И. Петровский - Лекции (1120446), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Действительно, если точку её принять за начало координат, то функция — „, где р и >) суть соответственно действительная и мнимая части 1п —,, обладает всеми свойствами «+ >г> зы функции есо, если Ь означает диаметр обчасти С. Но функция —, = — Вес) р г р>е-»' к-ь>к !и— зм может перестать обладать этими свойствами, если точ- ка () лежит на границе неодносвязной области С. Так будет, напрдмер, в том случае, если область 6 заклд>- чена между двумя концентрическими окружностями н точка (> лежит на меньшей из ннх. В этом случае функция — .
- перестает быть однозначной. Поэтому р рк „. т> условие А целесообразно заменить следующим более общим. Ус,лови е В.,>(ля как угодно малой окраинности б>о точки (> (У„, здесь означает ту часть полной окрестности точки, которан принадлежит обчасти 6 и се границе) суигсстгугт одыогначнал супсргармоничеекал функ>гик Оо (барьер), облада>ангел слгдуюигими свойствами: 1. Яг, определена ану>ири б'о и на гё гран>е>гс, причем всюду непрермена; 2.
11~ ф)-.-0; 3. $2О >0 га гсех точках, кроме (); Из этих трех свойств 1)о следует и ее четвертое свой- ство: 4. $Ьс:й > О г тгх граничних тачках К„катар>ге принадлсэ>сат 6; здесь й — нека>корал настоянная. Покажем, что если точка () удовлетворяет условшо й, то ока удовлетворяет также условию А. Построим для этого функцию ес(Р), положив нее(Р)=ш>п ( — Ре(Р), 1~ з б>о, 2 мсе (Р) = 1 вке б>>з.
й(ы утверяедаем, что эта функция обладает всеми свой- ствами, перечисленными в условии А. Действительно, 1) ч>с. (Р) непрерывна в С, 2) ь>с Я)=0 256 - аллиптичвскив пгавивния 3) мо '> О во всех точках 6, кроме точки (). 4) Остается показать супергармоннчность функции »>о(Р)> т. е. что (гл. 3 Я;=— Р ге+ т будет обладать всеми свойствавви, перечнсленнымн в условии В. В случае а > 2 нетрудно построить функцнво вес пля всякой граничной точки ф, которан служит воршиной некоторою круглого и-мерного конуса 6о с прямолинейными образующими, у которого все точки, достаточно М)» ~ мо (3,31) Обозначим через 6, ту часть 6, где >с> = 1,и через 6„— остальную часть области 6. Тогда справедливость соотношения (3>31) будет очеш>дной в том случае, если внутри шара К нме>отея точки нлн тольке из 6,, нлн только из 6„.
Остается рассмотреть последний возможный случай, когда внутри шара К имеются точки как нз 6„, тзк н из 6 . В этом случае справенливость соотношения (3,31) для топ чаете шара К, которая принадлежит 6„, следует из того, что там мс= 1, а (»ц)» 1. Справедливость же соотношеипя (3,31) для точек пересечения К6» областей К и 6 следует из того, что в каждой нз тех чбластей, на которые распадается К6„, функция мс супергармонична, а функция Вес)» гармонична; кроме того, значения мо на границе каждой таков области не меньше значений (»>4)». Для в= — 1 рассматриваемая краевая залача тривиальна. Поэтому во всем дальнейшем мы будем считать о В случае в=2 легко показать, что всякая граничная точка (! области 6 удовлетворяет условию В, если точка () является концом некоторой кривой 1, лежащей вне 6+ р и пересекающей все окружности достаточно малого радиуса с центром в точке (!.
Действительно, перенесем начало коордпнат в точку 1~ и будем считать, что окрестность Пп так мала, что все ее точки отстоит от 1') меньше, чем на с, где с< 1 н дуга ! пересекает границу круга, содержащего Уо. Если тепеРь положить !Н(вч 1У) =Р+ вд, то фУнкциЯ 1 31! оущзотвоВАе1иа Рв>ннния 3АдАе!и диРихлз 257 близкие к (), лел!ат вне 6. Для этого рассмоцп>м одно- связную область 6», образов|пну>о точками,,лежащими внутри некоторой я-мерной сферы о радиуса Л с цент- ром в точке 1> и вне конуса Оэ. На границе 6" зададим функцию >е, положив Уе (Р) -- дР где (,>Р означает расстояние между гошами Р и (). Нине- няя гранвща и* всех верхних функций, построенных для области 6" и функции >е, принимает на основании кри- терпя с шаром, сформулированного на стр.
