И. Петровский - Лекции (1120446), страница 12
Текст из файла (страница 12)
дд~ дт) . (27,6) тЗ дтот Вил злльч!тлческого ураВневия назыВаотся ей о хаконвческим видом. Мы привели уравнение к такому виду в окрестности некоторой точки (хз, ра), в которой сушествует акыппкческое реглеиве уравнений (5,6) с отличными от куля производными. Другими более сложными рассуждонпями можно поттазатти что такое приведение возможно без предположения аналитичности А (х, у), 8 (х, тр)., С (х, р), а только в лредположенпн, что онн имеют непрерывные нроизводвые до Второго порядка вклточительио.
й 7, Приведение к каноническому виду системы линейных уравнений с частными производными первого порядка по двум независимым переменным Мы будем рассматривать систему уравнения » ди, ди Ъ т а (х у),З'+~(х р иг и) т' 1 ((=!, 2,, и). (Т,7) Линейны ли )', относительно и„ пьи ..., В» нлп вели- кейны, нам безразлично.
Бучем ттредполагатзч что козффициенты ап (х, у) действительны и в кеьоторой области С на плоскости (х, у) имеют непрерывные частные производные по х и у до й-го порядка включительно (Й > 1). Тогда прн некоторых доволнтгтельных предположениях. которые у нас напечатаны дальтпе курсивом, систему (1,7) з некоторой окрестности произвольно взятой внутри 6 точки А можно привести линейным иеособым преобразованием неизвестных фуякций и,, ..., Лл с ковффяциентамн, нметопсими столько же непрерывных производных, как н коэффициенты а,,(х, у), и кипоттнттескоиту киду дс, — „" =-~т(хи у)-;-' -у «'*,(х, У, В„..., В»), —,„" =, (, У)-д — „+1, (: Р) — „, + )'~ (, К .„": 'и): 7га ВВВДВИИВ.
КЛАССИаРИКАНКЯ УРАВНННИЙ (ГЛ, г д" ы — =г (х, у) — '" г Лч+г (х! Уа ога ' а'а) дс, а+2 дсхахг . дэааа 2 — а-=8 (х,у) а +А (х, у) — ! — + дх 'г ' ду ду + гааа';2 (х у! га! " гч) дэ + а,+., (х, у, о,, о„), де„ х — а! Фг х хг+! де А„(х, гг) дх '" дд дс х — аа~ +2 дэ аа — хЗ+! =,(х,у) + 7аа Ег (Х, У, гаг, ..., В ), дг! + А„(х, у) +7",а, ьз(х, У, вн ..., Н„), — „- (, у) —,„+ й (, у) —,, + деч дэ„, дух + г" (х, у, с„, ., с ). (2,7) ЗДесь Аг(х, У), ..., г„(х, У) — коРни опРеделнтелл матРацы г( ан (х, у) (г — Ае, (3,7) хг(х, у), )г,. (х, у), ..., Нг(х, у) — некоторыедовольиопроизвольные функции, имеющие непрерывные производные до й-го порядка вклгочительпо и нигде в рассматриваемой окрестностп точки х1 не обращагощпеся з нуль.
Функции СГ, Аа аг, Ра, ..., аг,,г;, ...,,11, ВООбгЦЕ ГОВОРЯ, МОГУТ быть комплексвымп фуньцнямн вх аргумевтоав, Если ..., ~„ггМЕЛгт НснрврЫВНЫЕ ПрОИЗВОдВЫЕ У-ГО ПОрядьа, то У;, ..., Д будут иметь непрерывные нронзводиые го порядка щ1в (а7, Ь вЂ” Ц вклгочитеальво. Рассматриваемые нами системы (1,7) и (2,7) отличаются от системы линейных обыкновенных дифференциальных пгиВвдвыив к кАноничхскому Виду систвмы уравнений „~'= ~~ ану;+гг(х) (2=-1, 2,, а) (4,7) с постоянными коэффициентами ан и соответствугощей ей каьонической системы (133), опйсавнойг в у 43 моего курса обыкновенных дифференциальных уравпенигй (Гостехд издат, 11)52), только тем, что вместо — в левых частях соответствугощнх обыкновенных уравнений написано —, д а вместо — в соответствующих обыкновенных уравнениях дв подразумевается множитель 1, Прп этом у овстемы обык- новенных дифференциальных уравнений (133) коэффи- циенты постоянны и функции 1 В )х зависят только от одного независимого переменного, а у соответствугощнх рассматриваемых нами уравнений с частяымн производ- ными коэффгщненты прн производных зависят от двух независимых переменных, функции же ~ и /х зависят кроме этах двух независимых переменных еще от всех неизвестных функций.
