И. Петровский - Лекции (1120446), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Пусть Все точки 6 отстоят от Р, ие больше чем на Н. Построим функцию иь!Р) = М+ +в»п †. Рассмотрим Область 64 состоящуго из точек и области 6, расстояние которых до Р больше Ь. Легко видеть, что на грангще этой областий(Р) < иь(Р), есчи в достаточно мадо. По теореме о максимуме н минимуме ЗЛЛНПТИЧВСКИВ УРАВНВНИЯ ( ЗЦ СРЩВСТВОВАПНВ РЙШЙНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛВ 249 (Гл. 3 гармонических функций и(Р) - в,(Р) в 6;. Устремляя г к нулю, получим, что и(Р) с.'М в любой точке Р области 6, Точно так жо получаем, что и (Р) тат, где т — нижнэя грань значений и (х, у) на гранппе области 6, Замечание 3.
Все доказанные в настоящем параграфе свойства гормонпческих функций от двух независимых переменных скхраняются для гармонических функций любого числа независимых переменных и могут быть доказаны аналогично. При этом условие (7,30) в случае и > 2 независимых переменных заменяется условием ~ и (Р)! .< р (Р) — „„„ где АР— расстояние от точки А до Р, и 1 (Р)- . О, когда Р-ы А. й 31. Доказательство существования решения задачи Дирнхле Идея приведенного виже доказательства принадлежит Пуанкаре.
Первоначальное доказательство Пуанкаре несколько улучшил Перрон. Так как последующие рассуждения одинаково применимы к областям любого числа измерений, то мы не будем ограничиваться рассмотрением только двумерного случая. г. Основные определения и метод решен п я з а д а ч и. Пусть внутри и-мерной ограниченной области 6 н на ей границе задана непрерывная функция с; чорез К будем всегда обозначать какой-нибудь п-мерный шар, все внутреншю точки которого принадлежат 6, через (г)А — непрерывную функцию, равную о вне К н на его границе н гармоническую внутри этого шара К. Для того чтобы функцпя о была гармонической, очевидно„ необходимо н достаточно, чтобы для всякого шара*) К было (г )А == в. Будем называть функпию г супергармонпческой (соотретствонно'субгарлеонической), если' для всякого шара К (г), 4 г (соответственно (г )А >.
г). (т,31) *) Пра о=2 надо было бы К назвать кругом, а яе. шаром. Назовем гераней (соответственно низесней) функцией для заданной на границе 6 непрерывной функции ~ супер- гармоническую (соответствеыно субгармоническую) в области 6 функцщо с, если на границе 6 г~ > р' (соответственно с <)). Бо всем дальнейшем мы будем рассматривать только такие супергармонпческие я субгармоническпе верхние и нижние функции, которые непрерывны внутри 6 н на ее границе. Поэтому, говоря о супер- и субгармонпческих функциях, мы будем предполчгать их нопрерь|вными внутри и на границе 6, не оговаривая этого особо. Метод Пуанкаре-Псррона состоит в следующем.
Для заданной ограниченной области 6 и заданной на ее границе непрерывной функции ~ мы определяем семейство всех верхних функций. Испо, что это семейство не пусто, потому что всякая постоянная сйлзир~ уже является верхней функцией. Определим значение функции и в точке Р, принадлежащей Г кэк ннжнгою границу значений в этой точке всех верхних функций.
Мы докагкем, что функция и является гармонической внутри 6, принимает заданные значения / и непрерывна в тех граничных точках зтоп области, где выполняются некоторые условия, о которых мы скажем ниже. Предварительно нам надо будет доказать несколы"о свойств супергармонпческкх и верхних функций. 2. Некоторые свойства супергармоничесипх я верхних фуыкцнй. Т е о р е м а 1. а) Всякая гармоническая функция еупгргармонична и субгармонична. б) Если и супгргармонична, а и гармонична, то г ~ и супергармогшчна. в) Еулема двух (и, следовательно, л|обого конечного числа) супергармоническаа функций супгргармонична. г) Если и супергармошечна, а ю сгу5гарнонична, то и — го суперга рл~огигчна.
