И. Петровский - Лекции (1120446), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Расс,мотрпм уравнение д~ =-О, (10,4) для которого характеристиками служат ггинни х = сопз1., у = сопзь. Очевидно, уравнеии1о (10,4) удовлетворяет всякая функция вида В=УЬ), где ((г~) — л1обая функция, пме!о1цая всюду производную. В частности, можно предположить, что функция и= /(у) такова, что ее вторая производная непрерывна вс!оду за искл1очепием одной точкк, где она имеет разрыв первого рода. Тогда мы получим решение уравнения (10,4), у которого вторые частные производные име1от разрыв первого рода на характеристике. Все дальнейшее будет посвящено главным образом уравнениям двух типов: или будет рассматриваться одно уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией илн будет рассматриваться система тобаго порядка с л1обым числом неизвестных функций, но с частными производными только по двум независимым переменным.
Такие уравнения приводятся к некоторому простому еканоинческомуэ виду. Это приведение описало в следующих трех параграфах. 1 б) пгиввдвиив к квионичкскоик вид!! н точки ! з 5, Приведение к каноническому виду в точке и классификация уравнений второго порядка с одкой неизвестной функцией 1, Рассмотрим линейное уравнение второго порядка к 1=! 1 ! + С(х,, ...,.х,)к+Р(х„..., х )=0 (1,5) с одной неизвестной функцией и. Мы считаем здесь А1,=А, . Все функции А!!. В,, С, г' действительны, онн определены н некоторой области 6 пространкхна (х„..., х„).
Сделаем замену независимых переменных, положив е„~ а, х (й=1, 2...,, и), (2,5) ! — 1 где а„! — некоторыо постоянные. Мы предполагаем, что креобразовзнне (',5) пеособое, т. е. что опредечитель (а„,.) не равен ну!по. Тогда преобразонапне от хв к ра в обе стороны однозначно. Уравнение ('1,5) в независгв!ых переменных 1„11,..., $с запишется так: и е ~ ~;"„Аы.;,~~ — „.— „. +".=0') (35) А,1=-1 к! ! Мы выписали здесь только клепы с производными второго порндка от неизвестной функции и.
Из равенства (3,5) видно, что коэффициенты прн производных второго порядка от и при заме!к независимых переменных, даваемой формулой (2,5), изменя!огся совершенно так же, кзп изменяютсн коэффицвенты квадратичной формы а ~~', А,:х!х, (4,5) 1,! 1 *) Чтобы быть усерснпыын н сакснпсстн перехода от производных пс певанпсныыы переыепеыы х! (! 1,...,и) н прсненсднып пс неаапненыыы перспснныы 1! (!'=1, ..., и) пс обычныы прввнзвы, достаточно предпспсжат!с что фупн!!!!н и нпсст непрерыспь!е прспввсдпыс дс птс1югс парадна нк пса!те!!ьнс.
бО ввждинпи. клкссиегикАННЯ кРАВнкннн (гл. 1 при замене т на ,"„, даваемой формулами хе=-~ а Д (й=1, „л), (5,5) ! Коэффициенты А„формы (4,5) мы считаем постоянными н равнымп значениям коэффициентов Аг, (х„..., х„) уравнения (1,5) в какой-ниоудь точке (х'„,..., х„') области 6, В алгебре доказывается существование такого действительного неособого преобразования (5,5), которое приводит всякуго форму (4,5) с действительными коэффициентами Аг, к виду где т <и.
(6,5) г=! Существует много неособых действительных преобразований (5,5), приводящих форму (4,5) к виду (6,5), но число клонов с полоягптелькымк и число членов с, отрнцаточьнымп зиаками в ф»рме (5,5) определяется исключительно формой (4,5) и не зависит от выбора неособого преобразования (5,э). (Закон инерции квадратичных форм*).) Определитель )А. — М,А!г будет иметь только действп! г тельные корни А. Чпсгго членов в (6,о) с ноложительнымп знакамп н число членов с отрицательнымп знаками равно числу положительных и соответственна числу отрицательных корней й этого определителя. Еслгг мы найдем некоторое преобразоваоио (5,5), приводящее форму (4 5) к виду (6,5), то преобразование(2,5) с магряцой, транспопкрованной и обратной к (агк), приведет ураииоике (1,5) к виду; ь г=! Аег(х,',...,Хв)= ~ 1, если г=7'а,т А;*,(х,',..., х„')= О, если г ~) или еслн г=).в ги. *) Сы.
А. Г. К у ро ш. Курс высшей алгебры, Гостехиздет, 1952, 1 25; И. Ъ1. Геяьфакд, Лекции цо пикейной алгебре, Гостехкздат, 1951, стр. 143. 1 5) пгиввдкпнв в вьноничпскомг вндгг в точкв бг Мы выписали здесь только члены со старшими производнымн от функции и. Вид (7,5) уравнения (1,5) называется его капопическим еггггом е точке (х,',..., х,"). Таггггм образом, для каждой точки (х'„..., т') области 6 можно указать такое неособое преобразовайпе (2,5) незавпслмых переменных, которое приводит уравнение (1,5) к каноническому виду в этой точке.
