И. Петровский - Лекции (1120446), страница 30
Текст из файла (страница 30)
2 На основании замечания и. 2 настоящег интеграл ящего параграфа ~ ~ Р(п„— к„)'«1хг[г стремится к нулю цри к- со, так как [ ~ о(э," — Чо")'Их и ~ р(э," — р,и)АЫХ 'О о оэ. ак как два других стремятся к нулю при и - оэ . Так интеграла в правой части неравенства (15,23) также стремятся к нулю, то ') г (и — и) ' г[х а = О ит Ввиду того, что и — и п р > Π— непрерывные функция, имеем п(ц х) ==«и(г, х). Из определения обобщенного решения смешанной о(х и х с задачи уравнения (1,21) следует, что если при за ри заданных ) и (о,(х) существует дважды непрерывно дифференцируемое в Цт решение смешанной задачи, то обобщенное решение смешанной задачи совпадает с этим решением.
4. Мего д Фурье для неоднородного г и и е р б о л и ч е с н о г о у р а в н е н и я. Рассмотрим в Цт смешанную задачу для уравнения дои д / дих дн дх(Р(х) дх [ — ч(х)и [ У(Ц х)=Х(п)+У(г,х), (16,23 т. е. будем искать дван:ды непрерывно дифференцируемое в Цт решение этого уравнения, удовлетворяющее начальныи условиям в(0, х) =То(х), в,'(О, х) =э,(х) (17,23) и граничным условиям и(ц О) =п(т, [)= О (18,23) ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЪН Нря этом нам достаточно построить решение, удовлетворяющее условиям (!7,23) прн ро(х) =о,(х)жО, так как искомое решение получим, прибавляя к нему ряд (12,21), Будем искать решение и (ц х) поставленной задачи в виде ряда Фурье ~~ ао(«) Х (х) по собственным фуннциям уравнения Ь(Х)=- — АХ с граничными условиями Х(0) — --Х([) — -=О. Разлагая функцию ~(ц х) в ряд Фурье по этим собственным функциям н сравнивая коэффициенты Фурье в правой и левой части уравнения (16,23), мы получим дифференциальные уравнения для определения коэффициентов Фурье аэ([) вида а,", (г) = -1АОА (г)+ [э (г), (19,23) 1 (Х ) 1 Х„, ЛКГко про о верить, что решением уравнення (19,23), удовлетворяю- щиМ уСЛОВняМ аа(0) и-аь(0) = О, яэпяЕтоя фуНКцИя — ~ 1.() 1.1~'[к(«- )б.
р'~~ Э Таким образом, решение и(ц х) уравнения (16,23), удовлетворяющее условиям (18,23) н условиям и (О, х) = и,'(О, х) = О, (20,23) должно выражаться в виде ряда п(Г, х) = ~ ( = ~ ( (т) а[п '$~АА (1 — «) 0с) ЛА (х) (21,О3) Если ряд (21,23) н ряды, полученные нз него почвенным дифференцированием по х и по «до двух раз включительно, сходятся равномерно в Цт, то сумма этого ряда есть дважды непрерывно днфференцируемая в Цт функция, удовлетворяющая уравнению (16,23) и условиям (18,23) и (20,23). Такая сходнмость рядов будет обеспечена, если потребовать; чтобы непрерывная функция 1(г, х) имела иецрерывную производну«о второго порядка ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (гл.
2 ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА по х и чтобы при всех Е выполнялпсь условия Е(0, Е)= =Е'(Е, г)=0. При этом мы предполагаем, что коэффициенты р(х) и д(х) имеют две непрерывные производные. Доказательство этого предложения вполне аналогично доказательству основной теоремьз настоящего параграфа, коэффициенты Фурье ео(е) функции е(е, х) оцениваются аналогично коэффициентам Во ряда (12,21). 4 24. Применение функции Грина к задаче о собственных вначеннях Существование полной системы собственных функций в задаче о собственных значениях и основные свойстпа втой системы можно доказать, не решая вариациониых задач, совершенно иным способом. Это можно сдела~ь сведением краевой задачи к интегральному уравнению Фредгольма второго рода.
