И. Петровский - Лекции (1120446), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ной матрицы в —.' з (( = О, 5, ..., л; й =- $, ..., я) равен и, доз, Если бы определитель (6,3) был равен кулю, то первая ого строка, представля1ощая ненулевой касательный век- тор к о, была бы линеияой комбинацнеи последних л строк.
Но зто невозможно, так как последние я строк представляют собой векторы, лежащно в гиперплоскостн, касательной к Ю, а линии о, по предположению, не ка- саются Ю, где со — параметр точки вдоль лилии (, а о,...,, $„-па- раметры точки пересечения о с о'. Прк атом правые час- ти уравпекпй (4,3) предполагаются достаточно гладкими функциями всех свовх аргументов, Относительно параметра оо предположим, что хотя бы дХо одна пз производных — Оо(о.=- О, 1, ..., л) отлична от нуля доо ди что точке пересечения линии о с поверхностью Ю соот- ветствует значовие го== 0 (т. е.
уравнения (4,3) при со= 0 совнадают с уравнениями (3,3) поверхности 8), Докажем тоцорь, что функциональный определитель ОБОВЩВИИВ ЗАДАЧИ КОШИ По непрерывности определитель (3,3) отличен от нуля в некоторой окрестности Л. Поэтому в этой окрестности С„оц ..., оя можно привять за новые координаты точки (хо, т» ..., Ио). Перейдем к независимым переменным ',, („, ..., о„ в уравнениях (2,3). Нас особенно будут интересовать в преобразованных уравнениях члены, содержащие производные от ио высших порядков яо по оо.
Выписывая только эти члены, получим; о Поэтому, выписывая только члены со старшими произьод- кыми от функций и, по Фо в уравнениях, получившихся от прообразоваипя уравнений (2,3), получим: оо 'до " Ов. И ~о о с' ~о+" +во=; ~"о , (7,3) ((=1, 2, ..., У). Чтобы эти уравнения вблизи поверхности д' можно дйи,: было однозначно разрешить относительно — 'при провадсзт вольных других членах уравнения, ве выписанных явно, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках поверх- ности Б был отличен от нуля онределитель ! 'дно) / доз,) ' ' ' (. д~~,) Ао+" о-з„=о. ч ((, )' - 5, 2, ..., о"о').
'1'огда в силу непрерывности коэффициентов 4","'А ' и производных — этот определитель будет отличен от нуля аз, дзй н в некоторой окрестности поверхности Ю в пространстве (ао Ач: ° ° °, и„). Уравневие ! во о, Чья=о. ((, у'=$, 2, „Л) ВВВДВНИЖ. КЛАССИФИКАЦИЯ УР*ВКЕ!!Р!Й (гл. 1 ОВОВШВНИВ ЗАДАЧИ КОШИ называется хараллреристпчеслим уравмемпам для системы (2,3); здесь пр, а„..., а„— некоторые параметры, причем ~~!' пт! чь О. Направление плоскости — -о ~~Р а (хь — хьс) =0 ь=о называется харалтерпсврпчссгпл! пар!даю!спиел! в точке (х3, ° ., х~!) для системы (2 3), если р, +...-рь„-р, Поверхность Т(хс, и„..., гр) =- О называетсл харалтле- рпстпчеслой ловерхмогтью для системы (2,3) или просто ! хараллрерпслмрхой, если в каждой точке этой поверхности ьРР- Е!!пылу ...
('ф~ '1=0 н по крайней мере одна из производных †(й=0,1. ..л) дт длр отлична от нуля. Из этих определений следует, что направление каждой касательной плоскости к характериотической поверхности, нли, как мы будем говорить для кратности, направление характеристической поверхности является всюду характе- ристическим, 3. Из предыдущего видно, что если направление по- верхности Я, о которой шла речь в формулировке обоб- щенной зэдачк Коши, нигде не является характеристиче- ским для системы (2,3», то после введения координат ср, 1„..., $„вместо тр, х„..., х„, как бтмло описано р» Тьк нск урэвпркпе 18.21 одпородяо стлосптрльно ярпзпостЯых Рр, с,, ..., ср, то этп пепззоспрме !южно ноумлролаттч счь тая, лапрямер, ~~~ ат= 1. Тогда пь будст косппусом уг;!а между ь-о порт!олью к хараптеРпствчоской плоскости и осью Осы в п.
2, преобразованку!о систему (7,3) вблизи поверхности Ю всегда можно разрешить относительно старших производных от и! по ср, Получится система (! У = 1 " 1п' й=йр+ йр+ ° +"'о~~я!' йр < л!). Условия, заданные на коверхмостп о, перейдут в условия Таким образом, осли поверхность Я нигде не имела ха- рактеристического направления, обобщенная задача Коши свелась к прежней задаче Коши, Переход от первой нз этих задач ко второй вполне обратим; каждому достаточно гладкому ь) решению одной задачисоответствует единствен- ное гладкое решение другой. Но в предыдущем параграфе речь шла о решении си- стемы с акалптическкмн коэффициентами н аналитическими напальными данными.
