И. Петровский - Лекции (1120446), страница 26
Текст из файла (страница 26)
собственные В дальнейшем мы будем предполагать со ствепные Функции нормированными с весом р, т... р , т. е. выб аипыми так, чтобы (х) (Х(*)РАх 1. (й 22) о Такую функцию Х(х) можно получить, Умишка "р " (мы взяли частное решение пифферендиальиого уравне- ния для р(х)). Вводя теперь обозначения рС= -р и рЕ =о, мы молкем записать наше уравнение в виде (', 1,22 . Из сделанных предположений следует, что р(х) > р, (х) ~ р где р и ре — положительные постоянные. Пусть р(х), р'(х), д(х) и р(х) — непрерывны прн 0 < с..(, 2. Итак, мы будем рассматривать задачу о собствен- ных значениях — найти нетривиальное решение уравне- ния (1,22), удовлетворяющее условиям 166 О ЗЗ) ОБЩИВ СВОИСТВА СОВСТВЕННЫХ ФУНКПИИ 169 НПЖРВОЛНЧВСКИВ УРАВНРН )гл, з в альную собственную функцию Х(х) на число стью до знака.
, яется с точнообетвенние фунхнии, еоответел еую- щие разным еобственниж значениям, ортогомал е., если Л,Х,з и Х,(х) — собстеенмал фунвиил, соотеетствующал собственному значению л, (( = т, 2), то ~ Р(х) Х, (х) Хо(х) бх---О. (4,22) о Доказательство, Выпишем тождества (рх;) — ух,+л,рх,-о, (РХ«) ЧХо+ ЛоРЛо=-О У множим первое из них на Х., а второ Х чтем о но о ое на, и выл из другого, Мы получим тождество (РХ;)'.Хо — (РХ,')' Х1 + (˄— Лс) РХгХо — О. Интегрируя это тождество в пределах от нуля до'1, получлм (с помощью интегрирования по частям): ~ (Ло — Л ) РХ Хзбх = о РХ Х. ~ РХ,Л,~ — 1 РХ,х,бх+ 1 РХ,Х,'дх... о о о - о Правая часть этого равенства равна нулю, так как по'-.
следние два слагаемых взаимно уничтожаются, а Р())(Х;(()Хо(()-Х;ЮХ,Р)) =-О . - -'- (%Х,'(О)Х (О) Х;(О)Х,'(ОИ . О .. ", .: . в силу условий (2,22). Поэтому ~ рх,хзбх=о, 5 так ь-эк Л, Фл,. 3. Для упрощения дальнеишего изложения ограничимся рассмотрением краевых условий Х(0) =О, Х(() = О. (б Задача нахождения собственных значении будет в этом параграфе сведена к задаче нахоокпения условного экстре.— мума (мкнимума) некоторого функционала. Этот функционал выбирается так, что уравнение (1,22) является для него' уравнением Лагранжа-Эйлера *). Рассмотрнм два квадратичных функционала от функции Х(х) 6 (Х) =- ~ (РХ" + СХо) фх, о гг' (Х) = РХ "дх, Функционалы 6(Х„Хз) = ~ (РХ;Х;+ох„хе)ах, о 'Н(хьгХ )= 1 РХ;Х'Фх« "'. вазы ваоотся билинейными фунниионахазяи, соответствующими данным 'квадратичным.
Имеет место следующая Т е о р е м а 3. Ясли Л вЂ” собственное значение рассвеатриеаеной . вида ци о собственных значениях, а Хз =оютеетстеующал' сну .нярзеироеаймал .еобстееннал фуншал, то длх любек" непрерывно дыфферениируеиой «) Он. М. А "- д в в Р о и т ъ о в 'в. Л . 4'.. Люс т е Ф ив к с Нуре ворваивовмого всчкслоива. изд, Лев Глстоаиздат«$Ж';..з смита РИПИРВОЛИЧВСКИВ УРАВНЕНИЯ !луня!1пи б(х)! удовлгтворяюн(гй условиялх (5 22ь ы С(хы 1) А $ рХ„(д, 1Н(Х 0 Доказательство. Интегрируя по частям, используя условия (5,22) для функции у и уравнение (1,22), получим: 1 6(Х„., 1) = (рХ.'-)" + уХх/) г(х =- ! х!!) — гп хг'-чх!!в = ( „хгг, г = лН (Х„,г'). О л е д с т в и е.
