И. Петровский - Лекции (1120446), страница 24
Текст из файла (страница 24)
<сьер'Ь вЂ” о.л шах[ р [(6-а), (6,19) Интегрируя неравенство(4,19)по х между х=аи х=6, найдем: ! ь з ~п()ь, х)с(х — (Ь вЂ” а)в(за, а) ~ <е(Ь вЂ” а)з (7,19) а и, оценивая интеграл в левой части формулы (7,19) с помощью (6,19), убеждаемся, что значения и(ь'*, а) как угодно малы при всяком Зи нз интервала (О,Т) и достаточно малых е и п>ах[7 [. А отщода, снова пользуясь неравенством (4,19), мы получим, что [и (Р, х)[ мало на всем прямоугольнике цт, что и требовалось доказать.
3амеча иве 1. Еслина одном из концов отрезка [а, Ь[, например прп х= а, задано условие и= 0 при всех ь > О, то малость [и(с, х)! внутри Цт непосредственно следует из соотношения (4 19). Если бы на одном из концов отрезка [а, 6[, например ди прн х=и, было задано условие — +а п=О прн а >О, то из соотношения (1,19) следовало бы, что ь ~1, 'дс)'+[' )'~ Их+а.пе(), а)< ь =, 1 [р,(х)+Таз(хи с(х+ аарз(а)+аьуе(6) <', 1 20) метод ФРРЬВ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СТРУНЫ Ябб ГИПКРВОЛИЧКСКИВ УРАВНВННЯ [гл 2 а ил(га, а) ~ ел, я малость и(га, х) на Цт следовала бы опять непосредственно из (4,19) в силу малости и(та, а). Замечание 2. Если бы и было больше 1, то совершенно так же, как н в случае к =1, мы нашли бы, что из равномерной малости и,'(О, х„..., х„,), и (О, х,, х ) да(0.
х„..., х„) и производных ' " ' " ' " следует малость дхл Но нз малости этого интеграла при всех гх между 0 и Т и малости )и(0, х,, ха) [было бы невозможно выве- сти малость [и[ на Цт. Можно прлгвестн пример функ. ции и, для которой этот интеграл мал прн всех рассма- триваемых юа и которая тем не менее в некоторых точках Цт принимает очень большие значения, несмотря на малость [и(0, х„, ..., х„)[. Чтобы гарантировать малость [и[ на Цт„достаточно чтобы, кроме интеграла (8, 19), прн 1= Г' были малы интегралы вида (8,19), где вместо и входят всевозможные производные вида при й<~ —, д," дх1 дх" н чтобы были равномерно малы значения ~ и(0, х„, ..., х„)[. Именно таким путем доказывается малость 1и '; иа Цт при достаточно малых по абсошотной величине ес, 7, и г я их производных по х,, ..., х до порядка ~ —, ~ +1, если выполнены некоторые дополнительные условия для зна- ЧЕЯНй ФС и ТЛ На ГРаНИЦЕ 6х).
3 а м е ч а й н е 3. Из доказательства теоремы видно, что утверждение теоремы остается справедливым, если требование равномерной малости [а(0, х)1, [и (О, х) [ и х) Ом. и. Кглусзйз)л1, а, ас)лаза ег. Осле[1)валге [111- гегеал[а1а[е)с)лаэееэ ззаа)лег Огавазя гоп вурегьо11зсьеп тураз. Оеш1зс)л)е Ваабхгег)аз[бэвеа. 81за1а Масвешэцсз, т. У1, 192С. [и;(О, х)( заменить требованием малости интегралов л л ~ и„'(О, х) Кх и ~ и,"-(О, х)1(х а а и одной из величин [и(0, а) [ клп [и(0, Ь) [, Действительно, в неравенствах (2,19) и (8,19) мы использовали только малость этих интегралов н малость и(0, х).
