И. Петровский - Лекции (1120446)
Текст из файла
И-5-2 1лГДАВЛЕхИТЕ 7 7 23 Пое1иановиен7зем Совеуиа Мрзнисуирое Со<озв, ССР удосжоен<2 Суиажнс<сой 117темии второй степени з<5 2Ы1 г. Редвнтор л. А, сгиеое. Техн. ргдентор и. 4. Твмаркина. Корректор Л. С. Сучков» Подниовно и печк ги <П<Х< <ЗВЗ г. Бумага зсу<1СЗ<ев <изх Сум. и, 1з<л пгч.
л. <злз у сией. л. 1111<тип. вп. в иеч. л. тире~в <о освгопв. Т илзе<. П нв ипиги З р. те в. Перепоет < р. Со и. Звнвв Ва <тте. <6-и твп. Соювполпгрвоиромв Глввв»авто Министерстве мультуры СССР. Мссввв, Трахпрулнма лер., 3. Предисловие ко второму пвданню, Из предисловия к первому изданию Глава 1. Введен<ге. Классификации урявнепий . 1. Определения. Примеры 2.
Задача Коши. Теорема Ковалевской . 3. Обобп<еппе задачи Коши. Повятпе о характеристике 4. С< единственности решения задачи Коан в области пеавалптпчегкнх фтпкций . 5. Прпведшпю к кавонпческо»у виду в точке н класспфпкаппя уравнений второго порядка с одной нензвестлой фувкпией, 6.
Приведение к каноническому виду уравнения с частнымп пропззоднымн второго порядка по двум незапнсимып перемсппым в окрестности точил 7, Приведение к каноническому впду системы линейных уравнений с частными производными первого порядка по дзум исзаввспмыл< переменным 1'па в а 2. Гинерболическне уравнения, Раздел 1 ЗАДАЧА НОШИ П ОБЛАСТИ ПГ ЧПАЛИТИЧЗСКИХ ФУН!.ЦИИ 3. Корректность лостзковкн задачи Коши...,, 83 1 З.
Понятие об обобщенных решениях .....,, 87 1 10. Задача Коши для гиперболических систем с двумя независнл<ыап< пере»сивил<в ...., .. ° ° 01 5 11. Задача Копш длл волиового уравнения. Теорема о едппствшищстн решения............ 101 $12. <Бермуды, дающие ршцение задачи Ковш для волнового уравнения . 105 1е ОГЛАВЛЕНИЕ Оглавление 321 112 117 127 324 323 130 Раздел 11 дополнение 143 147 149 155, 166 190 200 203 217 227 227 229 235 240 253 262 267 234 302 310 $ 13.
Исследование формул, дашпшх решение задачи Коши й 14. Преобразования Лоренца $15. Математические основы специальной теории относительности . $16. Обзор основных фактов в теории задачи Коши и некоторые исследования для общих гппсрболнкскях уравнений . НОЛЕНАНИЯ ОГГАННЧЕННЫХ ТЕП 6 17. Введевяе . $16. Ввинственвость решения смешанной задачи . $19. Непрерывная зависимость решения от начальных условий, $20. Метод Фурье для уравнения струаы $ 21, Общий метод Фурье (предварительное рассмотрение) 4 22.
Общие свойства собственных функций н собственных значений 4 23. Обоснование метода Фурье 1 24. Применение функции Грина к задаче о собственных значениях й 25. Изучение колебаний момбраны 26. Дополнительные сведения о собственных функциях Рла в з 3. Эллиитачесние уравнения...........
4 27. Введение . 1 28. Свойство максимума н минимума и его следствия $ 29, Решение задачи Дприхле для круга 4 30. Теоремы об основных свойствах гармонических функций 4 31. Доказательство существования решения задачи Дирнхле й 32. Внешняя задача Дирихле . $ 33. Вторая краевая задача 4 34, Теория потенциала . й 35. Решение краевых задач с. помощью вотенцналов $ 36.
Метод сеток для приблнлсбвного решения задачи Дирпхле 4 37, Обзор некоторых реаультатов для более общих спалитических уравнений . Рва за 4. Параболические уравнения 4 33. Первая краевая аадаче. Теорема о максимуме и минимуме 1 39. Решение первой краевой аадачи для прямоугольника методом Фурье 4 40, Задача Коши . 1 41. Обзор некоторых дальнейших иссчедозоияй уравнении параболического типа . 4 42, Решение первой краевой задачи для ураснсння теплопроводиостп методом сеток 1 43. Замечания о методе сеток .
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Большую работу по подготовке этого издания провела О. А. Олейник. В частности, ею заново написаны Я 23, 23, 42, 43 и некоторыс части других параграфов. добавлены новые задачи. Я очень благодарен Ольге Арсеньевне Олейник за все зто. Я также благодарен академику В. И. Смирнову, А, Д.
Мышкясу, О. А. Ладыженской и Л. А. Чудову за их ценные замечания. Н. Пешроесяий 2 август» тййЗ г. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Этн лекции я читал несколько раз для студонтовматематинов Механико-математического факультета Московского государственного университета. При подготовке к печати я несколько дополнил нх.
Прн работе над этой книгой большую помощь оказали мне К, С, Кузьмин, А. Д, Мышклс, 3. Я. Шапвро, Б. М. Левитан и М. Н. Вяшик, К, С. Кузьмян предоставил записки моих лекций. 3. Я. Шапиро оказала особенно большу»о помощь: она проредактировала рукопись, целиком написала Я 22 — 25 и некоторые части других параграфов.