Аыалогичные теоремы справедливы для субгармонячоских функш1й, Первое из этих утверждений очевидно. Остальные два доказывакгтся легко, если мы примем во внимание, что (ог+ сг)А =(гч)»+ (гз)А' 1зц сяжвствовяннв Рвшвния зядкчи дивихлв зб[ еллиптичвскип уРАвниния [Гй. 3 Пользуясь этим соотношением, докажем, например, утверждение вь Пусть а, н а,— две супергармоннческяе функции. Тогда (ь»)» < п» (а»)» < а» счедовательно, (а»+ ае)»=(а,)»+(а»)»<а,+а», т. е. а, + а,— супергармоническая функция.
Т ео рема 2. Суиергарлоническая в области С функиал а прилил»ает наилГеньи»ее значение на границе С. Доказательство. Допустим, что функция а принимает свое наименьшее значение т в некоторой точке Р, находящейся внутри С. Тогда вокруг этой точки, как центра, можно описать такой шар К, касающийся гракицы С, на границе которого с всГоду должна быть равна т; в противном случае по теореме о среднем арифметическом в точке Р было бы Следовательно, функция а должна быть равной т в некоторых точках границы С.
Теорема 3. Вслкал верхняя функцил а нигде не леныие любой нигГспей функ»ни ю. Д о к а з а т е л ь с т в о. Супергармоническая функция а — ю по теореме 2 принимает наименьшее значение на границе области, но там она неотрицательна; следовательно, она неотрицательна н внутри области. Теорема 4. функция а=пил (а„аз,, и„), где а„а,, а„суть верхние функции, есть така»се верхней функция,.
Доказательство. Ясна, что функция а непрерывна внутри С и на ей границе н что иа границе С а ~ ~. Остается доказать, что а удовчеяворяет неравенству (1,31) для всякого шара К. Для этого заметим, что с(Р) равно значению в точке Р одной из функций а„а... а„, например а,. Поэтому в точке Р ь = а» > (с»)» > (а)ю что н доказывает неравенство (1,31). Здесь мы поль- зуемся тем, что если а (а„то всегйа (с)» <(с,)». Теорема 5.
Если а есть верхняя функция, то (а)» ес»»ь таймсе верхняя функция. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим (ь)ь = я. Из всех свойств, которым должна удовлетворять верхняя функция, очевидно, нуждается в доказателы.тве только то, чяо для всякого шара К, (с)», < з (2,31) Это свойство также очевидно, если шар К, лежит цели- ком внутри К или вне К. Остается рассмотреть только тот случай, когда шар К лежит внутри К, или когда границы этих шаров пересекаются. На границе К, Поэтому и внутри К, (я)», <(а)»„ так как обе фуикпии (г)», и (а)», гармоничны внутри К„. В силу супергармоничности а (с)», < а. Вне шара К н на его границе функции с и и совпадают. Поэтому лежит ли К внутри К, нли их границы пересекаются, сдраведлвво соотношение (2,31) вне К и на его границе.
Справедливость же этого соотношения внутри пересечении КК шаров К н К, следует из того, что функции з и (я)», гармоничны внутри КК, и потому„ раз соотношение (2,31) имеет место на границе области КК„опо имеет место и внутри этой области. 3. Доказательство того, что нижняя гранилаа и (Р) всех верхних функций гармоничнаа. Чтобы доказать гармоничность функцпи и во всей области, очевидно, достаточно доказать гармоничность вэ еллиптичйскнв уРАВнения )ссс.
3 о лгобом шаре К. Возьмем одну из верхних функций ьп боторая в пентре Р шара К принимает значение, не вклъшее и(Р)+г. Мы можем считать г:, гармонической внутри К; если бы ь, не была гармонической внутри К, то вместо ь, мы могли бы взять (с,)„, которая, согласно теореме 5, также есть верхняя функцкя и которая так же, как н с,, принимает в точке Р значение, не большее и (Р) + г, Возьмем, далее, верхнсою функцшо ь,', которая в точке Р принимает значение, не большее, чем и (Р) + —.. Положим ь,=(ш(в(ьи ь,'))„, По теоремам 4 и 5 функция ь» также есть верхняя функция. Продолжая такие же построения, мы получим бесконечнусо убываюшусо последовательность верхних функций ь„ьг,..., ь„,..., гармонических внутри К.
