И. Петровский - Лекции (1120446), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

(12, 35) г, При выполнении итого условия,оешение уравнения (3,35) олределяе>иея с точностью до нроигвояьного слагаемого. Уравнение (5,35) внутренней второй краевой задачи имеет решение тогда и только тогда, если ь При вылолнеггии отого условия регаение уравнения (5,35) онределяется с точностью до слагаемого Сю (Р), где С- ироигвояьная настоянная.

3. Решение краевых задач. Из теорем 1 и 3 настоящего параграфа мы получим сейчас результаты об условиях разрешимости основных краевых задач, Прежде всего нз теоремы 1 следует, что при наших ограничениях на 6 всегда существует единственное решение внутренней задачи Дирнхле, представимое в виде потенциала двойного слоя, В силу доказанной раньше единственности решения задачи Дирихле мы можем 19* ЭЛПИПТНЧЕОКИЕ УРАВНУНИЙ 292 (гл. 3 1 У (А) ал -- О.

$ (11 (А) + С) Жг! = (). 1, (14,35) д ! (А) с')А = () ° сказать, что решение интегрального уравнения (2,35) эквивалентно решению внутренней задачи Днрихле. Далее нз теоремы 3 следует, что решение внутренней второй краевой зада ш существует для таких заданных на границе функций / (А), для которых выполняетгя условие Докажем, что зто условпе является необходимым для разрешимости внутренней второй краевой задача с заданной функцаей /(А)*).

Пусть 1А((г) — гармоническая функция в 6, непрерывная в 6+ Л к .— = ~(А). Быберем поди ГЬ! стоянвую С тамм чтобы Мы диказалм выше, что сущегт вует гармоническая в 6 и непрерывная в 6+А функция е((!), для которой дэ — =. / (А) + С. Гармоническая В 6 функция го =- е — в ди непрерывна в 6+ ! я —. =С иа Е. да! ди ПО ГЕОрЕМЕ 1 П. 3 9 28 П1=сОПЗЫ М С=О, таи Как дге осли и! отлична От постоянной, то — должка иметь разди ные знаки в точках !', .де гс принимает наибольшее и иакмеяыпее значения. Ото!ода следует, что Ц 9 28 было доказано, что решение внутренней второй краевой задачи определяется с точностью до постоянного слагаемого.

Переходя к решению внешней задачи Днрихле, мы Видим, что в силу теоремы 3 но пря любой граничной функции можно найти распределение днполей, дающее ') В 1 зз мы доказалн аеесхедимесгь этого узлом!а а белее узких предвологне1пгнх. з ЗЗ) Решка!Не кРАВВ ЭАПАч с позгоиьк! потенпмАлОР 99$ 1 решение этой задачи. Это объясняется тем, что, как легко видеть, всякий потенциал двойного слоя (12,34) стремится к нулю на бесконечносте, а мы в 9 32 доказали существование н единственность решения внепзяей задачи Дирихле, предполагая решешге всего лишь ограниченным на бесконечности. Прн граничной функции, удовлетворя!ошей условшо (12,35), существует рещение внешней задачи Дирнхле в виде потенпиала двойного слоя. При произвольной непрерывной функции )'(Р) можно постушыь следу!ощнм образом. Образуем фуекциго 1!(Р) = 1(Р)+Се, где константу С" подберем так, чтобы )!(Р) удовлетворяла условиго (12,35).

Для этого надо положить ) 1(А) ~(А) д) С ь ) и (А) 1!!А что можно сделать, так как в силу теоремы о 1 е (А) ЖА -;- (). После определения Сз решим уравнение (3,35), подставив 1, вместо 1. Пусть одним из решений будет т,(Р). аогда решением поставленной внешней задачи Днрпхле будет функция Что касается постоянного слагаемого, входящего в определенную нз уравнения (3,35) плотность диполей, то оно не скажется на решении внешней задачи Дирихле, так как вне 6 потенциал постоянного распределевпя дпполей равен нулю (см. теорему 4 $ 34). Рассмотрим, наконец, внешн!о!о вторую краевую задачу.

Как мы поиазалн, соответствующее атой аалаче интегральное уравнение (6,35) разрешимо при любой пепрерывнон функции 1(Р), 1ак каи реапение внжнней .

Характеристики

Список файлов лекций