Без ее помощи зта кинга еще долго не была бы готова к печати, А. Д. Мьипкис и М. И, Влшик прочь тали вщо рукопись и сделалн ряд весьма ценных замечаний. Кроме того, А. Д. Мышкнс написал зз 34, 35 и часть З 4, Б, М. Левитан написал и, 3 нз З 26. Веем им я глубоко благодарен. И. Пел»розалий 9 апреля»050 г. глдвд т ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИИ 4 1, Определения, Примеры 1.
Уравнение с частвымн производными от неизвестных функций п„и,, ия называется уравненном и-го порядка, если оно содержит хоти бы одну пронзводку1о л-го порядка н не содержит производных более высокого порядка. Порядком системы уравнений с частными пронзводнымн называотея наибольший из порядков входящих в нее уравнений. Уравнение с частными вроизводнымн называется линейным, если оно линейно относительно всех неизвестных функций и нх производных, Уравнение г частными производными называется иеа»идлнейнмл, если оно линейно относительно всех старших производных от неизвестных функций.
Так, например, уравненио ди д»и ди дти — — + — +и»=О ди ди» дд ди» вЂ” квазнлинейное уравнение второго порядка относнтольно неизвестной функции и. Уравнение дйи д»и —.—, +а(х, у) —,= 2и — линейное уравнение второго порядка относительно неизвестной функции и. А уравнение ~й7 Язеп — нелинейное и не кв аз илико йное относительно этой функции.
8 ВВЦЦВНИХ. КпаССифннапия УРАВНЖИИЙ (гл. Реи»енаем уравнения с частнымц производными называется всякая система функций, которая, будучи подставлена в уравнение вместо неизвестных функций, обращает это уравнение в то»кдество по независимым переменным. Аналогично определяется решение системы. В этом курсе мы будем заниматься главным образом линейными уравнениями второго порядка с одной неизвестной функцией. Такпмн уравнениями явля«отея, например, следующие: ди д»и д»и д»и 1) —.— = — + — + — — к уравнение телвопроводнод« дх» дх»» дх» ел»п»; д»и д»и д»и !»и 2) — =- — + —,' + — '.
— вволновое уравнение»' д«» дт', дх! аи) ди, д. ди 3) —. Ч вЂ”; + — = 0 — » уравнение Далласа». ди) де1 дх) Многие физические задачи приводят к уравнениям с частными пронзводнымп н, в частности, к только что указанным уравнениям. 2. Пример 1. Уравнение теплопроволнос т и. Пусть мы имеем тело 6, температура которого в точке (х„х»п хз) в момент» определяется функцией и(», х„х„х,). Будем прелполагать, что функция и(»., хти х„х ) имеет непрерывные производные второго порядка по переменным х„хю х„и непрерывную производную по». Вывод уравнения, описываюшего процесс распространения тепла, основан на следующем законе.
Пусть поверхность о расположена внутри тела 6; на поверхности 8 определен непрерывно меншошпйся вектор норма»п! и. Количество тепла д, проходившее через поверхность о в сторону нормали и за промежуток времени от», до»,, определяется слецующей формулой: «» «) = — ') ~ !) ~ А(а.„, х„х ) —.«(Я~ «П. (1,1) Я ди Здесь — — производная в точке (х„х,„хз) поверхности о д() направлению нормали я, 1!) опгццнлиния.пгимигы 9 Положительная функция й(х„х, х,) называется коэффициентом внутренней теплопроводности тела в точке (х„хе, х,). Внутренний пнтеграл берется по поверхности Ь'.
Формула (1,1) равносильна тому, что через бесконечно мачую площадку а5 эа бесконечно малый промежуток времени «1» протекает количество тепла, равное «1«»= — й(х«, хз, х„) — «(о'«Й. ди В таком виде обычно формулируется физический закон теплопроволностн, Если площадка о лежит на границе тела н окружающей среди, то справедлив следу»ощий закон. Пусть а (», х, х„х»), как н прежде, обозначает температуру в точке (х„х„х») тела 6, а и,(», х„, х»и х,)-температура в произвольной точке (х,, х„х,), лея«ащей вне тела. Тогда количество тепла, входящего в тело через цлощадку 8 на границе тела за время от», до»„опрекеляется формулой «» «» =- '1 ~ ~ ') й, (х„х, х ) (и, — и) «(о ~ «1», (1',1) где внутренний интеграл распространен по рассматриваемой поверхности 8; функции и, и и определяа»тся на Ю предельным перехопом снаружи, соответственно, изнутри тела. В этом случае й«(х„, х„х ) называется коэффициентом внешней теплопроводности тела по отношеншо к данной срече.
Мы рассмотрим тело, изотропное в отношении теплопроволности, т, е, пресно»»ожим функци»о»«(хи хю хв) не зависящей от направления нормали поверхности о в точке (х„х, х ). Кроме того, предположим, что эта функция имеет непрерывные первые производныо по всем коог«динатам. Для вывода уравнения теплопроводности вылепим внутри тела 6 некоторый объем 1), ограниченный глалкой поверхностью Ю, н рассмотрим изменение количества тепла в этом объеме эа проме»куток времени от»! до»з. гп ВВЕДЕНИИ. КЛАССИФИССАЦНЯ УРАВНЕНИЙ (гл 1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