Но, если, например, [и(0, а)[ мало, то х ) и (О, х) ) = [ и (О, а) + ~ и„' (О, х) г[х 1 < а ь л < [и(0, а) [+ $' Ь вЂ” а [ ') и„'(О, х) г[х) а откуда следует равномерная малость и(0, х), Задача 1. Докажите теорему 1 для уравнения (4,17) прн л=1 и граничном условии (3,17) . Задача 2. Докажите, что решение уравнения дла д / да —;„=- —,.[ р(х) Ьх',— ри+.1(1, х) (р (х) > О, д дх 0 н 1 (1, х) — достаточно гладкие функции), удовлетворшогцее начальным условиям (2,17) н гранично- му условкло [3,17)„измеиктся в Цт сколь угодно мало по абсоллогной велпчллне, если достаточно мало изменить функция у (ц х) в Цт, 4 20, Метод Фурье для уравнения струны 1. Для решения смешанной задачи во многих случаях применим так называемый метод Фурье. В настоящем параграфе мы рассмотрим применение атого метода на одном частном примере, В следу1ощем параграфе будет наложена общая схема применения этого метода к решешпо смешанной задачи для линейного уравнения второго порядка с двумя независимыми переменнымл.
Пусть требуется найти решение уравнения (1,20) ГНПЗРБОЛИЧЕСКИВ УРХВННННЯ (ГЛ, 2 156 1 го) нвтод ьугьв для угьвнвния стРУны 1д удовлетворяющее начальным условиям и(0, х) =р (х), и'(О, х) =- рв(х), 0<х<1, и граничным условиям нри е > О и (е, О) = и (е, 1) =- О, (3,20) Сначала мы попытаемсн найти нетривиальные, т. е. не равные нулю тождественно, решения уравнения (1,20) вида и (е, х) = Т (е) Х (х), (4,20) удовлетворяющие граничным условиям (3,20). Мы здесь считаем, что Т(с) зависит только от е, а Х(т) — только от х.
Подставив правую часть (4,20) вместо и в уравнение (1,20), получим: (5,20) ХТ =-.Х"7' пли — =- —. т' х Левая часть последнего равенства не зависит от х, а правая — не зависит от Е. Следовательно, каждая из велит" х" чин — н — не зависит ви от х, ни от е, т. е. оиа постоянна. Обозначим эту поотоянную через — '1. Тогда иэ равенства (5,20) следует, что Т" +17=0, (8,20) Х" +1Х =О.
(7,20) Таким образом, уравнение (5,20) распалось на два уравнения, из которых одно содержит только функпни от е, а другое — только функция от х. В таких случаях говорит, что иерелсеннме разделились. Чтобы получить нетривиальное решение и(Е, х) внда (4,20), удовлетворяющее граничным условиям (3,20), необходимо найти нетривиальное, т. е. нетождественно равное нулю решение уравнения (7,20), удовлетзорявощее краевывв условиям Х (0) = Х (1) = О. (8,20) Формулы, дающие общее решенно уравнения (7,20), имеют существенно различный вид в зависимости от того, что 1,<0, 1=0 или 1>ри Рассмотрим в отдельности каждый из этих трех случаев. 1 случай (ь < 0). Тогда общее решение уравнения (7,20) напишется в виде Х (х) = Сге~ — 1 "+ С е — 1 -' ".
Чтобы удовлетворнлнсь краевые условия (8,20), должно быть С, +С, =0 и Све)с-"'+Све- У вЂ” ''=О. Следовательно, должно быть С е) 1' =-С е- в -"'. 1 1 А это последнее рзвенство может выполняться, только еслл С„=-О, значит, и С,=-О. Тогда мы получаем только тривиальное решение уравнения (7,20). Ц случай (1=-0). Тогда общее решение уравнения (7,20) имеет вид Х (х) С1 + Сзх Чтобы Х(0) =-О, должно быть С,=-О. А тогда условие Х(1)==-0 принимает внд Свl=-0; значит, должно быть С =О. Таким образом, мы, так же как и в предыдущем случае, приходим к выводу, что только тривиальное ре- шение уравнения (7,20) может удовлетворить обоим крае- вым условиям (8,20), 111 случай (1 > 0). Тогда общее решение уравнения (7,20) имеет вид Х(х) =С,сов)ссь а+Сззвп )~ ).х.
Чтобы удовлетворить краевому условию Х (О) =О, должно быть С,=О, А тогда условие Х(1) =О примет вид Свз)п')с'И=О нли з(п ~/)2=0, так как, если бы С О, мы опять пришли бы к триви« альному решению, Уравнение зв и )с Х1 = О (гл. 1 у Л» =Йх, т.
е. Л = —, Й«к» Л» = †.. . где Й = 1, 2, (9,20) Отсюда »«» Х„(х) =- С„з»л — х. ~ Хз«(х) «»х = 1. е ГИПИРВОЛИЧВСКИВ УРАВНВНИЯ удовлетворяется тогда и только тогда, если где Й вЂ” какое-нибудь целое число нли 0„Так как мы предполагаем, что Л>0, та Й ке может быть равным нул«о.