Эта последовательность ограничена снизу (теорема 3). Следовательно, ло теореме 4 у 30 (вторая теорема Горянка) зта последовательность внутри К равномерно сходится к некоторой гармонической функции ь. Докажем, что внутри К г =и. Допустим, что зто ие так. Тогда существует верхняя функция ., которая в некоторой точке Р, внутри шара К принимает значение, меньшее, чем ь (Р,). Опнпсем шар К, радиуса о с центром в точке Р, яа поверхности которого лежвт точка Р,. Тогда всякая функция г„=- (пнв (г, гс,))»с есть верхняя функция. А так как последовательность ь„ на К, сходится равномерно к ь, то г„(Р) также сходится равномерно на К, н потому прп достаточно сбольшом и .отличается как угодно мало от значения в точке Р функпии (ппв (г, ь)).„которое меньше, чем ь (Р), равное и (Р).
.Это, однако, противоречит нредположеыжо, что и(Р) есть цнъняя граница значений всех в рхннх функций в точке Р. Нижнсосо грань всех верхних функций принято называть - обобшбнцым решением задачи. Днрихле, соответ- у зг) сушвствовьнив Решения зкдкчи диРихлв хбй ствуюш»см заданной граничной фуннпнн,с, Очевидно, что если существует решение задачи Днрнхле в области 6, принимающее заданные значении ~ на гранвце, то зто решение совпадает с обобщенным решением задачи Днрпхле, соответствующим заданной функции ~.
Точку сс границы области 6 мы будем называть регулярной, если для,свобой непрерывной функции с, заданной на границе области 6, обобщенное решение задачи Днрнхле, соответствугошее функции (, непрерывно в точке (с н равно ((сс). Ниже мы укажем ряд достаточных условий регулярности точки сс границы области 6, 4. Поведение функции и(Р) на границе 6.
Т е о р е и а. Функция и (Р) >сеггрер»сена и лринимает знамение /((с) в гранимной томке (с, если длл глжй томки гудовлелгворлетсл следусогцее в' с л о в н е А. Сусцеслгвует нел рерывная вн гутри 6 и на ее гранпце супергармоническал усункцил счсс (барьер), обладасогцал еледусосцссмсс свойствами; 4) „. (Сг) =О, 2) во всех томках Р области. 6 и ее границы, кроме томки ссс, ыс(Р) > О. Доказательство. Каково бы нн было произвольно малое полоя<гстестьное число г, всегда можно окрестность Ссс точки сг выбрать настолько малой, чтобы в каждой ее' точке Р, принадлежащей границе 6, было, в силу непрерывности ~, 1Ю) — <1(Р) <~Ф)+ .
Позтому пользуясь тем, что всюду в 6 вне сс'с функция чсс. (Р) превосходит некоторую положительную постоянную, легко показать„что функция й(Р) =.((с',))-е — Сыс (Р) если только С > 0 выбрано достаточно большим, будет нижней функцией а функция ф(Р) =1(0)+ +С-с(Р) будет верхней функцией. эллиптичвскив уРАвниния 1 зп ст»двствовлнив твшвиия задачи дивихлв 2бб ггл, 3 Докажем„например, что функция >)(Р) есть верхняя функция. Лепео видеть, что она супергармоннчна при всяком неотрицательном С.
Остается показать, что на гранкце 6 ока нигде не меньше г. Справедливость этого утверждения в окрестности По точки () счедует нз оцроделення окрестности По и того, что Сь>е> (Р) > О. Вне же этой окрестности ь>с(Р), по предположени>о, превосходит некоторую положительную постоянную и потому прп достаточно большом С величина С с(Р) может быть сделана ка>е угодно большой на всей границе 6 вне Гс. Очевидно, функция и(Р) прн всяком е > 0 заключена между этими двумя непрерывными функциями р(Р) н (> (Р) и, следовательно, ~(бг) — з= р(()) <1>ши(Р) <Вш>е(Р).-.ф(6): )((г) +т, Р->о А так как е произвольно мало, то, следовательно, 1ппи(Р) =1(е',)), е-~о и построенная вами функция и (Р) непрерывна в точке >„>.
При и > 2 легче всего построить барьер для такой граничной точки (), для которок существует п,-мерный шар с, центром в некоторой точке О, внутри которого нет нн одной точки облаетн 6, а граница которого имеет только одну точку е), общую с границей 6. Тогда за функцию мс,(Р) можно взять функцн>о ос> -' Ро -' ' где РО (соответственно Се',.г) означает расстояние между точками Р и О (соответствеяно 0 и Е. При всяком и > 2 эта функция гармонична. В случае и = 2 можно показать, что всякая граничная точка (3 области, ограниченной одной непересекающейся кривой, удовлетворяет условию А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
