И. Петровский - Лекции (1120446), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Аналогично получим х~ С ),', (хо Уе) )с (х«У«) О при пв 2 и — 1. Так как определитель, составленный нз коэффициентов при С,Ь„, (хе, У«) в этих равенствах (определитель Ванрермонра), отличен от 0 при различных Х„..., Л„, то мы получаем отсюда, что ири всех з н 1 С,йы (хе, У") =О, что невозможно ВВВДВНИЬ. КЛАССИФИКАНИЯ УРАВНВНИП (гз. 1 ВО 1 1) ЙРНВмдвнии к кхнонит1рскому Виду сис'гйиы В1 Замечания. 1) Легко видеть, что все приведенные выше в этом параграфе рассуждения справедливы и в том случае, когда коэффявиеиты а, и /, — комвлекснозначные функции. В дальнейшем, однако, мы будем предполагать, что а,.;, у, — деяствятельнгзе фуякпин.
2) Если уравнение (7,7) имеет только различные и действительные корин Во всей рассматриваемой обла;тя 6. то кз предыдущих рэссуждевпа следует, что в окрестности точки А каждому корн1о А, соответствует етпнственкое, с точностью до знака, Решение йсо к,г, ..., Ао, системы (б,7), у которого к этой окрестности 2,' Ц=-1 и 1 ! функции йп имеют таь'ую же гладкость, как и ам (ср. примечание на стр.
77). Пользуясь этим, можно показать, что при указанных условиях во всей области 6, если зта область односвязна, существует неосооое линейное преобразование неизвестных функций„приводящее снстему (1,7) к каноническому взду (2,7). Прп этом коэффициенты этого преобразования имеют встоду такую же гладкость, как к аи, а система (2,7) принимает впд дм де;, (10,7) (к'=1, 2, ..., и). 3) Если во всей рассматриваемой области 6 на плоскости (х, у) уравнение (7,7) не имеет действительных корней А, то система (1,7) называется в этой области зллвлжн чвскен.
Если во всей этой области султествует линейное неособое преобразование искомых функций и,. с де1йствптельдыми коэффициентами такой же гладкости, как и аи(х, у), приводящее систему (1,7) к виду (10,7), то система (1,7) называется гиперболической в области 6. Если же во всей области 6 все корни А уравкеияя (7,7) действительны и различны, система (1,7) называется гилврболи 1вской в узком смысле.
Из предыдущего замечания следует, что система, гиперболическая в узком смысле в одиосвнзной ооластп 6, гикерболнчпа В этой облатэчт. Точно так же общая линейная система уравнений с, частнымп пропзводнымп по двум независимым переменным В р.— 1 я 1 т —,т' А',(1, х) ='- + ... (11,7) д1 ' у.е дт"дх ' (т'=1, ..., .У) называется зллаитктгсквй в области 6, если во всей этой области определитель матрицы 1А А)) т.- о не имеет действительных корней А. Если же все корни этого определителя действительны и различны, то снстема (11,7) называется гиперболической в узком смысле.
Задача, Показать, что если система (11,7) гяперболпчна в узком смысле в односвязной области 6, то в этой области гнперболнчиа система уравнений первого но- рядка, построенная по уравнениям (1'1,7) так н<е, как система (5,2) была построена по уравнещпо (3,2). 4) Если все корин уравнения (7,7) действительны, то н преобразованную систему (2,7) можно сделать действительной; для этого надо выбрать действптельныип коэффицнеяты линейного преобразования от функций и, к функ- Ц1ШМ аы ЧтО В ЭТОМ СЛУЧаЕ ВСЕГДа ВОЗМОжВО. Если нте уравнение (7,7) имеет комплексные корни, то эяи корин Распадаются па пары комплексно сопРяженных корней.