При отрицательных значениях Й вели шва» принимает такие же значения, как и лри положительных Й, имеющих ту же абсолютную величину. Поэтому все значения Л, при которых уравнение (7,20) имеет нетривиальные решения, удовлетворяющие краевым условиям (8,20), даются формулой Задача нахождения нетривиальных решений уравнения (7,20), удовлетворяющих краевым условиям (3,20), есть частный случай задачи, называемой «задачей о собственных значениях» или иногда «задачей Штурма-Лиувилля» па имени двух математиков, которые ее исследовали. Те значения Л, при которых наша задача имеет нетривиальные решения, называются собст««иными зкач«киями, а нетривиальные решения этой задачи вазыва«отея собсиы«иными с1унк»»иями, саответству»ощими данному сабствевкому зиаык» чению, У нас собственному значению †. соответствует »» собственная функция Ввиду однородности уравнения (7,20) собственные функции определяются с точностью до постоянного множители Сю ВыбиРаЯ соответствУ1ощим обРазом этот множитель, можно подчинить собственную фуккци«о Х„(х) некоторомудополнительному условию, как говорят, можно «нормировать» собственную функцию.
Нам будет удобно произвести зту нормировку так, чтобы 1 зо) мвтод ФуРьж для уРАВниния стРуны »зз Для этого должно быть Дальше всюду в этом параграфе мы будем предполагать, что ъ/ д . »««. Х (х)=: з㫠— ° юп — х. ь Вернемся теперь к решеншо поставленной в начале параграфа смешанной задачи. Подставив в уравнение (6,20) вне .та Л ега значение Лю даваемое формулой (9,20), иы получим: Ть(») = А„соз — »+ В„з1п — '», ь« Ьс » где А„и „— произвольные постоянные, В«е функции ь ' »« (», )=-Х„( )Т«()=р: 1 — '* А — +В„~1 — ) удовлетворяют уравнени»о (1,20) и граничным условиям (3,20) при любых А и В„.
Попытаемся определить эти постоянные таким образом, чтобы бесконечный ряд и(», х)= ~~~~ Х„(х) ~А„саз — »+В„з(п — '»1 (1020) удовлетворял и уравнению (1,20), и граничным условиям (3,20), и начальным условиям (2,20), Начнем с начальных условий.
Должно быть, во-первых, и(0, х) = ~~ А„Х (х)=7»(х). (11,20) Кроме того, если ряд можно дифференцировать почленво, должно быть и((0, х) = "Р ."~.В„Х»(х) = р»(х). (12,20) 1 1 Допустим, чта функции 7 (х) н 71(х)можно разложить в ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНВНИЯ )ги. З 1 щ мвтод аеуРьн для уРАВнения стРуны щ дл ряды по з)п — х на интервале (О, !) такие, что равномерно сходятся ряды нз модулей их членов, Нз теории тригонометрических рядов известно, что это всегда возможно, если функция су (х) н тт(х) непрерывны вместе с их первыми производными и если значения этих функций на концах интервала (О, !) равны нулю. Предполоясим, что этн условия выполнены. Тогда ряд (10,20) абсолютно и равномерно сходится при 0<х <1 лл лл и при любых г, так как з)в — Г и соз — ) по абсолютной ! величине ке балыке 1.
Отсюда следует, что функция и (г, х). определенная рядом (10,20), непрерывна и удовлетворяет первому начальному условию (2,20) и граничным условиям (3,20). Но отсюда нельзя еще заключить, что эта функция удовлетворяет второму начальному услов»по (2,20) и уравнению (1,20). Такое заключение можно было бы сделать, если бы ряд (10,20) можно было дифференцировать почлеано два раза по х и два раза по г. Нак известно, почленное дифференцирование будет законно в том случае, если полученные после него ряды сходят я равномерно иа Цт. Это последнее условие будет заведомо выполнено яри всяком Х, данте при Т= сс, если функция р имеет непрерывные производные до четвертого порядка включительно на всем отрезке [О, Ц и обращается на концах этого отрезка в нуль вместе со своими пронзводнымн первого и второго порядка, а функция Р! имеет непрерывные производные до третьего порядка включительно на [О, 1) и обращается в нуль на концах этого отрезка вместе со своей производной первого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
