И. Петровский - Лекции (1120446), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пределы натвгргпгованна но г в нрнввлннейноы антсгралв нв нвннготся с нзиенвннвы «, И Г. Петра«анна 3 *' 1о) зАдАчА коши для гипвгьоличвских систвп уу ГИПВРБОЛИЧВСКИВ УРАВНВНИЯ (гл. 2 дг( ) — ),(х) =-'и(х) и, (», х) — г, (», х) = з; (», х). (7,10) Функции хг (», х) удовлетворяют интегральным урав- нениям з„(», х) =- г!, (хг) + ~ ~ ~ч аг,:, ) с»».
(8,10) л=-г Положим игах 1З, (», х) ( = в, гг, вмо г-г, ...,и Тогда, повторяя оценку, проведеннуго при докааательстве сущесгвованпя решения, получаем» (зг (», х) («(гг+Авдг». Пользуясь неравенством (9, 10) и снова оценивая (зг(», х) ~ с помощью уравнения (8, 10), получим: Аглгьгв ,. (», х)!а,вг(1+ АЛ»»)+е — „, в оценках изменятся только константы. Поэтому да. Йпг — =- --' и эса функция непрерывна, ч. и т. д. дх дх Если бы функции у,, (х) были только непрерывны и не имели производных, то построения, описанные в начало настоящего параграфа, дали бы только обобщенные решения системы (1,10) (ср.
следующий пункт). 2. Мы доказалк существование и единственность репгения задачи Коши для системы (1,10) в классе функций., имегощвх непрерывные производные '1-го порядка, Чтобы доказать корректность поставленной задачи, докажем следующуго теорему (ср. 1 8). Если начальные функ»)ии ~р, (х) задача Коши ваментиь такими угг»нкг»иямгг фг(х), чтобы они отличалось огп соответствг»гои»их уг (х) лгеныие, чем на ъг, то гбункг»гги о (» х), из которых составляется региение измененной 1 вада ж Коган, будут опгличатьсх олг соогиветсгггвующггх иг(», х) лгенаше, чем на е, причем в — ьО, если ь-ьО. Положим Повторив эту операцию н раз, мы докажем неравенство (зг(», х)(<гг( 1+ АЛ»»+...
-)-(— ' — ')- — )1-е ( '*г) Переходя к пределу прн и — со, лгы получаем: в < телят Отсюда видно, что еьО прн гг-ьО, так как е"нг— постоянная, не зависящая от с. 3. В заключение настоящего параграфа мы дадим краткое описание метода конечных разностей, удобного для практического врвблщкенного решения задачи Коши„ поставленнои в и. 1. Пусть на отрезке [а, Ь) оси ()х нам заданы начальные функции ог(х). »1тобы првближенно найти значения функций и,.(», х), удовлетворшощих системе (1,10) и прп »=0 прггнймающггх заданные значения г!г,(х), мы поступим следующим образом. Вафякспруем некоторое целое число и и разобьем з — а отрезок»а, Ь) ва и равных частей длины Ь=.—.После этого проведем прямые х=о+рЬ и прямые»=уЬ для таких целых значений р и д, чтобы область С, в которой ищется решение задачи Коши (см.
и. 1 наставшего параграфа), была покрыта квадратной сеткой со стороной квадрата, равной Ь. Ваиумеруем вершины квадратов двумя индексами, а именно, обозначим через М точку пересечения прямых х == а ь рЬ и» = ду, Нам заданы значения искомых функций иг (», х) во всех точках М„„; иг(0, а -г; рЬ) =у»(а !- рЬ) = тг(МРь).
Опишем процесс, с ггомсгшью которого можно прпб.покенно найти значения и; (», х) во всех вершинах сетки, лежащих внутри С. В каждой из точек М определены коэффициенты системы (1,10) н, ь частности Л' чисел ),. (М„,) - Аг (»=1, ° ., Л), Из каждой точки Мр„проведем Л отрезков прямых с угловыми коэффициентами Ь; = — — „до Ро З г пересечения с прямок» вЂ” — Ь н найдем значения и,(», х) в противополоягных концах соответствугошвх отрезков. Для этого воспользуемся формой (4,10) системы (1,10) и заменим дифференциал при движении вдоль характеристики 7ь 1(9 Гипвэволнчвскив нгквнвния (гл, 2 Ег приращением, а соответствующее точное равенство— приближенным. Мы получим соотношение Ьиг (~.'а,;и, + Ь,,) Ь, г позволяющее найти приращение функции Ьи,: при переходе из точки ЬХ» вдоль характеристики Ьг (точнее, вдоль касательной к этой характеонстике) на прямую Прибавив найденные приращения к исходным значениям функции в точках Я»», мы найдем значения каждой функции а, в точках пргмой г=й.
При атом значения различных функций будут определены„вообще говоря, в различных точках. С помощью какого-либо интерполяцпонного процесса по найденным значениям и, на прямой г =Ь определим ее значения в точках Мгг — верпшках сетки, лежащих на этой прямой. После этого можно продолжать определение значений иг(г, х) тем же методом н определить эти значения в точках прямой г = 2Ь, принадлежащих области О. Повторяя интерполяцию и дальнейшее определение значений и, (г, х) столько раз. сколько понадобится, мы найдем, таким образом, приближенные значения всех функцяй и„.