Для того чтобы система (9,3) и за- дача Коши для нее удовлетворяли этим требованиям, до- статочно выполнение следующкх дополнительных условий: а) Коэффициенты системы (2,3) — авалитпческме функцаиотх, ..., х. б) Фуккцки х,= Хр((р. 1„..., 1„) (!==О, 1, ..., и)— аналитнческке функции своих аргументов, Возможпость выбора аналитических Х! связана с ха- рактером поверхности о п семейства линий 1. Назовем поверхность Ю н семейство линий 1, для которых это возможно, аналитической поверхностью и аналитическим семейством линий, Если поверхность задана уравнением г'(х„хю .
„, х,) =О, рук* ° тр Фл ~ь ')ч ри *, иг Фу, р~- "мс пРоязводпыс до порядка л; включптелько я фувкпяп, задаю- 'д"е пРсобразоэапяс координат, лмолп пспрерывяые проповедано до порядяа рвах(л!) включптельпо, ВВЕДЕИИВ, КЛАССИФР!КАЦИЯ УРАВНЕНИЙ (ги. Г 4б ОВОВЩВПИЕ ЗАЧАх1И КОШИ Г (Х„, И1, ..., Еи) — аиапитНЧЕСКая фуннция СВОНХ арГументов, н поверхность не имеет особьгх точек (точек, где Все первые лронзводкые функция хг обращаются в нуль). Семейство нормалей к аналитпческой поверхности — аиалнтнческое семейство линий.
в) начальные данные — аналитические функции от Согласно теореме Ковалевской, мы можем сказать, ч.го при выполнении условий а), б), в) обоощевная задача Копш пз1еет всегда единственное решевле в нокоторой окрестности поверхности о', если эта поверхность нигде не имеет характеристических направлений. г'.Слн же поверхность Ю имеет в некоторой точке х1 характеристическое направленые, т. о, если в точке х1 поверхности 1.(хю ..., ии)-О имеет место равенство Х АФ'"' "'( д" ) ... ( д~ -х) "~= — О, (11,3) но+ тза= и1 то иа поверхности Ю, вообще говор11, нельзя уже задавать произвольные значения функций и, и вх производных, если хотеть, чтобы обобщенная задача Коши имела решение. Действительно, вставим тогда все члены, содержащие производные порядка я, по $, вт функций и1 в левых частях уравнений (7,3), а все остальные члены перенесем вправо.
Тогда в силу условия (11,3) в точке 4 будет существовать линейная зависимость меа1ду левыми частями полученных уравнений. Значит, такая гне линейная зависимость должна существовать н между правыми частямн этих уравнений, которые вполне определя1отся заданыымн значениями фувкшгй и1 и их производных ыа поверхвостк Б. А это налагает определеыву1о зависимость на эти начальные данные, если только требуемая линейная зависимость между правыми частямн уравнений не выполняется тождественно при всех значениях функций и1 и их производных ыа О'.
В этом последнем случае, а такн1О в том случае, если ыа хараьтерыстпческои яоверхяостн Ю условия Коши заданы так, что система имеет решение относительно старших производных по 1, рассматриваемых как независимые переменные, такое решение моя1ет быть неедннственпо в окрестности точки А, Приведем ряд прнмеров ка нахождение характеристических направлений для уравнений н систем уравнений. Прп этом мы всегда будем предполагать, что 2,и„=1, (12 3) т.
е. и, означает косинус угла между осью Оя1 и нормалью к гнперплсскостп, нмеющой характеристическое направление. Пример 1. Для уравнения Лаплас дйи д1и —,+ ...+ —,=О дхй соотношение (3,3) прннимаот внд а~ + а„+... + Аи =- О. Прнипмая во шшмание (12,3), убеждаемся, что уравнение Лапласа пе имеет действптельоых характеристпческвх на- правлений.
Пример 2. Для волнового уравнения д"и дзи д1и дх1 дх~ дхз соотношение (3,3) принимает шш а' — и- '-- и.' = О. А Так как согласно (12,3) должно быть ~'+ и,'+а; =1, то 2из 1; а - + = . Значит, касательные 'плоскости ко а А всем характеристическим поверхностям составляют с осью Охи угол в 45', Пользуясь этим свойством характеристи- ческих поверхностей, легко сообразить, какой внд пме1от характеристические поверхности, проходящие через ке- которыо кривые на плоскости х,=сопзь. Например, ха- рактеристической поверхностью, проходящей через шобую прямую 1, лшкащую в эток плоскости, служит плоскость, проходящая через 1' к составля1ощая с плоскостью и, = сов~,. угол в 45', Характернсгическо11 поверхностью, про- ходящей через какуго-нибудь окружность К, лежащую 46 ВВИДПННВ, КЛАСОИФИКАПИЯ УГАВНВНИЙ (гл, 1 ОВОБЩННИЖ ЗАДАЧИ КОШИ в плоскости х = сопев., служит боковая поверхность круглого конуса с осью, параллельной оси Ох, и образу!ощими, составляющими угол в 45' с плоскостью х„.=сове'., илн, что все равно, с осью Ох„.
Легко видеть, что для так называемого волнового уравнения в и-мерном пространстве до!1 доа доа дх1 да 11 справедливы вполне аналогичные результаты. Пример 3. Для уравнения теплопроводиости да дон д'а д111 — —.= — +. Ч+- -+ — 1 дхо дхт доо Вхо соотношение (8,3) принимает вид а,+ ...+а,,=-О. Согласно (12,3) отшода следует, что а',=1. Поэтому характеристическими поверхностями служат гпперплоскоста Х„= СОПЗ1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