Пусть Х! (х) — собственная функции, соответствующая собственному значению 1ч Тогда 6(Х!) = й„ 6(Х!, Хг) =О, если Теорема 4. Отнаихгнив — (при ХфО) ограни- С гХ1! Н 1Х1 ни!о снизу и, следовательно, имеет точную низхснюю грань. Действительно, ! 6(Х)=- 1 (рХ'з+уХ')в(х> 1 дХзЫх! о с ' ~ в рХьйх> т1ц в— 1Н(Х). ~ г вили! г(~1 Если рассматривать функции, удовлетворяющие усло- вию Н(Х) =1, то для них будут ограничены снизу зна- чения самого функционала 6(Х). А так ьак всякое соб- ственное значение Х = 6(Хх), если Н (Л„) = 1, то мы по- лучаем отсюда важное следствие; собстввнныв значения наций вадачи ограничены снизу, В Зд) ОВЩИВ СВОЙСТВА СОВСТВЗННЫХ ФУНКЦИИ 171 Рассмотрим задачу о нахождении минимума функционала 6 (Х) при условии Н (Х) = 1. За класс допустимых функций примем множество дважды непрерывно днфференцнруемых ка отрезке О; х -.1 функций Х(х), удовлетворяющих условиям (5,22).
Нрвдпояооюнн, что эгпвт лпнинун повтпгвгтгл в ллвссе допусти.ных фунх!1ийз). Тогда осухцествлнющая его функция должна, как известно из курса вариационного исчисления, удовлот! орнть при некотором 1 уравиеии!и Лагранжа-Эйлера для фуьигцнонала 6(Х) — Н (Х) = ~ (рХ'+ уХг — йрХх) ' = й = ~ р(х, Х, Х')с(х„ г т, е. уравыенню вила ду д дг' — — — —, =-О, дХ дх дХ' которое в нашем случае совпадает о уравнением (1,22). Краевые условия задачи о собственных зна')еинях и рассматриваемой вариационной задачи также совпада!Ст Поэтому функция Х,(х), дающая экстремум 6(Х) при условки Н (Х) = 1, является собственной функцией исходной задачи о собственных значениях.
Так ьак всегда 6(Х„) =1 по теореме 3, то, очевидно, собственное значение, которому соответствует Х,(х), должно быть наииеньщим. Обозначим его через А,, *1 Доказнтельстно существования рппения этой задачн, кан н нссх других аарннционных задач, о которых будет гпнорнться в зтоя главе., см, в допплнгннл И, М. Ггльфлндг и !, А. Сухомлинова к книге М. А. Лапрентьспа и Л. А, Люстеринкн !Основы нзряацнонного исчислениях, т. 1, ч. 11 11935 г,), В гарнацпоннои негнслгннн доказывается, нго если бы мы похрсбопалн от допустимых функций существования непрерывных прспзз! нных только первого поряд!и, то расгматрпвагмая нгрнапиоппгя задача э!г равно к!!в!!а бы решение, гг рг!пенне обязательно имело бы испрсрыэныс пронзнпдныг второго порядка и потому совпадало бы с реп!гннгм той же задачи з классе дважды нгпрсРызво днффгренцнругмых функций.
ГИПЕРБОЛИЧЖСКИВ УРАВНЕНИЯ (гл. 2 1 яя) овшив свопстВА соБстввнных Функций Покажем, что функция Х (х), дающая минимум функцио- налу 6(Х) в классе допустимых функций, удовлетворя- ющих всем прежним условиям и еще дополнительному условию ~ РХ,Хе>х = О, й является собственной функцией, соответствующей втором по величине собственному значению. у В самом деле, функц>>я, осуществляющая указанный минимум, должна удовлетворять уравнению Лагранжа- Эйлера для функционала 6 (Х) — АН (Х) — и ') РХ, Х е1х, которое в данном случае может быть записано в виде (рХ')' — дХ+ АРХ-(- —, рРХ, = 0; (0,22) ), и и — некоторые постоянные. Пока>кем, что р = О.
Для доказательства напишем уравнение (1,22), заменив й на й> и Х на Х„: (РХ;)' — дх, + Л,РХ, = О. (7,22) Помножнм (б,22) на Х„(7,22) на Х, вычтем одно из другого и проинтегрируем от 0 до 1. Повторив интегрирование по частям, проведенное ири доказательстве ортогональностн, и пользуясь тем, что ~ РХ>Х>1х=О, мы с получим э ~ РХ;Ых.= О е откуда следует р=О. —:Следовательно, уравнение (6,22) имеет вид (РХ')' — ФХ+ 1РХ = О.
