И. Петровский - Лекции (1120446), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Г. Пеегееекг» эллиптические УРАВнения (гл. 3 1 щ осноВные сВойстВА ГАРмонических Функций 243 гдеС'„,— биномиальные коэффициенты, йе+П -'О. Так как С~~~г < 2""' и а, б„ограничены, то ряд (1,30) можно 1 мажорировать сходящимся прн )х(к. —,, )у! < —, рядом ;2,3О) кй у' '~~~ Эь-~.г ( х ~ь г у (г ь-Ог-0 где гьг > 0 постоянная. Так как частные суммы ряда (6,29) образуют некоторую подпоследовательность частных сумм абсошотно сходящегося ряда (1,30) н ряд (6,29) сходится к и(х, у), то ряд (1,30) также сходится к и(х, у). Таким образом, доказано, что и(х, у) разлагается в степенной ряд по х, у в окрестности точки х= у =О. Теорема 3 (о равномерно сходящейся последовательности г а рм они ческнх ф у и кций).,Если нослеоовательногтпь функций иь(х, у), у=1, 2, ..., гармони чесюгх вн)ггпргг конечной области 6 и непрерывных на 6, сходитсч равномерно на ераниг(е 6, то она равномерно сходится и внутри 6.
При этом предельнал фг нкг(ггя будет гарлгонической внутри 6. Доказательство, Согласно лемме 2 2 28 последовательность функций и„(х, у) равномерно сходится н внутри 6. Остается показать, что предельная функция гармонпчна внутри 6. Возьмем для этого какуго-нибудь точку г",г внутри 6.
Опишем вокруг иее круг К, лежащий внутри 6, На этом круге каигдую из функций и,„(х, у) представим в виде интеграла Пуассона. Пусть 2,. 1 ль — е' „(х,у)= —.,„) ~ч()) „* „ где ~ (ф) — значения и„на окружности К радиуса П. В силу равномерной сходимости последовательности функций ~„(фг) и сходнмости и„в лгобой внутренней точке (х, у) круга К в равенстве (3,3(г) можно перейти к пределу в обеих частях. Обозначая предельпые функции соответственно через и(х, у) н ~(ф), полтчим. 2в ('у)= —,.~ ~(ф) к о Отсгода видно, что и(х, у) гармонична в круго К. Эту теорему часто называют первой теоремой Гарнака. 3 а меча н не. Из доказаннгй теоремы следует, что для уравнения Лапласа совокупность обобщенных решений, как они были опредолеиы вами в начале 4 9, совпадчет с классом всех гармонических функций, если рассматривать только ковре).ыввые решеввя уравнения Лапласа.
Теорема 4 (о монотонной последовательности гармонических функций). Если, последоватеггьнг сть гармонических в сб,гости 6 функг1ггй и„(т, у) сходипгся в нек торой вггггтреггнегт точке А тпой области и при любом и ( У)~ .(Е,у) пгочках области С, то последоеагпелююгргь и (х. У) всюду в облатпи 6 сходится к некоторой гармониче ской функции. и(х, у).
При этом во всякой замкнутой ограниченной части области С сходомость будет равномерной. Дока з а тель ст во. Покажем сначала, что наша последовательность сходится равномерно во всяком круге К, радиуса ггг с центром в А, если его замыкание К, лежит внутри 6. Оценим разность ивер — и„= с„,р, где р— произвольное целое положительное число. Н силу предполоигения теоремы с„,„-. О. Возьмеы концентрический сК, круг Кв больпгего, чем у К„радиуса В+в, но все ещг легкащий вместе с его замыканием внутри 6.
Представим каждую из функций г:„„ка К„в анде интеграла Пуассона г' .Р(г". ге) = 2* ,г ()( ~ е (Л+г)е-Ее 1 р ф)1К ., +„,„,„с„„, дф. (.,3О) эллпптичяскив уРАВнений (гл, 3 Так как — 1 ~соя(р — ф)<. + 1, то ггз г Р (Л+гл — гг д+г4 Р (5 >0) гг 4- г -Э Р ~ (Н+ г >2+ Рг — 2 (гг + Ы р ' Оз (т т1 Н+ г Р Пользуясь тем, что г.„,р(В+г, ф)«л0, мы получаем на основании (4,30) и (5,30); Егг К+2+ 2 .-=: ~» о., (В .=. ф) г(р=- '., (1» 'Р) < 1Л+л — рг «гг НО по теореме о среднем арифметическом «л ,— ') г;„р(В+2, ф) ггг1> =2.„„(0,, гр) = г,, (А). Поэтому ' О„,р(А) <г»»р(Р, Р) .-.— "' Р с„.р(А).
(0,30) Л+ььр О«с«ода видно, что последовательность и„сходится равномерно иа К„если она сходится в точке А. Поэтому согласно первой теореме Гараака предельная функция будет гармонической внутри К,. Чтобы доказать схолнмость последовательности и в какой-нибудь точке В области 6, соеднипм эту точку с А ломаной (, состоящей из конечного числа звеньев и лежащей целиком внутри 6; зто возможно по определению области. Ломаная г вместе с точкзмн А и В есть замкнутое множество. Так как она не имеет обп(их точек с границей 6, то, следовательно, ока находится па положительном расстоянии б от этой границы, которал также является замкнутым множеством.
Возьмем теперь иа пересечении окружности К, с линией г'точку Ае, Вокруг этой точки, как центра, опишем круг К, раднуса —,. Согласно сказанному прежде, на этом круге вместе с его границей последовательность и„ сходится равномерно. Точно так яле она сходится равномерно яа пру~в К, ра- 4 зо] ОснОВныв сВОпстВА РАРмонических юункцип 245 Ь диуса —.
