И. Петровский - Лекции (1120446), страница 17
Текст из файла (страница 17)
+— дп дх', ' ' дд', при лтобом я. В этом случае трехмерный конус К в формулировке теоремы нужно было бы заменять конусом в пространстве и 4-1 измерений, у которого ось параллельна осн Ою п образующие соетавлятот угол в 45' с Ос. Этот конус также называется характеристическим.
Иря и = 1 этот конус заменится треугольником, у которого основание параллельно оси Ох, а боковые стороны наклонены к ней под углом в 45'. Доказательство теоремы о единствонности, Допустим, что внутри конуса К и на его поверхности существуют два непрерывных вместе с пх производными до 2-го поРЯдка включитечьно Ретпенин ит(т, х„хт) и ит(т, х„х,) уравнения (1,11), которые вместе с их первыми производными по 8 совпадают на основании К. Тогда разность и(т, х„х )=иэ(т, х„х,)- ттт(т, х„хэ) должна внутри К также удовлетворять однородному уравнению (1,И), а на основании этого конуса и(1, х„х,) я ит (т.
х„х ) долл<им обращаться в нуль. Теорема о единственности будет доказана, если мы докажем, что и(т, х„х,) =-О в вершине К. Чтобы доказать это, проинтегрируем по внутренности конуса К выражение ди дти дти дтт>; ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАННЕНИП (гл. 2 которое там всюду равно ну»то, так как фуннци» и удо- влетворяет уравнению (1,11). гак как ди деи д гс ди ди "~ ски ди ду дхг дх; (, дг дх; .) дсдхг дхг то О= ~ ~ ~ —,"," ~,",,"",,'",),11 ]х,,)х, =~) 1 (-'-:1~--'7+~Ф1'+~ —:.".Л— Преобразуем этот интеграл в двойной по формуле Остроградского.
Если через К, обозначить боковую по- верхность конуса К, а через С вЂ” его основание, та, так как на С в салу начальных условий — --- — '= — =О, ди ди сги дг =дх,=дх, останется только интеграл по К, О = — ~ (, 4 ~ ~ — - + ~ — ) 4- ( — ~ ~ соя(л, 8)— К7 о ди ди ди ди — — сая (л, х,) — 2 - —, — сая (и, х ) ~ о7в е). (5,11) Но на боковой поверхности характеристического конуса созе(гг, я) — соя'(н, х,) — саз" (л„х,)=-0, (6,11) ") Обряжены вникание нв то, что в рвссьмтрнваемых нрвобрввовеиннх ннтетрвна ыы иснольвовалв ненрерыниость первых нроваьонных и внутри и нв сравнив К н ннтесрнруссгость но Х вторых производных от и.
Вторив нронвеонныв от и ео всяком случае интегрнруеыы но А. се»77 огги ненрерывны не К н его гренаде: 1 12] еОРиулы. дью!цие вишенке зАдАчи каши 1% Умножив и разделив падннтегральную функцгпо на соя (н, с) и воспользовавшись соотношением (6,1!), получим из (5,11): ди 2 звон)», 7),1 1 ~, дг " ' 'г дх, ,— 'г 1, с ( — соя(н, х,) — — соя(гг, г) ) + »7 г ди ди 2) + †с(л, х,) соь(л, Г) ~ ого — О.
(7,11) При этом сая(н, т) вынесен за знак интеграла, так 1' как на К эта величина постонинан )соз(л я)=-= при 7 > г> ге н я(л, т) — -= и т<тв). 1 Р" 2 Из равенства (7,11) следует, что на боковой поверх- настк конуса К соз(», 7) сое(», х,) сонг», хе) Если обозначим через гл направление какой-нибудь образугащей конуса К, то, воспользовавшись равенствами (8,11), получки: ди — = н,' соз (гн, т) + и„', саз (лг, х,) + и'„., оз (гл, хт)»» =с(саз(л, г)соЯ(т, г)+сон(л, х. )саз(гл, хг)+ +Соя(л, хе) соя(ш, хе)] = 77 соя (ле, П) = О (соя(лг, н) =О потому, что образующая конуса всегда со- ставляет прямой угол с нормалью к ого поверхности). Итак, на поверхности конуса К производная от и по направленшо образующей равна нушо.