Для каждой точки (х"„..., х,') яыегггся, вообще говоря, свое преобразование (2,5), приводящее уравнение (1,5) к каноническому виду в этой точке; в других точках зто преобразование может не приводить уравнение к наноническому виду. Примеры показывагот, что, когда число независимых переменных больше двух, вообще говоря, нельзя указать не только линейного преобразования независимых переменных с постоянными коэффициентами, но и никакого другого неособого преобразования переменных, которое приводило бы данное линейное уравнение второго порядка к каноническому виду да'ке в как угодно ма.год области.
В случае же двух независимых переменных такое преобразование существует при весьма обгцпх предположениях о коэффициентах урз.внения (1,5), как будет показано в следующем параграфе. На возможности приведения уравнения (1,5) к каноническому виду в точке основана классификация уравнений второго порядка. 2. Уравнение (1,5) называется эллиптическим в точке (х,', ...,х'), сели в уравнении (7,5) все А;г(х,', ..., х,",) (! = '1, ...,л) отличны от пуля н имегот один знак.
Уравнение (1,5) называется гилерболическггм в точке (хв хп) г! (7 5) . ~в. ( в имеют один и тот же знак за нсклгочением одного Агг, которое нмеет противоположный знак, прячем т =-и. Уравнение (1,5) называется улыггриеиперболичеекггм в точке (х'„, ..., х"„), если в уравнении (7,5) имеется больше одного цолонгительного А,"! (х',,..., х,') и больпго одного отрицательного А;г(хчв, ..., х,',) и ги = и. Уравнение ('1,5) называется параболическим е игарском смысле в точге (х' х,",) если среди А'г(х,', . х,',) имеются равные нулю, т. е.
еслп т <. и. Уравпенке (1,5) называется параболи*!секим е узком смысле клк просто параболггчееким в точке (х,',,х„'), е2 ВВИДКНИЕ- КЛАССгсФИКАПНЯ ХРАЗНБНИИ (тл. ! если только одни пз коэффициентов Л,*ч(т'„, ..., х„',) (пусть это будет Л;,), равен ну.по, все же другие Лвс, (х'„..., х'„) ди имеют одинаковые знаки, а коэффициент при —.— отличен Ж! от нуля. Уравнение ((,5) называется вллсслтссчесхплс, соответственно гиперболическим, ультрагиссерболичеепсслс и т, д, ео всей области 6, если оно эллиптично, соответственно гиперболпчно, ультрагиперболячно и т. д. в каждой точке области 6. Б приложениях иногда встреча!отса уравнения, которые в некоторой частя 6, рассматркваемой области 6 являются эллиптическими, в другой частя 6э области 6 гиперболическими. Такие уравнения называются уравнениями смешанного типа.
К ним принадлежит, папрцмер, уравнение Трнкомг дси дэи у —.+ — =О дхс дэс в области 6, содержащей точки оси х. В послоднее время изучению уравнений смешанного типа посвясцено много работ. 3. Нелинессное уравнение второго порядка с одной неизвестной функлией и называется д.тя данного степсессил и* (х„..., х„) эллиптическвм, гиперболическим или параболическим в широком смысле в точке (х'„.. „х'„), соответственно в области 6, если эллщггнчно, гпперболично, параболично в широком смысле в точке (х'„...
х."„), соответственно в области 6, уравнение я дси Х Л! ('"' )...,.=' с, с=! дФ °Л сс(х!. ° . с хс)=' с дэи д ~ дх; дя) з Е) пгиввдвнив к канонич. виду в оквпстн. точки яз В правой части (8,5) вместо функции и и ее производных подставлена функция ит (х„.. „т.„) и еб соответствующие производные. Мы будем в дальнейшем изучать только линепные уравнения второго порядка с одной неизвестной фуикцием, которые во всей рассматриваемой области являются или эллиптическпмв, илп гиперболическпэсэс, плн параболическими.
Уравнениями же ультрагвперболвчеспкми мы яе будем заниматься; такие уравиеппя не встречаются нн в физике, ни в технике. Точно так же мы не будем заниматься уравненнями параболическими в широком, но не в узком смысле. Соответсственпо этому, говоря в главе 4 о параболических уравнениях, мы будем иметь в виду только уравнения параболические в узком смысле. $ б. Приведение к каноническому виду уравнения с частными проивводнымп второго порядка по двум независимым переменным в окрестности точки 1.
Пусть дано уравнеике д'-,, д'и д'сс ди диь Л вЂ” +2 —.— +С вЂ”,+Г (х у и — —. ~=0в) ((,б) дс 2 д д, дс '» д с д где коэффициенты Л, В, С суть функции от х и у, имеющие непрерывные прышводныо до второго порядка вклсочительно, Мы будем предполагать, что Л, В и С не обрасцаются одновременно в нуль и что функция и(х, у) имеет непрерывные производные до второго порядка вклсочительно, Перейдем от независимых поременпых х и у к независимым переменным с и т). Пусть $=.,'(х, у), т)=т)(х, у) (2,б) дважды непрерывно дифференцируемые функции, причем якобван ) Мы Рассматриваем в этом параграфа уравнения весколько белес общего вппа, чэм ляпейныс, тап вап все те рассуждэппя, паппмн прпвопптсп к павоппческому ввлу лппсйпов уравнение, сдипвпово применимы и для таких ураввеяпй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