Тогда систему (2,7) можно ностронть так, что каждому уравнению вида дрь дса д, =~'А" т Л:(Х у Гы ° ° Ст) в этой системе будет соответствовать комплексно сояря- жйниое уравнение, т, е. уравнение др; др1 +т; (х у; Сп ~ Сп) И. г. пктроитнва Ул = шл + «Шл', 7 А =. ал + «(эл 6-= Ь" + «6*. получим: * ээ да «дмл а —. — («А= — + 7» л ду ду дил д«»л Ь вЂ” + а~ — +7« л ду ' ду дал дз ГАЗДИЛ « ээм дм дв ду да, д~, ду ВВЬДВНИК.
КЛАССИФИКАЦИЯ ВВАВНВНии (гл. Л где ю« =- гл, 'л« = Хл.. Л (х, у,, и,, ю„) = Л, (а, у л . ° л ). Разделяя у этпх уравнений действительные и мнимые части и положив Простейшей системой такого нида является известная система уравнений Коши-Римана Аналогично распадаются на действительиуш и мнимуш част««уравненпя вида дсь дел, . дгл — = а= — + л —.+ /«(я, у, е, ..., о). дв ду ду Таким образом, доказиваетск, что систему (1,7) можно привести линейным»7ео<обым (почему?) преобразовапием с действктельпымп гладкими коэффициентами к новому каноннческол«у виду, где все уравнения в отлнчпе от уравнений (2,7) обязательно действительны.
(Ср. замечание к Е 47 моих «Лекций по т«ории обыкновенных дифференциальных уравнений», Гостех««эднт, 1952.) ГЛАВА З ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧА КОШИ В ОВЛАГгРИ НЕАНАЛИТ««ЧЕСКНХ ФУНКЦИЙ б 8 Корректность постаиовьл«задачи Коши Теорема Ковалевской утверждает сущостнованпе аналитического решения задачи Коши для аналитических уравненяй прл аналитических начальных данных. Многие задачи физики сводятся и задаче Коши для ана««л«тнческнх уравненпп пря начальных данных, дифференцнруемых несколько раз, но не аналитических.
На первый взгляд кажется естественным такой метод решения этой задачи. Заданные начальные фуншШП и нх производные приближаем многочленамн. По теореме Вейерштрасса такие много- члены можно выбрать так, что на всей рассматриваемой части плоскости з = г„„где задаются услошгл Коши разость мея«ду зтнмп многочленами н соответству«ошам»« заданными функциями будет как угодно мала. По тоореме ВалеВскои для анализа«ческнх уравнений можно решить задач дачу Коши, если заменить прежние начальные условия ковымп, аппрокснмпрушщимя прежние. Казалось бы, естественно «но ожидать, «то зто решенно новой задачн Коши с началь нов близ альными условиями в виде приближая»Шнх многочлечальных лкзко к решелщо той же задачи прн прожннх паных данных, по крайней мере вблизи той частя плоскости пост онл и где зада«ется условия Коши.
Но Адамар Р нл промер, которыя показывает, что дело иногда обстоит сом'ем щ тщ« [гл. 2 ГИПЕРВОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ИОРРВК'!'Кос*!*ь постАИОвки зАдАчи коши зз Рассмотрим следуюшуто задачу Коши. Требуется найти решение уравнения Лапласа гг! д "- (1,8) удовлетворяющее пря ! = О условиям и(0, и) =О, и, '(О, т) — зтв лх, где в н А -положительные постоянные. Легко проверить, что решением этой задачи будет т ее! — е гг! и(ц х) = — „„' зттт ггх.
(3,8) (2,8), (2 8) 1 ~иг(0, л)~, < — „,, то при достаточно большом и абсолютная величина и, '(О, х) будет всюду как угодно мала. Решение же и(г, х) рассматриваемой задачи Коши, как показывает формула (3,8), будет принимать как угодно большие значения при произвольно малом г, если л достаточно велико. Дело не изменится, еслн мы потребуем, чтобы ие только )ит(О,З)т было всюду мало, но чтобы были малы н все производные от и;(О, х) по и до порядка й — 1; й — здесь лтобое целое положительное число, большее 1. Мы ие говорим о малости начальных значений самой функции и, так как по условито (2,8), оии всюду равны нулю, Допустим.