Отсгада следует, чта фушспия и равна нулго в вершине конуса, так как она равна пулго на его основании. Этим заканчнваетсн доказательство теоремы о единственности. з 12 Формулы, дающие решение задачи Коши ' дли волкового уравнении 1* Пусть на некоторой области 6в в пространстве (хг, хе, хе) заданы функции ое(хг, х„хв) н 7р,(.т,, х„хв), нрнчйм р непрерывка вместе са свогтми пронзводнымп ло 'третьего, а р — до второго порядка включительно. Иы РИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (гл. 2 хотим найти реп»ение и(», х,, х„х,) уравнения дзи дзи дзи , дзи д~" "д«1 дх1 д«1 ' удовлетворяющее при»=-О условиялз п (О, х,, хз, хз) = 9„(х„хз, хз), к,' (О, х„хз, х,) = », (хз, х„хз).
(2,12), (2,12),, Это решение будет определено во всех точках (г, х„х, х,), служащих вершинами характеристических конусов, осно- вания которых принадлежат Сз. Найдем сначала решение л (з, х„х,, х,) уравнения (1,12) при начальных условиях частного видав,(0! х„хз, хз)=ОФ (3,12), гз,',~(0, х» х„ .хз) =- г»(х„ хз, хз), (3,'12)з Тогда легко убедиться, что функция ди э(», х„хз х,) =- — ' удовлетворяет при г =- 0 условиям: е(0, х„х„х,)=- Р(х„хз, хз), д и дзи. дзи дзи с((0 х, хз. х,) хх —,'" = —.'+ — '+- —,'" О.
дхз Поэтому, если и имеет непрерывные производные третьего порядка, решение уравнения (1,12), удовлетво- ряющее обоим условиям (2,12), дается формулой ди «+и дз (4,12) Таким образом, общая задача Коша для уравнения (1,12) сводится к нахождению пт Мы утверждаем, что справед- лива формула пз(»* хз хз хз) =р„) ) — ", ' гЬР (5,12) 1 1 ~ т(«„«з ««1 Ьпх|, х., «З) Зта формула называется формулой Кирхгофа. Здесь о',(х„ хз, х,) означает сферу радиуса » с цент- ром в точке (х„ х, хз) иа гиперплоскости » =О, где за- 1»2) ФОРмулы, ДАющие Решении ЗАдАчи коши тот дана функция ~д, а г»«, — элемент поверхности этой сферы.
Мы будем предполагать, что функция Ф(х„хз, х ) непрерывна и ограничена вместе со своими производными до й-го порядка вял»сиятельно (й> 2); тогда н функция изи как будет дальше видно нз формулы (6,12), будет иметь непрерывнью производные до»г-го порядка включительно. Покажем сначала, что функцзш и, даваемая формулой (5,12), удовлетворяет начальным условиям (3,12), Первое из этих условий удовлетворяется потому, что ","" " «1«, | ч.' шах ! р ) 'э~" и следовательно, лз(», х„х, х„) — «0 при»-+О. Чтобы проверить второе условие, заметим, что положив ',--=хи+ В», мы приведем интеграл (5,12) к виду и (», х,, хз, х )хх =-,х ~ ') ~»(;., +»Р„х«+»Рз, хз+ фи) г»«и (6,12) в) где интегрирование распространяется по фиксированной для всех х„хго х„» сфере о',: игз, бг+ ~з Поэтому г ш =З«) ~ '9(х1+»ри хз+»рз хз+»рз) гззз+ Я~ з +4 ~ ~ 'Е ЬГъ(хг+»газ хз+»(зз хз+ Ю»1«г (У 12) 'э,зг Здесь Рз означает производную от р по из.
Легко видеть, что первое слагаемое в правой части стремнтоя к р (х,, з:„хз), когда»-«0, а второе стремится к нулго, потому что входящий в веге интеграл остается ограниченным. Остается доказать, что и, определенное по формуле Кнрхгофа„удовлетворяет уравнению (1,12), Из равенства (сз ГИПЕРБО,'ТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (гл. 2 (6,12) находим: дси дси„дси С (.
