И. Петровский - Лекции (1120446), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Согласно сказанному в условии задачи н замечанию 3) в з 7 отсюда следует ») В каждом ноя««ретпп»г случае понятие о корр«к«пой поста- новке задачи должно быть точно определено, При определении корр«к«аоста постановки задачи Коши длл нелинейных уравнений естьттэепио рассматривать э качестве поз- можаых начальпнк фуякций ««)ь) (х„..., хх) только йункцпп, близ- кие к какям-нпбудь окреп«лепным фувнцвлм тй (хг х»). -гю Может оказаться, что вблизи одной системы фуннцпй т) ' (х„.. „х„) задача Коши поставлена корректно, а вблизи другой оп«тамм функций у«(х„, . „х„)-некорректно, сь) также корректность постановки задачи Коши для обгпих линейных гиперболических в узком смысле систем вида($1,7) с частными произгодными по двум независимым переменным в односвнзной области.

б 9. По«гятг«е об обобщенных решениях В предыдущем вараграфе мы говорили о корректности постановки задачи Коша прн достаточно гладких начальных данных. Однако физические задачи далеко не всегда приводят к начальным условиям, достачно гладким для того, чтобы можно было утверждать г;уществоваиие решения соответствующеЙ задачи. Если начальные данные не являются неярерывнымп н дифференцируемыми достаточное число раз, то часто не может существовать н дпфференцируемого решения соответствующей краевой задачи. В этом случае весьма полезным оказывается применение так называемых «обобщенных решений» двфференцнальных уравнений. Обобщенные решеняя д»гфференцпалькых уравнений ввел в науку и систематически применял С, П.

Собочев, СледУЯ емУ, мыбддем называть вист«НУ фднщий и„..., ин обвбщснньгм решением некоторой системы ди)р1бвренг)г«- альных уравнснпи в области С, если сущвсл«в)«вт бвско- ОО СЬ« нечнал посл«дава«лев»ность решений (и1, ..., о;«' ) втой систелгы, равножсрно сходли)алел к (и„..., ин), т. е. если спр У ~ и, (Р) — 111»' (Р) ~ -» О. РВО », 1=1 П р н м е р. Рассмотрим уравнение о" д (1,9) Всякая функция и(х, у) вида и = 71 (х) + Ф (У) прп любых дважды непрерывно дифференцируемых р(х) и Ф(У) будет обычкым решением этого уравнения, Известгю, что про»гзг»ольные непрерьищые прн а<х< д, со<ц'- понятие ав ововшйнных Решнниях ГипеРводичнскР<е тРАВПРння !гл.

з ветственва е < у ч. в(, функшш ф (х), соответственно ф (у), можно представить, как пределы равномерно сходящихся последовательностей функций ф«о(х) и ф<м(у), пме<а<цнх непрерывные вторые производные„Поэтому црн любых непрерывных функциях ф(х) и ф(у) сумма ф(х)+ф(у) является обобщенным в только что указанном смысло решечнем уравнения (1,9). Для наиболее типичных краевых задач уравнений с чае<ными пронззоднымн С. Л. Соболев показал существо- ванне н единственность ях обобщенных решений.

Прн этом приходктся особо определятао как надо понимать красны< условия для обобшеоных решений. Для линейных однородных эллиптических и параболи<ескнх уравнений введение указанным выше способом обобщенных решений не расширяет класса обычных рен<ений этих уравнений (ср.

теорему 3 $ 30). Для гиперболических же уравнений это расширение существенно. Введение обобщенных решений удобно тем, что для существования обычных решений основных краевых задач приходится на фуньцин, задаваемые иа границе рассматриваемой области, налагать весьма же< тине условия гладкости, в то время ьак для существования обобщенных решений такой гладкости от заданных на грагмще функций ие требуется.

Для нлл<острацнк этого рассмотрим следуюшпй пример. Будем реп<ать задачу Коши для уравнения (2,9) прк начальных условиях и(0, х) =ф(х); и;(О, х)=ф(х). (3,9) Как нетрудно проверить, решением этой задачи будет функция хе! .«.'<=-~+-.,' [ Юя <с9< Эта формула даст обычное решение уравнения (2,9) только в предположении, что ф(х) имеет непрерывные производные да второго порядка вилюя[[тельно, а ф(х)-да первого, Будем называть обобщенным решением задачи Коши ддя уравнения (2,9) при начальных условиях (3,9[ предел прн л -+ сс равномерно сходящейся последовательности решений и„уравнения (2,9), удовлетворяющих начальным условиям и„(0, х) = ф„(х); —,"(О, х) =-ф„(х), осли при л, стремящемся к бесконечности, ф„(х) равномерно сходится и ч(х), а ф„(х) равномерно сходится к ф(х).

