И. Петровский - Лекции (1120446), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Мы будем считать лн- ншо Х ориентированной, то-есть такой, ва которой указана внешняя и внутренняя сторона. Нормаль нл будем считать внешней. В дальнейшем мы будем рассматривать только теорн1о потенциала на плоскости. Развитие этой теории в пространстве любого числа измерений проводцтся аналогично. Задача. Вычислите потенциал простого слоя от заряда, равномерно распределенного на окружности.
(Получающийся интеграл можно вычислить при помощи теории вычетов.) 3. В дальнейшем мы будем рассматривать плоскую линию Х с непрерывно вращающейся касательной, ио имеющу1о точек самопересечении. Тогда для люоой точки Рб Х. моекно расположить оси координат я, у так, что Р оудет иметь координаты я=0, у=0 и часть Х в достаточной близости от Р представима в виде у=- р(и) ( — Ь <а:<Ь; Ь > О), (14,34) причем Р'(я) сущеотвует и непрерывна.
Пусть функция Г (А, Хв) определена и непрерывна по совокупности переменных, когда Аб Х, а Х1 как угодно меняется на плоскости, не совпадая с. точкой А, н не определена прп ~Х = А. Тогда интеграл шф)= ~ Г(.4, ~)йл (15,34) во всяком случае определен и является непрерывной функциев ф когда (Х меняется вне Х; доказа- Рис тельство этого элементарно.
Если Д = Р находится на Е, то интеграл (15,34) является несобственным, так как подинтегральпая функция не определена прп А = Р. Мы будем тогда, как обычно, говорить о сходимостп пли расходимостя интеграла (15,34) в зависимости от того, существует' пли не существует предел 1нп ~ Р(А, Р)д(л, (16,34) где 1 — дуга Х с концамп А' н А", лежащими по разные стороны от Р (рнс. 15). Мы окажем, что интеграл (15,34) равномерно сходится в точке Рб Х., если для любого е > 0 найдется такая окрестность т' точки Р (см. рис. 15) и такая дуга 1 кривой Х, еодероюаи(ая точку Р строго внутри себя, что для любой гио ига, (7б 1' интеграл ~ Р(А, д)Жл (17,34) сходится и ио абсолютной величине с, з (требованне схо- 18 и.
г. Петровская эллнптнчгскив уеквяяния >г>г. 3 275 теогия пот'внць>Аль димости существенно, только если () находится на > бщей части ! и у). Теорема 1. Пуспгь интеграл (15,34) равномерно сходи>пся в некоторой точке Р Е Ь. Тогда для всех точек (>, яеэ>саи,их на Ь достаточно близко от Р, и>тжграл (15,34г) сходится и определяет функцию и> !'(>) е некоторои окре- стности точки Р.
Рта функция непрерывна в томке Р. Доказательство. Возьмем любое з > О н выделим >красивость 1> н дугу ! согласно определению равномер- ной сходныостн в точке. Тогда для любой точки ф, вну- тренней для дуги ! н ленгащей в У, интеграл (17,34) сходится. Поэтому в интеграл (15,34) для таких точек сход>хеся, и первое утверждение теоремы (об определен- ности и>()) в некоторой окрестности Р) доказано.
Чтобы убедиться в непрерывности и>((>) в Р, пред- положвм, что () находится в !>. Тогда и'(6 — (Р)]= ~ Р(4 ВА(~ — ~ Р(4 Р)д(~Ь[~ ь ь < ~ ) Р ( 4 >ч>) сг!А ~ +! $ р (А Р) >!(я1+ > + ~ ~ [Г(А, >7) — Р(А, Р)] А!л]ч",, < 2е + ~ ] Р (А, ~) — Р (А, Р) ! а/я. >,— г Однако, если ! фиксировано, то последний интеграл ста- новится маньи>е е, если (> находится в достаточно малой окрестности точки Р; зто следует из равномерной непре- рывности подинтегральной функции, когда А меняется по Ь вЂ” 1, а () — по указанной окрестности Р. Таким обра- зом, если >7 находится достаточно близко от Р, то ]ж(()) — ю(Р)] < Зв, что, в силу пронзгольности г, доказывает непрерывность функции го(()) прн !>7 = Р.
Теорема 1 доказана, Теорема 2. (ес>г>г ч>(Л) и .(А) — нюгрерывиые функ- >!>ггг, то >готенцаолы прес>кого и двойного слоя (12,34) и (!3,34) всюду ене Ь являются гормонимескими фу>гкц>гял>и. Действительно, возможность дифференцировать функ- ции (!2,34) и (13,34) по координатам точки с> лкгбое число раз, если !) не лежит иа Ь, доказывается так же, как в математическом аналнзе доказывается возъгож ность дифференцировать определенный интеграл по параметру, от которого зависит подннтегральная функция. Поэтому утверждение теоремы 2 сразу следует нз гармоничности подинтегральных функции в (!2,34) и (13,34).
Т е о р е и а 3. Интеграл (12,34), если ю (А) — непрерывная функция на Ь, сходится, когда >',> лежит но Ь, Таким образом, потенциал просп>ого слоя является функц>ген, определенной на всей плоскости. Эта функция непрерывна в каждой гаечке плоскости, Действительно, в силу теорем 1 к 2, достаточно проверить равномерную сходнмость интеграла (12,34) в любой точке Рб Ь. Для этого возьмем точку Р за начало координат н, направив подходящим ооразом оси координат. запишем уравнение части Ь вблизи Р в виде (14,34). Эту часть Ь мы обозначим )>ю Имеем: ~ ч> (.4) ! и — г!!л ~ < >пах ] ч> (А) ] ~ ] 1и > (А, >„'!) ] >Лл = .(.', >» >» =шах]ю(А)] ~ ] !>г !>' (х — а)ч+(у — (>)'] ]' 1+[(>'(а)]за>а, (18,34) где (> = ц>(о).