254, значе- ние /е во всех точках границы 6», за исключением точ- ки ~1, к которой этот критерий неприменим. Чтобы убе- диться в том, что функция и" об>ладает всеми свойствакн функции Яо, нужно еще доказать, что она в точке 1,> принимает значение О. Для этого заметки прежде всего, что ие(1е»)>О, так как функция, равная тождественно вул>о, ость нижняя.
Мы обозначаем здесь ие(® — -!Ив ие(Р), соответственно ие ((>) = !плие (Р). Р с> Остается показать, что ие(~) =-О. Допустим, что это ие так, и значит, и* ((3) =- с > О. (4,31) Примем тогда точку !',! за начало коордвшат и рассмотрим функцшо и"""(Лв, ..., Я,) =и»(йя„..., йте), где й ) 1. Очевидно и** ф) =- и» (()) = с ' е О. Но, с другой стороны, пользуясь тем, что и*(Р) <" В внутри 6, легко видеть, что во!оду на границе области 6»*, где определена функцкя и**, за исключением только точки (), и' < с>и-, (5,31) И. Г.
П»тэ»ЕЕ»»Э ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА ДНРНХЛЕ $321 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЙ (гл. 3 где с, есть некоторая постоянная, меньшая единицы, зависящая от й. Функция иь — сгич*, гарлгоническая в 6г~, непрерывная во всех точках границы 6гч, за исключением точки (), н верхняя грань значений и* — ггиг" на границе 6ЯЯ неположктельиа.
Поэтому согласно замечанию 2 к 3 30 ич — сгггг* ~0 Вшоду в области 6Я*. Пз того, что соотношение (5,31) выполняется на всей области 6"~, следует, что и*(()) <ггиьг(6= с,с. Так как с, ° 1, то зто соотношение находится г противоречии с (4,31), если с Р О. Задача. Показать, что не существует функции, гармонической па всем круге без его центра, которая прннимаот значение Она окружности и значение 1 в центре.
5 32. Внешняя задача Днрнхле Внешней задачей Дпрпхле мы будем называть слону югную задачу. Пусть дана некоторая аграниченнал область 6 такач, что гиочки, ке иргггсадггеггсагггггг 6 и гг граначг Г, абраг уют область с граггггг)гй 1"'. )г ггсиьь на граниггг ег задана нгиргрыгная фуггкг(ил ). Тргбугтся ггайти фуккчша и (Р), гармоническую гне 6-г.
Г и иринимагогс)ею на гракиг1е Г гаданныг гкаягния,г. Мы говорим здесь, что функция и принлмает заданньго на границе 6 значения ), если функция о, которая совпадает с и вне 6-г-Г п с г — на границе Г, непрерывна ка всем лгно>кествс ее определения. П р им е р.
Пусть и каждой точке (х, у, г) пространства вне некоторого тела и на границе этого теда установилась определенная, не зависящая от времонп, температура и. Известно, что в таком случае и удовлетворяет уразненшо Дапдаса вне 6. Таким образом, чтобы нанти установнвшугося температуру вке 6, приходится реигать внешнгого задачу Дирихле, Всльг ие накладывать никакого ограничения на поьедение решения внептией задачи Дирихле в далеких точках пространства, го зта задача имеет много решений. Для того чтобы гарантировать единственность ее решения, в двумерном случае требуют ограниченности решения, в многомерном случае — стремления этого решения к нулю прн стремлении точки Р в бесконечность (функция и(Р) стремится к нулю при Р-+ со, если ~ и(Р) ~ < ь для всех точек Р, лежащих вне шара достаточно большого радиуса с центроьг в начале коордпнат). Решение внешней задачи Дприхле сводится к решению задачи Дирвхле для ограниченных областей, которую мы рассматривали в $ 31 и которуго теперь, в отличие от внешней задачи Днрнхле, будем называть внутренней задачей Дпрнхле.
При атом выявляется роль тех дополнительных условий в бесконечности, которые налагаются на решеьше внешней задачи Дирихле (точнее, которые излагаются на значения этого решения в далеких точках). Возьмем внутри области 6 некоторую точку О и сферу (окружность в двумерном случае) Ь радиуса Л с центром в точке О. Сделаем преобразование пространства обратнымн радиусами-векторами относительно этой сферы, т, е. такое преобразование, при котором каягдой точке Р этого пространства ставится в соответствие точка Рь, лежащая на луче ОР, для которой ОР ОРЯ = — ггг.
Прн этом преобразовании точки сферы о остаются неизмениылгн, вся та часть пространства, которая лежит вне (соотвотственно внутри) Я, переходит в ту часть пространства, которая лснсит внутри (соответственно вне) Б. Таким образом, все те точки пространства, которые легкат вне 6, преобразовываются в точки некоторой ог1 аниченной области 6ь, округкакгщей точку О. Каждой точке 6*, кроме О, прп таком преобразовании соответствует одна и только одна точка, лежащая вне 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