и Х являвтсл собственном .фупкцивй, Обозначим БФ через Хт(х). Покажем, что собственное значение 1, соответствующее этой функции, есть ближайшее к А, собственное значение. Очевидно, >е>А„так как от увеличения числа условий иа допустимые функция минимум 6(Х) может только увеличиться. Значение 'е, не может быть равным ~, так как тогда Х,(х) по теореме 1 была бы раь>' ! ной ~ Х (х), что противоречит условию ~ Х> Хс)х=-О.
е Следовательно, Хе > > >, Покажем, что между Ае и >> нет других собственных значений. Действительно, если бы существовала тройка с~бе~~в~~~~ значений ).з > А ) А,, соответству>оших собственкым функциям Х, Х, Х„то„как легко вндеть, не функция Х, а Х осуществляла бы решенле только что рассмотренной вариационион задачи .огласно следствию вз теоремы 3.
Совершенно аналогичным образом показывается, что функция Х„(х), да>ощая минимум 6(Х) в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих уравнениям (5,22) н условиям Н(Х):1, ~ РХ>Хс1х=0 (1'=1, 2, ..., и — 1), где Х,(х) есть )-я собственная функция, является собственной функцией, соответствующей и-му по величине собственному значению. Таким образом дан способ последовательного нахождения собственных чисел н собственных функций. Так как в дальнейшем будет показано, что );„-+со при и — ь со, то отсюда следует, что таким образом могут быть найдены все собственные числа и собственные функции. 4. Можно указать метод, дающий возможность сразу отыскать я-е собственное значение к и-ю собственяу>о функци>о без предзарительяого нахождения иредшеству>оших собственных функций.
Этот метод дается следующей теоресиой 1>'уранта: Нуетар,(х), р,(х), ..., ва >(х) — ироизвальнач еиетелса ненрерыене>х функций на отрезке (О„(!. Обозначиле через ! "г4 гнпввволнчвскнв игхвнвиия (гл. 2 ~ ртгХс(х=О (г= 1, 2, ..., и — 1). о (9 оо) 'Тогда я-е собственное значение».„длх рассмотренна!1 вмпге гаоачи о собственных зна мниях равно верхней грани значений Л(р„г, ..., ог„!) ари всевозлгоагснол! виборе функгрий т„..., о„!. Доказательство. Так как согласно предыдущему Л(Х„..., Х„,)=Л„, то достаточно показать, что прн любом выборе грг, ..., оч ! '(р " у»-!) =Л, Покажем, что при произвольной системе можно указать таку!о допустимуго функцию Х (х), удовлетворяюшую условпям (о,22), (8,22) и (9,22), что С(Х) .=.
Л„. Отсюда будет следовать, что ЛМ р -!) <Л. и теорема будет доказана, Функциго Х(х) будем искать в виде Х(х) = Х с»Х»(х). » ! Очевидно, что такая функции прк любых с» будет обращаться в нуль при х О и х=1 и будет иметь непрерывные производные до второго порядка вкгцочительно. Подберем коаффициеиты с» так, чтобы удовлетворялись Л (гр„..., ор„!) лгинилгулг функ!(!!окала С(Х) е классе дваждм непрерывно дпфференцпруемих функ!!гиг, обращаюи!ихся в нуль на концах он!резка и удовлетворя!си!их следуюиглм доно.гнпп!елькин условия.и'.
)У(Х) = 1, (8,22) условия (8,22) и (9,22), Подставляя Х в (8„22) и пользуясь тем, что 0 (Хг, Х») = 0 при ! — й (свойство ортогональности собственвых функций), мы получим: о вггг ~рх'ы т. !=1. (1о,2рг Условия (9,22) дают систему уравнений о ~ р4ггХ с(х.= ~~', с» ~ рр, Х»г(х=О (!=1, 2, ..., н — 1). й »-! о Это — система и — 1 линейных однородных уравнений с и неизвестными с». Она всегда имеет нетривиальные решения. Пронормнровав одно такое решение с помощью (10,22), мы выберем функцию Х(х), Найдем 6(Х): в о и 6(Х)= ~ 1р( р*.
с»Х» ) +о( л~ с„Х,) ~ ггх= о »-! ! ! о о 1 а = ~ ( р ~' г*, с»с Х»Х! + сг ~„~~~„с»с,Х»Х, ) г(х = о »=-! ! ! с~6(Х»)+ ~', с»сС(Лю Х,) =- ,'г', сь6(Х») = ».= ! »Ф! »-! ь И - ч; с»2Л»~Л.,'Е с»го) =Л., » ! » ! что н требовалось доказать. 3 а меч а н не. Вместо того чтобы искать минимум функционала 6(Х) прн условиях (8,22) н (9,22), можно искать минимум отношения —. прн условиях (9,2 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