Приведение системы (1,7) к каноническому виду (2,7) производится соверщенно той же заменой неизвестных функции, как это сделано в $ 44 моого курса по обыкно- венвым дифференциальным уравнениям для системы линейных уравнений с постояннымп коэффициентами. Единственное, о чем теперь слелует цозаботвться, это доказать, что вблнзи точки 4 коэффипиенты линейного преобразования, описанного в б 44, являются таквмн же гладкпмн функцвямп (х, у), как н коэффициенты ан (х, у) свстемы (1,7).
Для этого пам придется несколько йовто- рить этот ~ 44, Мы будем пользоваться методом полной математн. ческой индукции. Прн в= 1 доказываемое нами утверж- ление о возможности приведения системы (1,7) к ввду (2,7) линейным преобразованием с гладкими коэффициентами очевидно. допустим, что оно верно для числа уравнений, равного л — 1. Докажем, что оно верно н для числа урав- нений, равного л, ВВВЦВННВ. КЛЛССНФИКЛЦМЯ тРДЭПХНКП !гл пуиввденни к каноническомм кпцч систвмь1 77 Помножим где уравнение системы (1,7) на Й1, где Й,— некоторые дифференцируемые функции в окрестности точки А„которые будут определены позже, Полученные уравнения просуммируем по всем 1 и результат эагщшом и анде: 'Д'Чи ) с / 1 Определим теперь Й, так, чтобы тождественно по и было ! ~~ а„Й, и, —= .
Х ~ ~Йгп1, (6 7) где Й вЂ” некоторая двффереицируемая функция (х, у), действнтельная или комплекснан. Для этого, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты прн одинаковых и, в обеих частях этого тождества были одинаковы, т. е. чтобы было !.Й, = л~л а1,Й1, 1'=!, 2, ... и. (6.7) Таким обРвзом, длЯ ОПРеделении Й,, Йю ..., Ь;, мы получим систему п линейных однородных уравнений с, и неизвестными.
Чтобы эта система имела петривиальиос рещение, которое только и будет для нас представлять интерес, необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный вз ее коэффоцнеитов, был равен вулвл. ЭТ1! условие моясно записать так' )ХК - ~~(ам ~() =О, (7,7) Матрица ЙŠ— () а!1(( называется характериетичеекои матрацей сиегнемы (1,7). Пусть лч — один пз корней уравнении (7,7). Предположим, что в рассматриваемой окрестноелги точки А каждый корень уравнения (7,7) имеет Одинаковую кратность длл всех точек этой окрестносгни. Пусть Й1 имеет и этой окрестности кратность «,.
Тогда в этой окрест- ности ),1 удовлетворяет алгебраическому уравнению /!м — ц(к, х, у) = О, где !сз!(!ч х, у) есть 11р!мсзв!Здная Й-го порядка по), от левой части уравнения (7,7). При этом во всей этой окрестяости гн!!(!1(х, у), х, у) --О.
Поэтому согласно известной теореме О неявной функции Х1(х, у) в окрестности точки А будет иметь такую же гладкость, т. е, столько же непрерывных производных по х, у, как и коэффициенты агг лгрвдноложпм еспе, что в рассл!Птриваемсй окрестности точны А,катря)а ба -!) — з л7 (6,7) где ль — корень уравнения (7,7), имеет. одын и. тоги ж~ ране г1,з). Тогда в этой окрестности точки А система (6,7) при Й = Йсимеет решение, состоящее нз функций, нигде в Окрестностй точки А не обраща1ощихся в нуль одновременно, пРичем этп фУнкции имеют такУ1о же гладкость, как иаьг Обозначим их через Йм. Чтобы найти такие Й„., заметим следующее. Раз матрица (3,7) имэег всюду в окрестности А ранг г„то у точки А существует такая окрестность,.