что мы нашли решение задачи Коши для уравнения (1,8) при некоторых начальных условиях и(0, х) = 1! (х), и! (О, х) = Т! (Е), Пусть зто будет функция и,(д х). Тогда для начальных условий а (О, х) = !ге (гс); и', (О, х) = 1гт (в) + — А зтп лх решением задачи Коши будет функция 1 е"' — е "! ,(г, ) + ттг х тп Таким образом, очень малое измененве начальных функций и их производных до порядка Й вЂ” 1, полученпоеприбавленнем к прежним начальным условиям функций (2,8), и (2,8).„молтет вовлечь за собой как угодно бочьпше изменения вида (3,8) решения задачи Коши и притом в какой угодно близости от начального значения 1=0.
Обычно условия Коши находятся из опыта и поэтому ве могут быть найдены с абсолюткон точностью. Но предыдущие рассуждения показывают, что как угодно малые ошибки в измерениях и(О, е) н и,'(О, л) к их производных по х до лтобого порядка могут повлечь за собон большие ошибки в определении функции и.(1, л), удовлетворшошей уравневито Лапласа (1,8).
Поэтому решение задачи Кошл для уравнения Лапласа, если бы к этой задаче привели какие-нибудь физические рассмотрения, не представляло бы никакой практической ценности, если бы даже существовало такое решение. Не случайно никакие физические задачи ле водятся к задаче Коши для ураввеии! Лапласа. Будем говорчть, что задача Коши в некоторой замкнутой области 6 пространства ц г„..., я;„иргтлегатощей к области 6 на плоскоспт г —.— ге, где .!ада!отса условття Коши, для систечы линейных уравнений вида: де Чк д! г л 7=! Зе, А!....гг »Л де, ',. де„" ' 'гг +1,(г, г„..., и„) (4,8) т='1, 2, ..., )т', й,+л„Ф...
+де=А < лг, йе»: л!. поставлена корректно, если существу!от такие положительные Т,! и Х.„что 1) длл лтобых непрерывных вместе с их производными дс ПОрядКа Ьт фуНКцИй тт~ьт (Лт, ., ., Ле), ЗадаННЫХ На 6Е, в области 6 существует единственное решение системы (4,8), удовлетворятощее прл с = г„условиям: Ре! йге - Р! (хп лз „, ьа) (й=О, 1 ° . ° л! — 1), (бг8) ГИППРБО«1ИЧВОЛНК УРАВНННИЯ 1 9) понятии ОБ ОБОБ1цйнных Рвшзннях 87 (гл. 2 ' ) для люоого положительного «можно указать такое '«« «1.>(), что во всей области 6 решение задачи Коши изменится меньше„чем на в, если в области С функции ~рггм н все их производные по х„..., т„до порядка Е» изменятся меньше, чем на «).
Из предыдущего видно, что для фнзккн (мы всюду понимаем слово «флзика» в самом широком смысле) представляют питерсе решения задачи Коши только для таких уравненцй, для которых эта задача поставлена корректно. Как показывает пример Ада»«ара, задача Коши поставлена корректно далеко ве для всех уралнонпй. Приведенные выше соображения о корректности поста- нонки задачи Коши показывжот, что и другие краевые задачи для уравнений с, частными пропзводпымн представляют интерес для естествознания только в том случае, если имеет место, в некотором смысле, нопрерывная зависимость решения от краевых условий корренте ность ) постановки задачи.
Для каждого тигга уравнений существугот свои корректно поставленные краевые задачи. Почти во всех до сих пор рассмотренных случаях формулпровни таких заддч подсказаны физическими рассмотрекпямп. В частности, талнмп корректно поставленнымп задачами явля«отея задачи, приведенные в з й. В настоящей главе корректность постановки задачи Коши доназывается для волнового уравнения в пространстве прп подходящем наклоне плоскости — носительницы начальных данных — и для лпнейиых гиперболнческях систем уравнений с частными производными первого порядка по двум независимым перемеипым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
