньше, чем ближе точка (х„хг) к гравице области С. Если р постоянно, то заменой независимых перемен- ных уравнение (15,1) можно свести к уравпе>ппо дги д'и д'и (17,1) Рассматривая малые колебания газа (зауковые волны), МОЖНО ПРН НЕКОтОРЫВ фНЗИЧЕРКНХ ПРЕЛПОЛОжЕИИЯХ ПОКа- ать, что функция к(х„х, х„г), характеризующая от- клонение от нормального давления в точке (х„х>, хг» в момент времени с, удовлетворяет уравнению $ дги дги д'и д'и — — =- — + — +в ог д,г ' д„г двг дгг (18,1) >де а ) 0 — постоянная \схорасжь зарха). равнение вида (18,1) называется аа»вааых> уравне- н>иве в пространстве; многие лругнс колебательные про- цессы (например, электромагнитные) также описываю>ся уравнением (18,1), уравнение (17,1) называется волновым уравнением па плоскосеч>, зг введение. клАссиФикьцин УРАВнений !гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
