И. Петровский - Лекции (1120446), страница 15
Текст из файла (страница 15)
.. (1, *)) н вместо Учч — проходящее *Через точку (О, а) релпеви* уравнения ах а, = аччх — — — (! х), г!ле ?юзх(1, х)=плах (?л(1, х), ..., ?а (1, х)). Функции ?,„(л, х) и ?юл„(л, х) вепрорывны и, кзк легко показать, уловлетворяют уг"ов'лю лвишвсз по 1, если все ?ч непрерывны н имеют потогра- йвчевные производные, 1 1о[ ЗАдАчА кошп для гипвгволичкскнх снствн йй ГИПВРБОЛНЧВСКНВ НРАВНХНИЯ !гл. 2 Через каждую точку нашей области проходит Л' действительных характеристик Хч с угловыми коэффи- 1 циентами й,=- —.,— по отис!псин!о к осп х-ов (см. пример 5,13), Если не делать предположения об аналитичности коэффипиентов системы (1,10), то из теоремы Ковалевской нельзя сделать кнкакнх выводов о разрешимости задачи Коши для этой системы.
Мы прочположим, что в пеко(сх> торой замкнутой облагти 6, ~ граикченной отрезком [а, Ь) ( оси 0х н характеристиками хьа гцх ! х»Ь ' 1 о№ вЂ” Х, и Х,и выходяппвмгг соот- ветственно пз точек а н Ь Рпе. с. (рнс. 2)*), функции а... Ьь и 1, непрерывны п имеют непрерывные первые производкые. Зададим на отрезке [а,, Ь[ Л'непрерывно дифференцируемых функций э,(х),... ..., ои(х) и поставим для системы (1 10) задачу Коши таким образом: ХХайти непрерывное иа 6 регаение н„л,, аи сисглежы (1,10», иыеюи!ее е 6 непрерывные первые лроизвось пые, и жилое, ало при.
»=-0 и,(х, 0) = э,(х) (! =1, „Лг». (2 10) Прн сделанных предположениях поставленная задача имеет решение и притом ~олька одно. Доказа телье тпо. Рассмотрим »-е уравнение системы (1,10), Его левая часть с точностью до мпожптеля есть производнан функции иг(», х) вдоль кривой Х,, Действительно, если обозначить через а, угол между касз- *) Днннн Ь, н Х,и пе обязательно пересекаются.
Соответственно этому область 6 может быть бесконечной, Для дальней- »него сушествевпо, чтобь1 область 6 была ограпггчоггно»г. Этого всегда можно достпгпугь, огранпчпн 6 п случае надобности прямой» Т. Все дэльнейюне рассуждения былн бы чнюно прнме1гвмм, еслн бм область 6 была расположена и аолуплоскостн с < Эе тельной к крквоп Х, в точке (», х) и осью Ох, то, как было указано, ! !да, .=- —— »; !".ледовательно ! сова., =- — — '; э!пп = — —— дг, »ч ' ах Ь, !з Мы обозначили здесь через е, .длину дуги характернстид ки Хч, — означает дифференцирование по направлению эе.
характеристики Х, Можно переписать систему (1,10) в виде 'ге 1 1-»- Аэ —,,"' .= '~, 'аг, и; + Ь„(» = — 1, 2,, Лг). (3 10) »=1 Если обозначить через е»иг дифференциал функции и, прн движении вдоль кривой Х... то нз (3,10) получим: (Хп, = ( )г', аг, и, + б,, )— и так как е»в,:= )/1 1 Асс»», то е»и,. =-(~ап и, + Ь,) гХ» (»= 1, 2, ° ., Л'). (4,10) Зафиксируем теперь произвольную точку (», х) области 6 и обозначим через Х, часть соответствующей кривои Хч от точки (», х) до ее пересечения в некоторой точке (О, хс) с отрезком [а, Ь[ оси» =0 (см.
рис. 2). После этого проинтегрируем»-е соотношение формулы (4,10) по дуге »е от точки (О, х,.) до точки (», х). Х!олучим систему интегральных уравнений 'х;(» х) — ис(О, хг)=- 1 ( !~~; а„.и, ' Ь,~е»» э ,г $ (! 1, 2...,, Лг», ГИПВУБОЛИЧВСКИЕ УРАВНЕНИЯ з>»дэчэ коши для гнпвгволичхскнх систвм (гэ, и или, в силу начальных условий (2,10) и и; (х, ° ) = 9; ( ';)+ ~ ( Х а;ри, + б! ) Ы (5,10) ! ! Очевидно, что вс.якое решение системы (1,10), удовлетво- ряющее начальным условиям (2,10), является решенном системы (5,10). Обратно, если мы имеем решение сясте- мы интегральных уравнений (5,10), прнчс!м функции, составляющие это решение. имеют в 6 непрерывные про- изводные по ! и по х, то произведя действия, обратные тем, с помощью которых мы перешли от (1,10) к (5,10), мы убедимся.
что рсшеипе сисхемы (5,10) является также решением поставленной задачи Коши, Задача свелась, таким образом, к доказательству существования непре- рывно днфференцпруемого решения системы (5,10). Построим последовательные приближения к решенясо системы (5,10) следукчцим образом: положим и! (Г, х)=»р,(х,) (!'=1,, РУ), и; (8, х) = !р! (х,) + ~ ~ Я а! (с, х) и) > + р!, (с, .!') 1 ас !' ! (>,=1, 2, ..., !">Р) и вообще „>х э>>( х), ( ) 1 ~ ~ 'Я а. (с, х) ио'>+ 5!(8, х) 1 сд !» !' ! (>=1, ..., Р>Р) Последнее равенство точнее надо было бы записать так: и! + >(с, х)=-е! [х;(О, г, т))+ Я + >) ~ 'Я а»! (т, х,.
