И. Петровский - Лекции (1120446), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Воспользовавшись далее преобразованием Лоренца, можно достигнуть того, чтобы плоскость П получила уравнение причем уравнение (1,14) не изменится. Зададим на гиперплоскости х,'= О следузощ~е условия Коши: и(зе, О, х.'„х,) =- чче(х')„ (21,14) Если мы найдем решение и(х,*, хе) уравнения деи . Реи ал " ' Оейз удовлетворяющее условиям (О, х;) =-Р.(х:") и„, (О, х,') = т,(х.*,), ) то функцив и (х~ х,,") будет удовлетворять уравнению (1,14) н условвям (21,14). Если мы за начальные условия (22,14) возьмем условия (2,8)„(2,8)„которые были использованы в примере, построенном Адамаром, то легко получим кеко1Тентность постановки задачи Коши для уравнения (1,14) с начальнымн условннмн на плоскости х, =О, й 15. Математические основы специальном теории относительности Специальный принцип относнтельностп состоит в том, что во всех ннерциальных системах отсчетае) все законы природы имеют одинаковую форму.
Точнее, в кая дой нз этих систем отсчета все законы природы можно записать одинаковыми уравнениями. В частности, в каждой из этих систем отсчета скорость света одинакова и притом не зависит от направления распространения света. Для простоты записи мы будем предполагать, что она . равна 1. Система отсчета называется ннерпиальной, если в атой системе всякое тело пря отсутствии внешних сил движется прямолинейно н равкоморно. Из этого определения следует, что система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно какой-либо ннерцнальной системы отсчета, также являетсн ннерцяальной, и, обратно, любые две инерцнальные системы движутся друг относительно друга равномерко н прямолинейно. Пашей целью является нахождение связи между пРо- Ч'"' " .Р ' Рг * "д "ггг ""'Р- чс „„„г елужынне для уназеляя места, я часы, служащие длл указания времена. 1 зч[.
спецнАльнАя теория Относительности 129 >28 ГИПЕРВОЛИЧВСКИЕ УРАВНЕНИЯ [гл. 2 ", одна нз к нейно со ск й 1, относите ДНОСТЯ И ВЗ считать, чт зависят то ипаты для А ля А" соо оты записи ( = О, 1, 2, 3) (2А5>) поверхности уровня которой с взмененяем времени передвигаются перпендвкулярно к плоскости азха' + азха' + + азх, = сопя[.. со скоростью аз Р'1+ 1 по предположению равной '1; ае, азз аз, а здесь постоянные. Отсюда следует, что ве л~ сазгаз (3,15) Таза как скорость света для системы отсчета А" в координатах 1', х,', т.,", х," таьаке должна быть равной 1, зо, переходя от координат х'; к координатам х[, мы навдем, что выражение сот'+ азх,'+ азха'+ азха' перейдет в азз" + + азх, + азха" + с„'х, + [> и а," = а',а+ а,'+ а,'. ' (4,15) циальных систем отсчета А' и А оторые 4" движется равномерно и прямоли оростыо цо абсолютной величине, меньше лько другой системы отсчета А'. В силу предполагаемой одноро отропностн пространства и времени мы будем о искомая связь линейка н ее коэффициенты лько от [>.
Пространственно-временные коорд ' мы будем обозначать (Г', х,', х,', х,'), а д тветственно (1', х,, х„х,'). Иногда для прост мы будем писать х,' вместо г' и х, вместо ~' Итак, пусть з х; = ~~~ОП(р)х[+аз (1,15) >=с Нахождение связи между коордпнатамзз (>', х,', х„х,) и (з", х,", хз", х,") будет основано только ва постоянстве скорости света для систем отсчета А' и:1". Прямочинебное распространение плосков световой волны в пространстве (х,', х.'„х,') мы описываем некоторой непостоянной функцией ~(с~['+ а,х,'+ аах„'+ а х,'), Покажем, что координаты з", х',, х,', х*,' получаются из г', х,', х,', т,' преобразованием Лоренца и йереносом начала координат.
Переносом начала мы можем заменить координаты Г', х,", х,", х," па такие координаты г,х„ ха, хзч которые связаны с з', х,',х,', х,' однородными линейнымн уравнениями з ха Ха;;(Р)х) ([=О, 1,2,3), (5,15) Пусть теперь функция ((аохз'+ азха'+ а х.'+ а х,') переходит в функции»(а,'хо+а,'хз-Т лажа+азха), при этом, еслз числа аз, аза аа, аа удовлетворщот соотнощенвто айалогичеому соотношению ао"- аз'"- а,'-аз" = О. Здесь (ам аза азс аз) — лро>завальная система чисел, удовлетворязопсах уравнению (3,15), а а', а>', а.,', а' — соответствующая система чисел после преобразования (5,15).
