И. Петровский - Лекции (1120446), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(14,25) Для решений уравнения (13,25) мы по физическому смыслу задачи получаем условие периодичности; нас интересуют только решения, нмегощие период 2т., Такгге решения сугцествугот при Для зтнх значений а Фа(р) =-Ан сов Бр+ В з1п яр. Мы можем выбрать полную систему ортогональных и нор- мированных на окруясностн функций Ф„(р)» например, так: »Гг Фс — — =, Ф»„'(р) =- ~à — соз и«р', Ф*„" (сг) = ~/ — з1п ир. Вернемся к уравнению (14,25). После подстановки значения а= ив н замены независимого переменного рг= Р '»ГА мы получаем уравнение Бесселя и-го порядка р»51" (р,)+ р,51'(р,) т (с,' — и')Я(р,)=-0, единственным, с точностью до постоянного множителя, решением которого, ограниченным при р, — -- 0 (т. е, при р = 0), будет функция Воссел»г и-го порядка первого рода У„(р») *).
Известно что при любом и функция У„(к) имеет бес» численное множество положительных корней рг, р4, ., так что Х„(рог) = О. Йзвестно, кроме того, что при любом фиксированном и функции Х„(рс"~х) (на=1,2,, ) ортогональиы между *) Ои., »»априиер, В. В. Отел анен, Курс д»»ч»фсрсн»сваль- ных уравнений, гл.
У1, 1 2, и. 2, стр. 2ЬО, гостехивдат, 195». 21В ГИПВРВОЛПЧЯСКИВ КРАВНВНПЯ (гл, 2 собой с весом х в интервале 10, 11 и образу)от полную систему ортогопальных функций на атом интервале: )») 1») х/„)р;„х) У»(р„м х) Ых = 0 при т ча )ик 'о Функции У„() 1;)в) р»м(х) = ~l 1 1У-( й")1'й при любом и образу)от полну)о систему ортогональных н нормированных функций, г)е приводя доказательства этих фактов»), заметим, что они явлшотся обобщением доказанных в 4 22 свойств собственных функций на уравнения с более общими коэффициентами, чем предполагалось в атом параграфе. Действительно, уравнение (14,25) мо)кет быть ааписано в виде (р1) ) — — 11+),р)~=0, а н мы видим, что первый и последний коэффициенты обра- щаются в нуль на одном конце отрезка 10, 1), а — обрат щается на этом конце в бесконечность.
В соответствии с этим, как можно показать, достаточно в качестве краевого условия задачи о собственных значениях для уравнения (14,25) при р — — 0 брать условие ограниченности рвшония, чтобы решвике определилось с точностью до постоянного множытвля, если при р =1 аадать какое-нибудь условие типа (2,22). Потребуем, чтобы при р=-1 аи ()'),р) =О, т. е. )тооы У,, (1 Х)=0.
Мы видим, что естщ р)1»), и~"),,р")... есть последо») См., например, Р. О. Н у з ь и и н, Бесселевы функции, ОНТИ, 19Й; А. Н. Тихонов н А. А. Самарский, Уравнения математической физнкк, Гостехиадат, 1951, стр. бас — 618. 2с) дополнит свкдвпия о совстввнных Функциях 211 вательность нулей функции У„(х), то собственными зна- чениями й нашей задачи будут ) м--Ы)1, а нормированными собственными функциями уравнения (14,25) будут функции Ф»м(р) = ° () м р) ~,/,) г Р»( ЙМ'Фу а Применяя лемму и. 1. мы мо)квм получить полную систему собственных функций Ф (р) ф* (р) Ф.„(р) Ф'* М) уравнения (12,25) и нанта решение кашей задачи, раз- ложив функции ра(р, р) н р,(р, ~) в ряды вида р (р )= Х Х М.~" (й)+"**ф.""(т))Ф,.(р) »=а т=1 О) ОЭ ~~(а~ Р) = ~) ~' (и11м»»(т) + и»т Р» (1)) Ф»т(У) »=ам 1 Умно)кпв ч:)сны первого ряда ка соответствующие Т*(1), а члены второго ряда на соответствующт)е У** (г) и оложнв получившиеся ряды, мы получим ряд (7,25), представля- ющий решение данной задачи.
Равномерная сходимость и возможность почленного дифференцирования получив- шегося ряда будут, как обычно, иметь место прк достаточ- ной гладкости функций р (р, в) и р,(р, т), если онн удов- летворяют тем ящ граничным условиям, каким должно удовлетворять искомое решение уравнения (1,25), и еще некоторым дояолнитвльным условиям на границе круга. 26. Дополнительные сведения о собственных фукцциях 1. Все сказанное до сих пор относительно задачи о собственных значениях для уравнения (1,22) естественно переносится на аналогичную задачу для уравненпя (р и„')„'+ (р ии)й — уи+ ари=0 (1,26) ГИПВРБОЛИЧВСКИВ Ъ'РАВНВНИЯ [гл. 2 » 2б) дополнит. сввдвния о совстввнпых м"нкцнях 2»з н уравнения (РЮ +(Р»и»)э+(Р»и.); — Чи + ~эн = О (2,26) в предположении, что функции Р, их прои непрерывны а .