("., с, х)) и.;» (т, х! (т, Г, х)) + о -; 6,, (», х»(т, С, т)) ~ !рт (! = 1, 2, ..., )т'). Мы считаем, что х=х»(с, со, х") ость уравнение характеристики ! „проходящей через точку (со, хо). Если мы докажем равномерную сходимость последовательностей и,"> (г, х) в замкнутой области б„то система предельных функций и! (», х) будет удовлетворять уравнениям (5,10). Равномерная сходпмость последовательности и!»>(с, хр эквивалентна равномерной сходимостп ряда иш>(с, )+ Х (и1 ">(с )- 'э'>(г, х)) (0,10) -о Для доказательства равномерной сходимости этого ряда построим для него числовую мал оранту.
Так как функции и! >(х, !) п и; (х, с) непрерывны в замкнутой области 6, то они ограничены в этой облаем!. Положим М =шах(>и! !...1ияп ) >и! ).... >и)т !) в ооласти 6. Тогда ~, >о>( ' >„,' ' (с,:)б6 )щ и! Обозначим шах>ао > в области 6 для всех с, р'=1, ..., У через А.
Тогда ).>,'>(с, х) и!>>(с, х)) ~( ~ ) ас,) !й!1> — ир,"'>гй<2МАУг, ~ и! >(с, т) — и!Н(р, х) >»з сз р' ) а,-) ) и(~> — ир!" >Ю~2МАзХэ — ° >,! ! Предпочожпм тенор!к что >ю . о->> 4» >>ч» ! !» ! )и,ю(», х)--и,"» '>(6 х)! <2М" с» — ! >! Тогда ) и! ь>>(р, х) — и'„"'(г, х) .,; ',"„) а, 1 ) ир!'> — и)" " ) с(г < 2М ~ ~ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ РРАВЙЕИИЛ й (о) зАПАча ноши для ГипеРволичесних систеи 97 Итак, согласно методу матемаыг гееной индукции, для лгобого и Ио область 6 ограничена и, взяв фиксированное число Т, превосходящее все значения г в этой области, мы получим, что во всей области 6 <вв0 гв)(, (Аягг)' л) (АЛ т)"' Таь как числовой ряд У, сходится, то ряд (5,10) гл сходится равномерно во всей замкнутой области (и что и доказывает существование и непрерывность решения системы (5,'10).
Докажем теперь единственность непрерывного на 6 и, следовательно, ограниченного решения системы (5,10). Допустим, что мы Имеем два таких решения системы (5,10) и„..., ия и и,,, ин. Подстав)шя об» решения в систему и вычитая друг кз друга соответствугощие уравнения, получим: и,. (г, х) — иг (г, х) = ~ у', а„(и, — и,) с(г. ь г-г Допустим теперь, что шах (и, — иг ( =- М > О. (««КС Тогда„произведя повторные оценки разности (иг((, х)— — й,(г, х)(, как это делалось прн доказательстве существования, мы получим,. что М<М вЂ” ' для лгобого и, что приводит к противоречгио, как только ю станет достаточно велико.
Следовательно, М О я иг (Г, х) =- иг (Г, х) (( = 1, 2,..., Лг), т. е. решение единственно. Чтобы закончить доказательство, нам осталось убедиться, что найденные функции и,(г, х) имеют непрерывные первые производные по г и х. Очевидно, для этого достаточно доказатчч что и, (г, х) имеет непрерывные первые производные по направленгпо 1г н по х в каждой точке, так как ггз этого н нз гладкости (, следует некрсрывность производных по г н х во «сей области 6. Существование и непрерывность производных иг (г, х) вдоль (г непосредственно вытекает нз системы (5,!О) и неврерывности полученного рсшения. Для того чтобы доказать существование и непрерывность производных дп г †, заметим сначала, что из прэдположенной непрерывд« ' ной дяфференпнруемссти фг(х), Аг(г, х), аи(г, х), б,(г, х) следуег, что все приблигкенггя, построеннйе при доказательстве существования решения, имегот непрерывнуго производнуго ло х.
Проднфференцируем по х равенства, определягощее (я+ 1)-е приближение. Получим: дыг (г, «), д«, (О г «) (в+1) =Р)(хг(0 Г г)1 ','„.' + дап (Ч «г (Ч Г, «Ц + дг ~ ~~~ — ' — ''.' ' — 'и, (-., хг(с, Г, х))-' дв~ (с «~ (г Г «)) д«; (Ч Г, «) +Хи(';( х)) ' — ', '' '„„'.' + д«г г дь)(ч «уоч г, «))~ (, э у) В силу сделанных относительно сзшгемы (1,10) предположений можно доказать равномерную сходлмость последн(в) довательности — *(ю=-1, 2, ...) в точности тем же мед« *'Й'" -- а « - ° ° а * 1"', Р-Г *) Квврдмнага «, точки нера«вчення (; с пряной «=с явлнегсн нвпрсрывнп днффсренцнрусыой функцией г и «в «нлу предположсннвй нвпрсрыввсстн прснаводных ст ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