(г, х) зо всех вершинах квадратов, лежащих в области 6. Можно показать, что при и — ь приближенные значения функций равномерно сходятся к пределу, дающему точное решение задачи Коши, и, следовательно, прн достаточно большом п приближения, найденные описанным методом, сколь угодно мало отличаются от истинного решения. Если гг>=2, процесс приближенного вычисления решения задачи Коши значительно упрощается. Тогда имеются только два семейства характеристик, Разбив отрезок (а, Ь) осн Ох, ка котором заданы начальные значения и, н иг, на малые интервалы и проведя в точках деления касательные к характеристикам различных семейств до нх бли>каишего к отрезку [а, 6) пересечения, мы прнблвжбнно найдем значения и„ и и» в этих точках пересечения, как было описано выше.
Проведя из этих >1) зАДКЧь КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО КРАВНВНИЯ КИ новых точек касательные к характеристикам, мы таким же способом приближенно найдем значения и, н и, в точках пересечения этих новых касательных, блйгкайшнх к отрезку (а, Ь), и т. д. Таким образом, мы уолучньг значения и, и и, на некотором достаточно плотно расположенном множестве точек, если начальное разделеняе отрезка (а, Ь) достаточно мелко.
Никакой квадратной сетки н ннтерполяцн~ в этом случае ке требуется. з 11. Задача Коши для волнового уравнения. Теорема о единственности решения Пусть функ>(гля и(г, х„х ) удовле>пворявт уравнению д»и дги , д»и дг» дг'1 ' дг»г внутри круглого конуса К с осью, параллельной оси Ог, гвргииной в >почке А и обрагуюи1имгг, составляю>>гам>с с осью Ог угол а=45'.
Пусть, кроме того, сама функция и(г, х„х,) и все ев' проигводньгг до 2-го порядка включительно непреривнм внутри и на гран>гав К. 'л"огда гна»ение и(г, х, х,) в токе А одногничноонрвдн деллвтся гначениями и и — на основании конуса, лвгюаи)вм дг в плоекоста г = 1>г Конус К называется характеристическим. Легко видеть, что боковая поверхность К является характеристической поверхностью в смысле п. 1 4 3.
Теорема одинаково верна как в том случае, когда у точи~ А координата г > г», так к в том случае, когда Замечания. 1) Вместо уравнения (1,11) вформулнровке теоремы можно было бы взять уравнение (2,11) где а> 0 — лгобая постоянная, заменив соответственно конус с образующими, составлшощнмн угол 45 с Ог, другим конусом, образугощие которого наклонены к осн Ог под углом а =- агссяа. Действительно, уравнение (2,11) сводится и уравненшо (1>11) заменой а( на г. Гипеэволичвские угьвниння [$'л, 2 !02 11 задача коши для венцового квьвнвпня тсз 2) Мы всегда можем считать, что 1, =О.
Случай лтобого тэ сводится к атому, если вместо независимой переменной г ввести новую незавнсимуто переменную С*=С вЂ” г,, отчего вид уравнения (1,11) ие изменится. Э) Допустим, что в плоскости г =. О нам задана область 6„. Построим конусы К с основаниями, лежатцнми на области 6„е. осами, параллельными осн Ог, н с образующими, составлшошими с Ог угол ~ 45'. Тогда нз ди нашем теоремы следует, что задание и н — в области 6,. дт и однозначно определяет решение уравнения (1,11) в области 6 пространства (т, х,„хз), заполненной конусамн К, Нади пример, задание и н —, в квадрате [х, [, и, [х,[ < и однозначно определяет дважды непрерывно днфференцнруемое решение тт(т, х„х,) уравнения (1,11) внутри кая'дой из двух пирамид, для которых этот квадрат являетт я общим основанием, а боковые грани составлятот с основанием угол в 45'.
ди 4) Задан>те и и — на каком-нибудь круге 6,, лежадт э щем в плоскости (х„х,), не определяет решение и (г, х„хэ) уравнения (1,1'1) ни в какой точке В, лежащей вне соответствутощттх конусов К, у которых общим основанием слу>кттт круг 6,, ошт параллельны осп От, а образутошие составлятот с осью 01 углы в 45'.
Для доказательства этого достаточно убедиться, что существует такое решение ди и (т, х„хз), что и и — равны иулто в круге б„а и (В) л О. Для построения такого решения заметны, что при любой дважды непрерывно дифференцируемой функция ((з) и ат>+ а> =1 функция > (г + атх> + аахт) (3,11) являетея решением уравнения (1,11). (Проверьте[) Функция (3,11) сохраняет постоянные значения на всякой плоскости 1+а,х, +а,х.=с, (4,11) каждая из которых составляет угол в 45' с От.
Подберем а, н а, так, чтобы та плоскость семейства (4,11), которая проходит через точку В, не пересекала круга 6,. После этого можно подобрать дважды непрерывно днфференцпруемуто функцию >>(з) таким образом, чтобы 1(т' т а,х, т а,х,) бйла отлична от нуля в точке В и равна нулю в 6. Тогда и(т, х„хэ) =)(К+а,х,+азха) будет искомым решением 5) Приводимое нюке доказательство теоремы о единственности применимо для дважды непрерывно дифференцируемых решений уравнения дти дти дти — = — -+ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