н ч , а р» н р превосходят некоторые положительные постоянные. Будем искать решения уравнения (1,26) конечной б ) в некоторой не ав области Ю с кусочно-гладкой гр Л, раницеи р ные тождественно нулю н удовлетворяюц ие нице условию ряющие на гра- (З 26) ди + аи = О. (4,26) д Здесь э означает дифференцирование по»направле нню конормали», которое в каждой точке гран г аницы опре- деляется вектором (Р, со» (и, х), Р»сов (и, у)), где соз (л, х), соз(л, у) являются соответственно косинусами углов меж- ду направлением внешней нормали и осями Ох, 0у, а с есть некоторая неотрицательная функция, определенная на границе В, Аналогично предыдущему определим соб- ственные функции и собственные значения этой задачи.
Построим функционалы Й' (и) = ~ ~ ри»Ихйу, С(и) = ~ ~ (Р,и'+Р»и»+ ди')ЫхгЬ и в случае краевого условия (3,26) и 6»(а) =6(и)+ ~ си»Ж= ~ (Р»и» + Р»и»+ Чи») дхАУ.(- ~ си» Ж л в случае краевого условия (4,26). Тогда мы легко сможем перенести на этот случай все теоремы о свойствах сооствен- ных функции и собственных значений, доказанные в з 22. Для этого случая имеет место, в частности, теорема Куранта о максимально-миншэальном свойстве собствен- ных функций и вытекающая из нее зависимость собственных значений от коэффициентов уравнения, от области.0 и от краевых условий.
Как легко видеть, и-е собственное значение не убывает прн возрастании функций ((),Р °, У, —. К задачам этого типа мы приходим, например, при изучении колебаний мембраны, Тогда свойства, аналогичные описанным в п, п. 5в) и 6 з 22, приобретают интересную физическую интерпретацию, указывая характер изменения частоты собственных колебаний мембраны при закреплении ее на некоторых частях области Ю (и. 5в) илн при наличии у нее трошин (и. 6). Последнее свойство находится в соответствии с хорошо известным физическим фактом, что битые вещи издают более низкие тоны, чем цельные. Для уравнений (1,26) и (2,26) точно так же остается справедливой теорема о полноте системы собственных функций и о разложимости в равномерно н абсолютно сходящийся ряд по собственным функциям всякой функции /, которая на границе удовлетворяет тем же краевым условиям, что рассматрнзаемь.е собственные функции.
Однако при этом в теореме о разложимости приходится требовать от у большей гладкости, чем в случае одного независимого переменного. Прн двух и трех независимых переменных достаточно требоватэо чтооы функция ~ имела непрерывные производные до второго порядка включительно в замкнутой области и граница области была достаточно гладкой. Метод доказательства теоремы о разложнмости, изложенный раньше для случая одного независимого переменного, в этих случаях неприменим. Здесь приходится пользоваться интегральными уравнениями.
2. Говоря о поведении собственных функций уравнения (1,22), мы не касались вопроса о частоте перемен знака (»нулей») функции Х»(я), соответствующе»й собственному значок»по ),„на интервале (О, )). Об этом говорят так называемые осцилляцяонные тооремы Штурма. Оказывается, что, во-первых, а-я собственная функции для уравнения (»,22) при краевых условиях (5,22) имеет ровно (я — 3) нулей внутри отрезка (О, ») и, во-вторых. 220 ГИПВРВОЛИЧНОКИВ УРАВНВНИЯ (гл. 2 нули функции Х, г (х) «перемежаготся» с нулями функцгш Х„(х), т.
е. в каждом интервале между двумя корнями Х„+г (х) лежит один корень функции Х„(х) (ср. И. Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, б 39, Гостехиздат, «952). Относительно узловых линий л-й собственной функции уравнения ((,26) при краевых условиях (3,26) доказано, что они делят основную область 0 не более чем на и частичных областей, и известно, что этих областей, в отличие от случая одной независимой переменной, может быть меиьпсе чем и.
Никаких теорем, аналогичных теореме Штурма о перемежающихся нулях у последовательных собственных функций обыкновенного уравнения, для случая многих независимых переменных не доказано. Тем более неизвестно асимптотическое поведение собственных функций для произвольных областей.
3. Многие задачи физики, как классической, так и новой, приводят к определеишо собственных функций и собственных значений уравнения и'+ ),и = тс (т) и а) (5,26) в интервале — со ( х -. со или в конечном интервале (О,г), но в предположении, что функция )7(т) на одном илн обоих концах интервала обращается в бесконечность. В различных случаях теорня разложений по собственным функввям обобщается по-разному. Укажем два наиболее важных случая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
