И. Петровский - Лекции (1120446), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Только самой точке О ирн атом прообразовании не ставится в соответствие никакая точка пространства, Дальнейшее Рассмотрение надо отдельно проводить для пространства двух измерений (плоскости) и пространства трех измерений. Рассмотрим сначала случай плоскости. Пусть и есть решение внешней задачи Дирихле для области 6. Полсокнм и* (Р*) = и (Р) и ) Я (РЯ) =- ) (Р). зллиптичяскнк уРАРнкния (Гл. 3 261 ВНВШЛ!ЯЯ ЗАДАЧА ДКРИХЛВ аб Зз! и*(Ре) = — „„и (Р) илн, что эквивалентно, слк" (Р ) Л Аналогично положим Г" (Р ) =- ОР„/ (Р) (1,32) или, что эквивалентно, О~ т( Этим функция ие определяется вслоду внутри 6е, кроме гочки О.
Она будет принимать значение ~е на всей границе 6е. Приведя уравнение к сферическим координатам, е) Чтобы его проверить, пздо привести урззееине Лепке-з к пеияриылт ксерднллатеы е полхлсеал в точке О, и которых пеые преебрезсеенне зеинсызеется наиболее простыни фсрмуленн. Функция ие будет определена всюду в области 6е, кроме точки О, и будет принимать значение Уе(Ре) на границе 6*. Прямымп выкладками можно показать е), что функция ие (Ре) будет гармонической функцией координат точки Ре (короче, гармонической функцией Р*), соли и(Р) была гармонической функциеи Р. Если функция и(Р) была ограничена, та ие(Ре) также ограничена. Тогда по теореме об устранимой особенности и* можно так доопределить в точке О, чтобы полученная функция была гармонической всюду внутри 6е. По теореме о единственности решения внутренней задачи Дирихле отсюда будет следовать, что ограниченная функция ке единственным образовл определяется на 6е своимп значениями на границе, А отшода следует единственность решения внешней задали Днрнхле в классе ограниченных функций.
Существовакие решения вытекает пз того, что все точки границы 6* ввиду связности 6 являются регулярными (см. стр. 256). Е л уч а й т р е х и з и е р е н и й. Пусть опять и есть решение внешней задачи Дирихле для области 6. Поло- жим можно прямымп выкладками показать, что ие(Р*) будет гармонической функцией Ре, если и(Р) была гармонической функцией Р. Если и(Р) стремилась к нулю при Р-ь со, то н*(Р*), как легко видеть, будет удовлетворять условалло !лаз(Ре) ! <) и(Р) ! —,, где )и(Р)! — а0 яри ОРе- О. Тогда, согласно замечаниям 1 и 3 к $30 и* молино так доопределнть в точке О, чтобы полученная функция была гармонической колоду впутри 6*.
В силу единственности решения внутренней задачи Дпрвхлс отсюда будет следовать, что ограниченная функция ие единственным образом определяется на 6* своими значениями на ее границе. А отсюда следует единственность решения внешней задачи Дирихле в классе функций, стремящихся к нулю при Р—. сс„ Если область 6* такова, что все ее гранпчныо точки регулярны, то нз предыдущих рассуждений будет следовать также существование решения внешней зада ли Дирнхле для области 6 при всякой непрерывной функции, заданной иа се границе, причем решение это будет, как логко видеть пэ (1,32), удовлетворять условшо )и(Р) !< —, где М-некоторая постоянная, ОР— расстоянио точки Р до яекоторо.л фиксированной точки О.
Примеры. Решением внешней задачи Днрихле на плоскости, когда заданная на границе функция всюду равна постоянной С, является функция, также всюду равная С. Это одинствепноо решение в классе ограниченных функций. Решением внешней задачи Днрихло в трехмерном пространстве, когда область ол.раничена сферой радиуса Л с центром в точно О и когда функция, заданная на этой сфере, равна постоянной С, служит функция и (Р) =-- — '„,, (2,32) Это единственное решение рассматриваемой внешней за-. дачи Дирихле в классе функций, стремящихся к нулао при ОР— ~со втоРАЯ 1 Е ~ЬРАЫ ВАДАЧА 1 зз) ЭЛЛИПТИЧЭСКНВ УРАВЫВЫИЯ (гл. 3 262 Можно показать, что к постоянной С в двумерном случае и к функция (2,32) в трехмерном случае приближаются решения следукицих двух задач теплопроводности: 1.
На поверхности бесконечно длинной цилиндрической трубы задается постоянная температура, равная С. Начальная температура окружающего воздуха равна нулю. Тогда температура и(г, х, у, э) воздуха в момент е в точке (и, у, э) прп г- стремится к С. Физически это означает, что бесконечно длинной трубой, на поверхности которой задается ыостояпная температура С, мо~кко нагреть весь окружающий воздух до температуры С.