в которой какие-то и — г Определенных уравнений системы (6,7) являются следствиями остальных г„уравнений. Поэтому всякая система функций Йм, удовлетворяющих в некоторой малой окрестности точки А зтнм г,уравнениям, будет удовлетворять всей системе (6,7), (ля того же чтобы найтп решение этих 1, уравнений (будем дли краткости называть нх уравнениямн С1), заметим следуюсцее. Так кан ранг матрицы (3,7) при ), =-Й1 ранен г„то пз столбцов матрыцы, состаэпенной из коэффициентов системы С1, мо1кно составить квадратную матрицу с неравным нулю определителем в некоторой окрестности точки А. цгункцни Йм, являющиеся множителями у этих столбцов, будем считать неизвестными. Остальные же Й„положим ) ЛЗ1'1 О ПОКЗЗзть, что гк ~~ О зы В ГЗМОМ Дспе, П(!ОПЗЗОД!МЯ ПОРклкз зз пс 'к От Определителя (7,7), кзк легко видеть, зс1ь при Ь=зз эиизйэзя комбинация миисрсз поридка (и — «1,) Определителя (3,7!.
Тзк каи эта произисдизи не Рзэиа нулю. ТО один из 11ППОРОв порядка (и — аз) матрицы (8,7) ие рзэеп кулю. уа ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИЮИКАЦНЯ УРАВНЕНИИ )гл, 1 ПРИВЕДЕНН11 К КАНОНнв!РСКОЫУ ВИДУ СИСтвнм 7Э равными произвольным„пе равным одновременно нулю, постоянным. Для определенности положим их все равными 1. Тогда система С, единственным образом определяет все другие )111, как фуннцин, имеющие такую же гладкость, как и а„. Итак, мы нашли в некоторой окрестности точки А функции Йы (1= 1, 2, ..., и), которые нигде в этой окрестности не обращаются в нуль одновременно и которые имеют такую же гладкость, как и аоо Для определенности положим, что йм и- О в точке А.
Очевидно, это насколько не ограничивает общности, так как мы всегда можем достигнуть этого измекением нумерации ис, что сводится к неособому линейному преобразованию и, Пояожнм далее з,=3 Очевидно, функция гв(х, у) удовлетворяет уравнению дав д, д =Лв де+в' (тв У зв ию ..: "а) где 1в (х, У, зв, пз,, пя) ш д41 д (а114ы) дЛс 1 1 в' (см. формулу (5,7) и предшествующее ей равенство). Далее все рассуждения 9 44 моей книги по обыкновенным уравнениям применяются без каких-лнбо существенных изменений *). Эти рассуждения значительно упрощаются в случае, когда все корни Л уравнения (8,7) рааличны, н мы проведем нх здесь до конца. В этом слу') Замеспвс, что для системы, состоящей из п — ) ураенсввнй, которую мы, как н в 1 44 моей книги по обьи<нозеньым днфференпиальным уравнениям, должны будем записать а каноническом виде, справедливы предположенйя, напечатанные курсиеом, н яоэтому, пл предположенвно индукции, такую систему из л — ( уравнении можно записать н каноническом ниде.
Это легко проверить, пыражая матрицу )) ап )) — Лй' через солтеетстеующую матрицу прсобрззоеанной системы, аяалогичной ()34*) 1 44 книги «Лекции по теории обыкновенных дифференциальных ураэненяйв. чае каждомУ коРню Лс, 1=- 1, 2, ..., и, этого УРавнениЯ соответствует система функций йы (х, у), )'=1...,, и, определенная ио Лв так же, как прежде были определены функции й„(х, У), ) = 1, ..., и, по Л,. Функции йы (х, У) имеют столько же непрерывных производных, как и а,, (х, у).
При этом ' =-Л. —."'+~,*(х, У, и„..., и„) (1'=1, 2, ..., и), — — .,„"™ где х. = у йып) (1 = 1, 2, ..., и), 1=1 Остается показать, что ~йы ) ~ О, Допустим противное, т. е. что в некоторой точке (х', уе) той области, где определены все йв, (х, у), ~ йп (хе, у«)1= О. Тогда существуют такие постоянные С„ве все равные нул)о, что ХС й (х«, У«) =О (1'=1, 2, ..., и).
(9.7) ПомножаЯ 1'-е из этих Равенств на аы и сУммиРУЯ по 1', получим: (х«уо)а (х«у«) 1,« ~А~У„'( е у«) ( о ))е) — ~А~«С)., (хе 1«)й ( а е) 3 в в Последний переход мы сделали, используя соотношение Лв'с«1 Х й«1аввв аналогичное (6,7). Таким образом, мы получилк равенства, аналогичные (9,7), где вместо С, написано С„Л, (хе, уе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