Это сведение осуществляется с помощью так называемой (()рноиии Грили, к построению которой мы сейчас переходим. 1. Рассмотрим задачу: найти в интервале (О, Е) решение уравнения (рХ')' — ЕХ = ~(х), удовлетворшощее условиям Х (0) = Х (Е) = О, (2,24) Наряду с уравнением (1,24) рассмотрим уравнение ()оУ")' — оЕУ = д, (х, х„), (3,24) с такой же левой частью, как и у уравнения (1„24), и свободным членом 1 о о — при х — —. -хнах+†о о о 2 ° я,(х, х ) = 0 при всех остальных т..
Здесь з и х — некоторые параметры; з > О; 0< х< Е, о О< — <пйп(х, Š— х ). Предположим, что нам известно решение уа (х, хо) этого уравнения, удовлетворяющее Следовательно, 1 у,(,,х,) Е(х)о(х=~ б«( хо)Х( )оЕ = о о 2 Х(х) Ех = Х(х ). (4,24) о «о — з «) В уравнении (3,24) зрзвзя часть иково две точки разры- ва парного родо: з=а -Р—.
Можно доказать, о что если д >О, — о 1ии (3,24), удоплетво- то сущоствует едвнствониоо реюонво уровпови (, ), „ Рнм со краевым условипм (2, о) и зопрорывноо о ~ывноо вмоото с первой проиаводной пв отрезке О = з «; К Вторзп про Щ изводизк имеет рзз- Риац первого рода пра * зо ~ —.
тем же краевым условиям (2,24) н зависящее от параметров е и х,,*). (3 24) Помножвм уравнение (1,24) на У„а уравнение (, ), гд е вместо У подставлено У„на Х, вычтем второе нз первого н проинтегрируем разность по интервалу (, ). Получиоп ') ((рХ')'У,-(рУ )'Х) оЕх = о ! — (У,(х, х„) Е(х) — Х(х) д,(х, хо)) сох. Так как функции Х(х) и У,(х, х„) обращаются в нуль ах промежутка интегрировании, то левая часть ва конц р ровс авенства равна нулоо, в чем нетрудно у едить , р ведя двукратное интегрирование по частям; Х)УЕх= ХУ -~ ХУЕ— о о о ! = — рУ;Х ~ + ~ (рУ,')' Х Ых = ~ (рГ)' Х оЕх.
о о о 2ОЗ ГИПБРВОЛИЧБСКИБ УРАВНЕНИЯ (гл. 2 ПРИМБНРНИБ ФУНКЦИИ ГРИНА 1 24) 202 Если предположить, что при о-» 0 функция «,(х, х ) стремится равномерно по х к некоторой предельной функции (обозначим ее 6(х, х„)), то, совершив переход к пределу прн о — «О в обеих частях равенства (4,24), мы получим: ! Х(хо) — — ~ С(х: хо) Е.(х) дх о Предельная функция 6(х, хо) и является функцией Грина для уравнения (1,24). Эти нестрогие рассу,кдения не дают пока возможности провести точное доказательство каких бы то ни было фактов.
Поэтому мы определим функцвоо Грина независимо от предыдущих наводящих рассуждений н докажем, во-первых, существование такой функции и, во-вторых, справедливость формулы (5,24). Раньше чем дать точное определение функции Грина, выясним, какими свойствами должен обладать предел Г,(х, х ), если этот предел существует. Проиятегрпруем по х тождество (3,24) после подстановки т',(х, х,) вместо У в пределах от хо — о до х,+ б, где 2 > —..
Мы получим: ~ о«.о ооо« ((р1 (х„х)1' — дл',(х, хо)) дх= ~ у,(х, хо)дх=1. чо — о яо-« Первое слагаемое можно проинтегрировать в явной форме, паоле чего предыдущее равенство примет вид: го+о оооо рро(х, х„) ~ — ~ цу,(х, хо) Ых=1. оо-о хо-о Допустив здесь законность формального перехода к пределу при о-»О и фиксированном о, мы получим равенство р( +б)6'( +б, ч) — р( — й)6'( -2, '»вЂ” хо+о — 1 д( )6(, „)д =1, хо о справедливое прн любом о > О.