н на его граница, если центр К лежит на пересечении 1 с окружностью Ке. Конечным числом таких кругов К, (г =-1, ..., >р') можно покрыть всю лини«о и притом так, чтобы точка В лежала внутри Кн. Тем самым будет показано, что на всей линии! н, в частности, в точке В последовательность и„сходится, Так как в канлдом из кругов К, н, в час«ности, в Кн эта последовательность сходится равномерно, то по первой теореме Гарнаьа предельная функция будет гармонической в окрестности В. Докажем теперь, что последовательность и„(х, у) равномерно сходится ва всяком замкнутом ограниченном множестве Р, лежащем внутри 6.
По теореме ГейнеБореля множество К можно покрыть конечным числом кругов К,,..., Кн, лежащих вместе со своими границами внутри 6. Согласно доказанному в предыдущем абзаце последовательность и„(х, у) сходатся в центре каждого нз этик кругов, Следовательно, согласно тому, что было доказанг> выше, эта последовательность равномерно сходится нз каждом пз кругов К,.
и, следовательно, на всем множестве К. Эту теорему часло называют второй теоремой Гарнана. Теорема 5. (Теорема Лнувилля.) Гарлгонггческая на всей няоскости у>ункг(ия и (х, у) не хлоогеехл быть ограни мнной сееоху игггг снизу, если она не настоят>а. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, например, всегда и(х, у)> М, где М вЂ” некоторая постоя>«ная. Прибавляя в случае надобности к функцпя и(х, у) постоявнув, мы всегда можем достигнуть того, чтобы было М'лО.
Принимая это предполоигение, покажем, что значение и в любой точке ~)(Р, р) в точности равно значению и в начале координат (полюсе) О. Этим самым будет показаног что и - постоянная. Возьмем для этого круг К с центром в точке О такого большого радиуса Я, чтобы точка г)(р, е) лежала внутри него. Представляя в К функцщо и в ваде интеграла Пуаосона, получим: ( Лг Рг Ж) = — ') (В, Р) —,— — (ф. Зк ) г яг ~.ьг-хлр.ог(т-р) 'е РАЗ ЭЛЛИПТПЧЕСКНЕ УРАВНЕНИЯ (Гл. 3 Ото!ода получаем аналогично (6,3О) — Р и (О) ~ и ф) < — Р и (О).
Прн К-+ со получаем и(0) и(()) <и (О), откуда и (4г) = и (О) . Так как (! — произвольная то~!!".а плоскости, то это равенство означает постоянство функции и. Теорема 6 (об устраппмой особенности). Пусть и(т, у) — ограниченном !дункг»и,ч, гармоническая в окрвсгиности точки А за исключением самой точки А, где и(х, у) нв опредвлвна. Тогда функцию и(х, у) можно в тачке А оирвделить таа, чтобьг и(х, у) била гармоничвской во всей рассматриваемой окрвсгиности гночви А, в том числе и в самой точке, А. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для простоты обозначений примем точку А за начагш координат, Пусть К вЂ” круг радиуса Н с центром в А, целиком леи<ащий внутри рассматриваемой окрестности А.
Пусть и, — гармоническая внутри К функция, которая совпадзет с и на гранино К. Пологким и — и, = в. Фуикцггя о (х, у) будет гармонической и ограниченной во всбм круге К, кроме точки А, гда опа не определена. На окружности К функция О обращается В нуль. Покажем, что всюду вкутрп К, кроме точки А, с == О и, следователщго, и = и.„. Если, ПОКаэаз Эта, МЫ ПОЛОжг М В Сапой ТОЧКЕ А фуинцщО равной нулю и, следовательно, и =. и„то тем самым будет доказана наша теорема.
Чтобы доказать тождество ожО во всем круге К, кроме точки А, построим на этом круге функци!о ВГ га— игв(Р) = к га— л где М вЂ” верхняя грань (с» ва К, в — некоторое малое положптельное число, а о = АР, с!гупнция в,-(Р» является гармоьгической функцией в области, ограниченной окружностями р =- Л и о = г, обращается в нуль прн о = Рг и в М при Р=г. На основании теоремы о максимуме и минимуме гармонических функций для любой точки Р, ! в зо] осноВНЫЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧескИХ ФУнкцпИ З47 лежащей в кольце между окружностями р='К и !г=-г, при любом г !и„' (о(Р)) <М вЂ”, !ив л так как на этих окружностях — иь (Р) < с (Р) ч ш; (Р).
Но при г . О правая часть этого неравенства стремится к нул!о. Поэтому левая часть равна нулю, так как она не зависит от г. 3 а м е ч а н и е $. Теорема 6 верна в более общей формулировке: пусть и (х, у) — гармоническая функция в окрестности точки А за искжоченвем самой точки А, где и(х, у) не определена, и для люоой точки Р из этой окрестностя (7,30) где !к(Р)- О, когда Р- А. Прп этих условиях функцнго и(х, у) можно в точке А определить так, чтобы и(х, у) была гармонической во всей рассматриваемой окрестности точки А, в том числе п в самой точке А. Доказательство этого предло>не!чая аналогично доказательству теоремы 6, Замечание 2.
Пусть и(х, у» — ограничеккак н гармоничесгчая в области 6 функция, непрерывная Во всех точка~ границы 6 за исклгочгопием конечного числа точек. При этих условиях функция и(х, у) не может внутри области 6 принимать значения, больпьне, чем верхняя грань значений и,(х, у) на границе области 6, к мекьшие, чем внгкняя грань значений и(х, у) на границе 6. Действительно, пусть М вЂ” верхняя грань значений и(х, у) па границе 6. Для простоты предположим, что и(х, у) непрерывна во всех точках границы 6 за исключением одной точки Р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