Легко доказать существование к единственность обобщенного решенвя задачи Коши для уравнения (2,9) при любых кепгерывиых функциях ф (х) н ф (х). Это решение также дается формулой (4,9). Рассмотрение обобщенных решений уравнения (2,9) тем полее естественно, что обычно сами фувкцвв ф(х) и ф(х) нам быва<от известны только прлблнн<енно.

Поэтому соответствующая функция и(<, х), даваемая формулой (4,9), также является только некоторым приближением к точному решению поставленной задачи. Нам совершенно безразлично, является лн это приближенно обычным нлн только обабщбнным решением уравнения (2.9). Пан<но, что оно мало отличается от истинного решевня, если функции "" (х) и ф(х) равномерно мало отличаются от истинных начальных значений и(0, х) н и,'(О, х).

3 з м е ч а и и е 1. С. Л. Соболев на зываот обобщенным решением некоторого дифференциального уравнения в области 6 также всякую функцию и, к которой сходится в срвдлвк некоторая последовательность обычных решений этого уравнения, т. е. обобщенным рсшшшем назызаетсэ функция и, для которой [и — и«О)за<с — 0 при й — ~ оэ и и" ' — некоторан последовательность обычных решений' и .<м данного ураввення. Так определенные обобщенные решения могут быть даже разрывными.

Подробнее об этом книги С, Л. Соболева: Уравнения математической ф«з«ки, 1950, особенно етр. 299, 307, 314; Некоторые "рнменення функционального анализа в математической ф<шнке, 1950, ~ !О) ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ГНПВРВОЛИЧНСВИХ СИСТЕМ З! ГИПВРВОЛИЧВОКИВ УРАВНННИЯ (гл. х ! $ Замечание 2. Часто пользу!отея еше одним опре- делением обобщенного решения; зто опрепеление, также принадлежащее С. Л. Соболеву, мы сформулируем для случая линейного уравнения второго порядка.

Пусть х 7 (и)=— - ~~ ал„—.+ ~ Ь! — "+си=/, (5,9) ч,а ! где пла — дважды непрерывно дифференцируемые функ- ции, Ь,. — непрерывно дифференцируемые функции, с и !— непрерывныо функции в области Х>, Сопрвженным к урав- нению (5,9) называется уравнение вада Непрерывнуло фуикц!по и (х,...,, х„) называют обоб- щенным решением уравнения л (и) =-У в области В, если ~ ~ [иМ(а) — ~а]л(х!... ьлх„=О (7,9) О для всякой дважды непрерывно дифференцкруеыой функции а(х„..., х„), обрап!а!ощейся в нуль во всех точках обла- сти !)?, расстояние которы.с до граппцы меньше некоторого пололкнтепьного числа р, (р, различные лля различных а).

Задача ). Покажите, что определенное вначалез9 обобщенное решение уравнения является для уравне- ния (5,9) обоощенным решенпем в указанном в заме!а- нин 2 смысле, т. е. для такого решения выполняется(7,9), Задача 2. Покажите, что если и(х„..., х ) имеет непрерывные производные второго порядка и является обобщенным решением в указанном в замечании 2 смысле, то и(х,, ..., х„) является обьлчным решением уравнения Ип) ='1. 'з! к а з а н н е. Воспользоваться формулой ~ ~ [аЬ(и) — иМ (а)] л(х! ...

ЫМ„=О, справедливой для л!обой двановы непрерывно дкфференцн- руемой функции и и функции а, определеннок выше. Зту формулу легко получить интегрированием по частям, б )О. Задача Коши для гиперболических Систем о двумя незавнснмымн переменнымн !. Рассмотрим систему '— ,' — ?! — "— ' =',л', гл„(С х)и, +5!(1, х) (л,л0) л-! (!' = ), 2, ..., Ь') *). Мы будем прелполагаль, что ьо всей рассматриваемой области она гпперболкчна, т. е.

все л, действительные функции от 1, х, Будем предполагать еп!е, что все л. (8, х) ! различны и перенумерованы в порядке их возрастания е*). ') Все последующие рассужхевия настоящего пара! рафа с очень вебольаимп изменениями применимы к системам ввпа да! — ' — ?; — л=!'ч(л, л, ив ..., ллг!? (1=1, ч, ..., л') дх в предположении, что функции у„(1, х, а,, ..., «Л) иве!от «еирерыввые производные до второго поряд«а включительно (ср. доказателы тво суп!ествованяя решения уравнен«в злу — =-г(" Р! ях метоаол! иоелелозательвых приближений). "") Продположенве о тоы, что зсе Х! различны, ва является существен«ыы. Все дальвейщие рассужхсввя справедливы и в том случае, когда вскоторые ?, совпадают Нужво только для опреде- ления области О вместо характеристики ьо выходящей из точки а, ваять решение уравнения ах ,р = зв!а — = — л ! (! х), аРоходащее чеРез точкУ (О„а), гве ?ю „(1, х)=лила(лл(1, х), ...

Характеристики

Список файлов лекций