Если !> и й достаточно малы, то расстояние между любой точкой (х, у) области 1г и лгобой точкой (а, (>) >шипи !ь будет меньше 1, откуда О ~; [ х — а ] < ЗГ(х — а)'+ (у — 5)Я < 1, и оценка (18,34) дает тогда, если ()Е!>, ~ ~ ы(А) !и — с(!л ~ < < шах ] ю (А) ] шах ]> 1+ [з>' (а)]е ~ ] !и ] х — а ] ] г(а < > г» -ь ш :~шах ~в>(А)] шах1' 1+ [у'(а)]" 2 ~ [!па]да.
ь с Правая часть последнего неравенства, как легко видеть, !3" 277 тногии потянцнхлА 1 34) эллиптнчвгкин гвлвнвния (гл. э стремится к нулю при й -ьО равномерно относительно точья ф, меняющейся в Хг. Теорема 3 доказана. Замечание, Сходимость интеграла, стоящего в левой части (18,34) (прн Хг б ьь), мы доказали одновременно с оценкой этого интеграла, так как несобственный интеграл всегда сходится, если он сходится абсолютно. Ьудем в дальнейшем через 6 обозначать область, ограниченную замкнутой кривой Х с непрерывно вра- щающейся касательной, а г через Н в область, состоящу!о из точек, не принадлежащих г, 6+Х Теорема 4, ХХотвнг)иа ! л вв л двойного слоя на Х с вди- ничгвой плотностью (т.
е. нн- 4) теграл (13,34) при ч(А)=1) равен — 2к ири Х)б6, сходится и равен — н ири ьХ б Е, равен нулю при Д р Н. Действительно, в усть нвляется внутренней точкой 6, а 4 обходит Х в положительном направлении. Обозначим через аол угол наклона вектора 4).4 к оси Х. Тогда. обоЗпачкн ЧЕРЕЗ АВ Вэнтар, ПОЛуЧЕННЫй ИЗ !ХА ПОВОрОтОМ на + 90', имеем (рнс. 16): дс<;! ссг (АВ, чл) сов(ггА, и,!) сов(А(), и )') аЕ Г(А, ()) г(А, (~) г(Л, ХХ) Отсюда сов( Ю л) <-р ! ХА =- — !(вол =— г(А,Е Случаи вг б Х и (г б ХХ расом а грввзютгя аналогично. Теорема 4 доказана. Перейдем теперь к общему случаю.
Пусть дополнительно дано, что Š— плоская замкнутая линия с непрерывно вращающейся касательной, со- в) Это нвгно нуавернть, если заменять днф(!еренцналы лрнращс- нннмн, а дугу л! — касательной н ней в точке А. стоящая из конечного числа выпуклых дуг н прямол!лкейвых отрезков. Мы называем дугу выпуклой, если каждая прямая пересекает ее не бочьще чем в двух точках. Пусть 6 — ооласть, ограниченная кривой Е,.
Выпуклость некоторых из дуг, составлявощнх Х;, может быть обращена и внутренности 6, а некоторых — к внешности 6. Тес рема 5, Интггра,в (13„34) сходится, когда () р Х., гали х ( 4) непрерывная функ!)ия на Х . Таким абрагом, иотгн!)иал двойного слоя и (ьх) опрвдвлв!! формулой (13,34) всюду на илосгогти. ХХрп етом он имеет на Х., вооби(г говоря, разрыв первого рода. Болев точно, на 6+ Е ил!ггт!ся нгпрврывпа.ч, ф!унк!)ия и (!)), на Н+ Х— непрерывная ф7днк!)ия и(сХ), пХпгчгм и (г7) = и (Х)), осли !,"! б 6, и(гХ) ьг(!„)), если ()б Н, -„(,~) + н (Е, (19,34) и(Е)) =-,, -', если ()р Е, и(!Х) — и((г) =2ах((7), сочи !',)б )'. Доказательство.
Возьмем л)обую гошу РбЕ и рассмотрим наряду с потеши!алом (13,34) другой потенциал двойного слоя — 2нс(Р), если гт 6, г сов(А4!, ил) п (()) =. ( х(Р) д)л= — нс(Р), если ()б Х,' ,1 г(А, ф ь) О, ес.ли ()ЕН, Составим разность сов(А!2, ил) (Е -, ((,Х) -. ~ ( (А) — (Р)) „'(, ' ) дХ, (20,34) !. н докажем, что интеграл справа равномерно сходится в точке Х)== Р. Ото!ода, в силу теоремы 1, будет следовать, что и(ч) при 4Х Р имеет разрыв того жо влда, что и иг(!Х), Это означает, что и(!)) имеет предел при (Х вЂ” ьР по 6 и прн гХ вЂ” >Р по Н; само значение и(Р) суп!ествует и равно среднему арифметическому этих предельных значении а скачок функции и(Е в Р при пере- 27:) тзогня потвнциАлА эллпцтичвскив угАВнвния 273 ходе из С в ХХ равен 2.т(Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