Покажем, что ото>ода следует, что (5,15) дайт преобразование Лоренца для коэффициентов а;, т. е. а — а — а — а =а' — аз — а,' — аз . а а а З а за аа аз з з з з з Действительно, для преобразования переменных а,. при подстановке (5,15) вообще имеет место формула 3 а' — аз - аа — а' = ~ йа> (3) аза>'. (6,15) з.> з Покажем сначала, что з йа, ([>) аззз'==й(с[з) (аз — а" — аа~ — аа~).
(7,15) з„-з Действительно, из з ч~' „йц([[)а(а)=О (3,15) к> О должно следовать (9,15) и, обратно, т. е. повердности в четырехмерном цространстве аз', а,', аз', а'„Определенные уравнениями (3,15) 'з (3 15), должйы совпадать между собой. Легко показать, в и г, петровский ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (гл, 2 что при этом имеет место формула (7,15). Следовательно, а" ,— а', — а'", — а', = й (Р) (а," — а," -- а,'.— а,") . Если рассматривать движение первой системы относитеаько второй, которое будет происходнть со скоростью — Р, то аналогично получим: откуда й(6).й( — 6) =1.
Но, с другой стороны, в силу равноправности обеих систем й (Р) = Й( — Р), следовательно, Й (Р) = ~ 1. Так как при преобразовании (5,15) над переменными х,' переменные а1 также подвергаются линейному преобразовашпо, то число плюсов и минусов у квадратичной формы от а1 не может изменшься. Поэтому й(8).=1 и форма а- — а', — а', — а', не должна изменяться при преобразовании (5,15). Следовательно, зто преобразование переменных а,. есть преобразование Лоренца.
Линейное преобразование, которому подвергаются переменные а, прн преобразовании (5,1О) над х„задается матрвцей, Об)7атвой и транслоипрованной к матрице (5,15). Но тогда само преобразовакпе (5,15) также есть преобразование Лоренца (см. конец и, 1 пз З 14), что к требовалось доказать. з 16.
Обзор основных фактов в теории задачи Коши и некоторые исследования для общих гмперболнческих уравнений До сих пор мы говорили о задаче Коши для волнового уравнения (1,12). В этом параграфе, не приводя доказательств, мы дадим краткий обзор основных фактов теории задачи Коши для общих гиперболических уравнений. При этом в основиом наше внимание будет сосредоточсно ва линейных уравнениях второго порядка. 1. Липейное ураввеиие п и д'и д'-и из д'и -1 ди д1 Х*.7 17д 1дз7 2~ и д1из1 7 *' да 7'=1 1=-1 1=1 +  — + Сп + Ю, (1,16) 1 16) ОБЭОР Основных ч7Актоз В теОРий зАдАчи коши 1з1 где коэффициенты Апз Ааы В1, В„С и 1) фупкц,ги Ог Х1, ..., Хи7 МЫ буЛЕМ НЗЗЫВЗТЬ Г-эакепбахаЧССВ11,11 В КЕ- которой области С пространства (г, х, ..., х ) если выполняется следующее условие.
Каждая проходя ~ая через начало координат в действительном пространстве (и„а„..., а„) прямая должна пересекать поверхность и и Аы(т, х„..., х„) и,и;+ ~А7и(т, х„..., хи)и1 (2,16) в двух действительных различных точках. Если а, ..., удовлетворяют уравнению (2,16), то направление гиперплоскости в пространстве (8, х„, ..., х„), нормаль к ьоторой параллельна вектору (1, и,, ..., и,), яштется хараьтернстнческим (см.
з 3). Назовем характеркстнческим конусом уравнения (1,16) точке 11', х„ х„ ..., хи) такую иоверхяость К с конической особой точкой цри г= гз, х1 = х",, что касательная 1иперплоскость к К в каждой точке имеет характеристическое направление. Если ! К(Т, х„..., х ) = О есть уравневне поверхности характеристического конуса (нли вообще какой-нибудь характеристической поверхности (см.
1 3)), то фувьцвя Р должна удовлетворять урав- веиию и и (,д,) = .Е А1 дз-,. —,„. +Х Ам — '„—,'„. Для каждой точки (7и, х,', х,', . °,, хии) области 7,", где УРавнение (1,16) З-гиперболично, имеется расколожеввый в этой области едвнственаый характеристический кокус с ве шивой Р 1иой в этой точке, который' пересекает каждую гине в р лоскость г =- сопз1. по некоторой аамквутой позе. хностн стн Ю, если только ~1 -т"~ достаточно мало. Этот конус, вместе с частью гипервлоскости г = сопзс., которая огравнчева поверхностью В, ограничивает некоторую область К, ГИПНРВОЛИЧВСКИВ УРАВНВИИЯ 1гл. 3 Если и =-1, характеристический конус вывождается з две линни 1, н )„выходящие из точки (го, х,), а осно- вание этого конуса вырождается в отрезок прямой 1-- ==сол„закл<оченный между точками пересечения этой пр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