р С дс дст дст. дхс дх дхс 4. д д с д Ес Ес дси Чтобы вычислить — д,ст, перепишем равенство (7„12) тпк: ди» и,» 1 с" е с'дт дт дт -( ~- 4 с — с(ас сса -(- — с(ас с(а + — с(ас сса дс- с 4хС~-)',д, 1 с д,с 1 з дас 1 сС= Яс Ус и» с (с) = — +— с 4хс (9,12) а )сс — шар радиуса с с центром в точке (х„х„х ) на гиперплоскости с = О.
Из формулы (9,12) получаем: ди, и„( Ги» К(с)) С(с) С дт(с) — = — — + — ( — + — ~ — — -+ — — = дсс с' с» с 4гл ) 4ыс 4с дс С дс" (Ц 4тл дс (10 12) Но легко видеть, что Г(с)= ~ ~ Ат(е,ф,е)ссаспз д(сссадг, о е и зп дт (с) — — ~ ~ дт (с, ф, 3) с» Мп 6 дф с(4 = ~ ~ АР»(сс. сл,........" ...Ес ») В самом деле, перехода н полярммм координатам (р, З, р) с пептром в паптре Гс, имеем: а За Сравнивая равенства (8,12), (10,12) н (11,12), легко убедиться, что функция и, определяемая формулой Кирхгофа, демствнтсльио удовлетворяет волновому уравпепщо (1.12).
Замечание. Если фуш.цня рс(хс, ха, х,) то.чько непрерывна, а срс(х„хс, ха) непрерывна вместе со своими первымн пронзводпымн, то функция и, определенная равенствами (4,12), (5,12), дает только обобщенное решение задачи Коши. Прн атом под обобшенным решением задачи Коши для ураввенпя (1,12) с начальными условивмн (2,12) мы понимаем предел равномерно сходяшейся последовательности решений па (С, х„х„ха) уравнения (1,12) с начальными условиями м(»)(0 1'с хс хз)=рос») (хи~ хс хс), д д мо)(0 х1 хс хз) Фс( )(х1: хс ха) дтс(аС если при и - о последовательности х„с, ы хс равномерно в 6» сходятся соответственно к р„ дтс с Легко виДеть, что если сР1(х„х„хс) пепРеРывва, а Ров непрерывно дифференцнруема, то обобшенное решение задачи Коши с начальнымц условиями (2,12) существует и еденственно.
2. Рассмотрим частный случай, когда функцпн ср не зависит отх,, Легко видеть, что тогда функция и, даваемая формулой Кнрхгофа, также не будет зависеть от ха и поэтому будет удовлетворять уравнению дси дси дси дса дх» дхс (12,12) В атом слУчае молсссо интегРал по сфеРе ос заменить удвоенным интегралом по сечению Кс этой сферы плоскостью а =.=х, Проекаируя элемент с(ас поверхности на зту плоскость, получаем: псас —— с(ас с(а )с с' — (ас — х,)» — (ас — хс)» 1 )2) ' ФОРМУЛЫ, ДАЮВСИЕ РЕШЕИНЕ ЗАДАЧИ КОШИ (СЕ ИОСЛВЦОВАН11З ФОРМУЛ 1 13) ГИПВРВОЛНЧВОКНВ УРВВПВННЯ (гл, 2 Задача 2.
Пользуясь формулой (5,12), покажите, что решевке (16,12) имеет вид (1 х1, хв, хз) — — 1 ~ 1 ) и яи рхи (17 12) 1Де г= Г'(х,— а1)в+ (х — ав)в г(т, — и )в. ИнтегРал (17,12) называется заггазд»гвагок)гья потелвваяол, $13, Исследование формул, даю«цнх решение Задачи КОШИ »ви д'и 1=-1 (1,13) при и =2, 3, содержат интегралы от начальных функций, умноженных на определенные функции н производные по времени от таких интегралов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