2. На поверхности шара с центром в О радиуса В поддерживается постоянная томпература С. Начальная температура окружающего воздуха всюду равна нулю. Тогда температура э(с, х„у. г) воздуха в момент с в точке (я, у, с) прк е — >со прполнжается к функции (2,32). Задача. Докажите при помощи преобразования обратными радиусами-векторами единственность решения внешней задачи Дирихле в классе огранпченных функций для плоского случая и в классе функций, стремящихся к нулю при ОР-ьсо в случае пространства трех измерений, если область .6 бесконечна.
й 33. Вторая краевая задача 1, Вкутренияп вторая краевая задача. Вудем предполагать, что область 6 на плоскости (и, у) конечна и ограиегтва кривой 1*, имеющей в каждой точке ограниченную кривизну. Как мы уже говорили Я 27), вторая краевая задача состоит в том, чтобы найти внутри 6 гармоническую функцию к(х, у), непрерыэну1о в 6+ Г, у которой производная по направлению внешней нормали в каждой точке границы 6 равна значению з этой точке заданной функции 1. Функцию У будем считать непрерывной. Эту задачу называют еще внутренней второй краевой задачей в отличие от внешней второй краевой задачи, которую мы рассмотрим в и.
3. В 2 28 мы покаэалк, что все решенля внутренней второй краевой задачи с заданной функцией у могут отличаться между собой только постояннымп слагаемыми. , ли ~ 1 (в) еЬ = О, г '1 — "' де =О г до так как, по предположенщо, на границе области — =- /(в). Коли область 6 многосвязна и ее граница состоит пз конечного числа замкнутых линий, то интограл в равенстве (1,33) должен быть взят по всем этим ливням, причем положительное направление обхода на каждой линии выбирается так, чтобы область 6 оставалась по левую сторону от границы В трехмерном случае применимы то исе рассуждения, Точно так же получим, что должен бьгсь равен нулю интеграл по границе 6 от заданных на этой границе знаЗэ чений— ао 2, Для двумерная одкосвизкой области 6 внутренняя вторая краевая задач» легко сводится к внутренней задаче Дврихле слелу|ощим образом.
Допустим, что существует Необяодилквль услаеиеле сук)еетвоваиил реиоеиил акули ней второй краевой задами эвллетсл еледуюк(ее услоре яке вт впе: интеграл от 1 ло границе области 6 даллеек ~ кель ,:савел кулю. Мы докажем необходимость этого условия, предполагая, что о и (х у) имеет внутри 6 ограниченные непрерывные производные второго порядка, а .— н — имеют непрерывное продолжение на границу 6.
В ь 35 мы ободимся от этих ограничений. В том зке параграфе осво од о" заажем существование решения второи краевой г.о и- дачи, если выполнено сформулированное выше иеогходимое условпе. Пусть и (г, у) — решение второй краевой задачи в области 6 и — =1(е) на Г, Рассмотрим интеграл эи (' деи д~и') 0 Оп равен нулю, так каь' функция а гармонична. Преобразовывая этот интеграл в интеграл по границе области Г согласно формуле Остроградского, получим, что должно быть 265 ЭЛЛИПТНЧГСКИВ УРАВНВННН )гл. 3 Втоггя кРАВВАЯ зАЯАчА чэй ! зз) решение и внутренней второй краевой задачи, ллмелощес вместе со своимп первыми пронзводнымк непрерывное продал>кение на 6. Построим тогда на 6 функцнло с так, чтобы внутри 6 удовлетэорялксь уравнения Коши-Римана 3 3 сллуикллнлл с, нмелоплан проэзэодныс, определяемые этими уравнениями, существует, так как выполнено условие еле еле ели ели — — — =- —,+ — =О.
ОЧ Вх ох йу Элэ дгг Она определяется этими уравнениями с точностью до постоянного слагаемого. Легко проверить, что в каждой точке 6 производная от и по какому-нибудь направлению 7 равна производной от с по направлению, полученному поворотом ! ва 90' против часовая стрелки. Точно так же можно проверить, что производная от и на границе 6 по нормали к границе равна произвочной от с по касательной к границе. Поэтому, фнкснроэав значснке с в какой-нибудь граничной точке г! области, мы найдем, что во всякой точке Н на границе 6 с (Ю) — с (А) .= ~ ! (г) с(в, (3,33) А где аг означает элемент длины границы 6.
Так как интеграл от ((г) ко всей грэивпо 6 равен нулю, то равенство (3,33) определяет ь. на границе 6, нак всюду пекрерывную н однозначную функцию. Легко видеть, что если и гармокичка, то с, опрсдсченнзя уравиекинмп (2,33), ташке гармонична. Поэтому, зная значекян с на границе С, мы можем единственным образом определить о внутри 6. Таким образом, предполагая, что длн данной функции ((г) существует в области 6 решение и(х, у) внутреннен второй краевой задачи, нллелощее вместе со своямк первыми пронзэоднымн непрерывное продолжение на 6-(-Г, мы можем определить а (х, у) с точностью до постоянного слагаемого из уравнений (2,33).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