Перейдя теперь к пределу прн б- О и предполагая, что р(х), у(х) и 6(х, х„)— непрерывные функцнп, мы получим равенство р(хо) (Сг(хо+О, хо) — Со(хо — О, хо)) '= 1, отк а видно, что при сделанных предположениях произ- водная С„'(х, х ) функции Грина по х должна при х- хо претерпевать скачок, равный — . 2. Дадим теперь формальное определение функции Грина для уравнения (1,24) и докажем ее существование. Функцией Грина для уравнения (1,24) при краевых условиях (2,24) называется функция 6(х, г), определен- ная на квадрате 0<ха',1, ОСг<1 и удовлетворяю«цап следующим условиям: 1о, 6(х, г) как функция х при х Ф г непрерывна вместе со своими производными до второго порядка вк,оючи- тельно и удовлепгворяет однородному уравнению (рС„'(х, г)]„' — цС (х, г) = О.
(6,24) оо 6(0, г) = 6(1, г)=0. Зо. 6(х з) непрерывна на квадрате О а;х<1, Осе.с а 6„'(х, г) как функция от х претерпевае«п разрыв 1 1-го рода со скачком — при х=г, Р (о) 6„'(г+ О, з) — 6; (г — О, з) = — (О < г < 1). П и доказательстве существования такой функции мы предположим, что ц > О, так что рн ) =-О не является собственным значением уравнения (рХ')' — дХ+ ХрХ = О при краевых условиях (2,24). (Ср.
З 39 моих «Лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравне- ннйо, 1952,) При этом предположении существование функции Грина доказывается просто ее построением, ем, ействительно, пусть Х,(х) есть какое-то нетривиальное решение урав- нения (рХ')' — цХ = О, удовлетворяющее условию Х,(0) =О, ГИНБРВОЛИЧБСКИБ УРАВНБНИЯ !гл, 2 В силу непрерывности функции Грина имеем: х'(*). $«((, ))(.)«», ) а'(, )((*)«,. (((,»() Дифференцируя (11,24) по"'х, получим выражение для Х" (х) в виде: ( Х-()=-~6;;(., )Л) (+~6;;(х,.)Е) (+ О х -)-6„'(х, х — 0)»«(х) — 6' (х, х+ О) ~(х). Так как 6; (х + О, х) — 6„' (х — О, т) = —, то 6„' (х, х — 0)— р!х!' — 6„'(х, х+0) = — .
Поэтому Р ПО Х" (х) = ~~ 6'*(х а) Па) с(г+ —. (12*24) . ()' П одставляя в уравнение (1,24) выражения для Х, Х', Х", получим: (рХ )' — дХ [(р (х) 6')„' — д6) / (г) ((г+ / (х) = ~(х), Из формы правой части равенства (5,24) видно, что функция Х (х), определенная равенством (5,24), обращается в нуль при х=-0 и х= й Таким образом, формула (5,24) даст решение уравнения (1,24), удовлетворя(сшее условиям (2,24).
В силу предположения (т д» 0 такое решение уравнения (1,24) единственно. 3, П Покажем, как с помошью функции Грина для уравнения (1,24) задача о собственных анэчевиях, рассмотренная в предыдуших параграфах, сводится к интегральному уравнению, Для этого запишем основное уравнение (1,22) в виде (рХ') -дХ= --Лрх (13,24) и, полагая / (х) — йрХ, применим к нему формулу 1 24) ПРИМБНБНИБ (»БНКЦНИ ГРИНА (5,24). Мы получим равечство Х(а)-,-А$6(х, с) Р( ) Х(х)'(х=О с представлшощее собой однородное уравнение Фредтольма второго рода с симметркзуемым ядром п параметром д.
Ядро уравнения (14,24) может быть симметризовано умножением равенства (14,24) па ))' р(а). Тогда это уравнение превратится в уравпэнне с неизвестной функцией )~р(») Х(г) и симметричным ядром 6(х, а) ) р(х) р(е). В силу формулы (5,24) уравнение (13,24) вместе с краевымн условиямя Х (О) = Х (() = 0 и уравнение (14,24) эквивалентны в том смысле, что каждое решение (13,24), обрашаюшееся в нуль при х=О и х=1, является решением уравнения (14,24) при том же А и обратно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
