И. Петровский - Лекции (1120446), страница 6
Текст из файла (страница 6)
КЛАССИ««игГАЦИЯ УРАВННННИ [си 3АдАчА кош»г, твори»!А гсоввлквс!гои 35 3 а м е ч а н н е 1. Пусть имеетгя степенной ркд ср(«! ' ''з«с) ~Э ' »с»«" »ы с зс ' Зсл »гкс, ...» сходящийся при 1з, ) < с(, -» в, ..., ) з,„) < Н + в, где в > О— некоторое число. Пусть Мв — наибольшее значение модуля функции 9(в,, ..., з ), когда г,,..., г принимают действительные к комплексные значения, удовлетворяющие условиям )~,)-<с(„, ...,)з )<сс . Можно показать (гм. В, И. С и н р н о в, Курс высшей математпки, том П1, часть 2, стр. 83, 1'остехиздат, 1949), что функцпя М« будет мажорантой для функции ср (г„..., з»,).
Отсюда следуег, что функция М« *с-г ««.г "+ в с) где с(=ш(п (с(„..., ас ) такжо будет мажорантой дчя г,(з„..., з ). 8. Переходим тепорь к доказательству существования решения задачп Коши для системы (9,2) при начальных условиях (14,2); назовем ее «задача 1», а систему (9,2) будем яазывать «системой 1». Допуогггм, что мы как-то мажорировали «оэффвцпекты системы и начальные данные Коши.
Получим новую свстему н новусо задачу Коши (назовем нх соответственно «система 11», «задача 11»). Покажем, что аналптическоо решение «задачн 1Р» будет мал«орантой для аналитическогоо решения «задача 1». Если решение «задачи 1» представляется в окрестности начала степенным рядом (22,2) и '~~~с „сс) „!»«э вс х»« а решение «за;сачи 11» рядом сг, = ~ А)о«,„,»„г»«,с»с... я»~, (23,2) то кам ладо доказать неравенства между коэффнциентамп (24.2) Для случая й =- О зти неравенства вепосредственно вытекают нз того, что начальные данные «задачи 1Ь мзжориру!от начальные данные «задачи Ь.
Для случая й > 0 коэффициенты а„'««с, сче соответственно А~««)«с получаются при помощи ело»кения и умножения нз коэффгщ!сентов асг), соответглвекко А К), имеющих мекьпшй индекс Й„»! Значений в точке 0 коэффициентов системы 1, соответственно 11, и их производных, Поэтому легко убедиться, что если для л» < й справедливы неравенства (24,2), то они справедливы и для йв=-й, Значит, онп верны для всех коэффнпнентов разложений (22,2) н(23,2). Следовательно, из разрешимости «задачц 1?» (гходкмости ряда (23,2)) следует разрешимость «задачи 1» (сходкмость рада (22,2)). 11о «задача 11» может бытьпостроека с большой степенью произвола, так как мы можем эроязвольпо кыб!«рать мажоранты для коэффициентов и начальных данных «задачи 1».
Выберем !с задачу П» настолько простой, чтобы ее решение мо»!!но было просто найти, Для этого подсборемчпсгсаАХ > Оп а > 0 так, чтобы функция йб с — +«с+ ... + Исс ! пРи О < а < 1 была мажорантой для всех коэффициентов системы, кроме свободных членов, Для этих »ке последних выберем общую мггкораиту вида с»Г, „) с — +«,+...+.« 1 —" "«»сса Ллэ а *) Вовможэоггь выбора йт иеввиисимо ог сИ иам очень соаврсгрвф»), Ллэ хальнейэкто (сравииге с замечанием в косще иасгокжвгс ВАдАЧА кОши, теОРЕИА НОВАЛЕВской 37 36 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИИ [гз.
1 3! Зто можно сделать, так как мажоранта такого вида существует у каждого козффвщиента н для построения общей мажоранты надо числам ЛХ н Мв придать наибольшее, а числу а — наименьшее нз всех их значений, соответствуьощнх различным козффицвентам. Выбрав таким образом числа ЛХ, М, и а, нашвщем мажорпруюшую систему в виде аб»'= м ~'Е Хз"7 ' Х '+ 1 (252) — „та»+ 3 Ьа,ь 1-1 В=-Ь (в а где число а, 0 < а < 1, выберем позже, а т = —. М, М ' Пе фиксируя пока пачальпых данных, будем искать решение системы в виде (Гь (Г, Хв...., Ха) ~ Цв (г, Х„, ..., Х„) = ...
= — Ь', (Г, Хь,..., Ха) = = П (г, х„..., 1«) = бь ( — -[- х, -,'- ... + х.„) = П (з), гдо з= — +х, +... +х»г Подставив вреди ьлагасмое ре- щение в снстому (25,2), полу*шм, что фувкпия П (с) должка удовлетворять уравнению — — = А(с)1 Аьп —.+ ХП+ т ), 1»(Г»» ' »7»7 «»Ьь ' »(в М где А(з)= †. Зто уравнение с разделяющимися переа меннымн можно записать в виде »(»Г тл (в)»(в — = В (з) «[з. »"»» 1 — 17-[- 1 — — А»пл (») иь а Выберем теперь положительное число а настолько малым, чтобы в некоторой окрестности точки с = 0 было — — Д»11А (с) > О.
(27,2)) Тогда В(з) будет в атой окрестности аналитической фущ;- цией. Покажем, что частное решение уравнения (26,2) А~ — ') впь«в с 0»(х) = ' , — ьи дает нам Искомую маькоранту для решооня «задачи [в. Так как функции П, (г, х„...,х„) =-П вЂ” + х„+... +х«) удовлетворяют системе (25,2), мажорнруьощей нсходкуьо си- стему, то для доказательства етого утверждении достаточ- но убедиться, что П(з) при 1=0 разлагается в ряд по х„х„...,х„с положктельнымн козффгцконтамн, т, е. яв- ляется мажорантой тождественно~о куля (начальных дан- ных «задачи 1«). М Действительно, А (з) =- — есть функция с неотри- дательными козффициеятами разложения по с. Следова- тельно, »аа»( (в) В(з)=— 1 — аА(в) А»»ь = пьхА (з) [1+ аА»пА (з) + ав»твп«А« (г) +...
) тоже имеет неотрицательные коэффициенты разложения по степеням з. Отсюда С(Б) = — )) В (х) ь(з» ' (») — 1 а С (3)+, + ° °, [7 (3) таньке обладают зтим свойством. Позтому я козффициенты Разложения П (хь+ х., +... + х„) по степеням х„х„... ., х„также пеотрвщательвы, т. е. Сг(0, х„хв, ..., х„) действительно является мажораптой нуля. Значит, функ- пни У„(г, х„ ..., х,).= П( — + х, + ... + х„) являются Решением некоторой «задачи Пв.
Аналитичность этого Решения вытекает нз того, что П(г), как показано выше, Разлагается В ряд по степеням з и, следователыю, в ряд го стевоввл«г, хв, ..., хаг А отгвода, как было Указано выше, следует гходимость степенных рядов (22,2), пред- ставляющих решение исходной задачи. зз ВВЗДВННЗ. КЛАССПаЭНКАЦИЯ иГАВНВНИП ОВОВЩВНИН ЗАДАа1П БОШИ 131 Этим доказательство теоремы Ковалевской для линейных систем заканчивается.
Замечая ие 2. 11з доказательства теоремы видно, что ряды, дагощне решение задачи Коши для системы (9,2), сходятся во всяком случае в той области, в которой сходятся ряды, дающие решение мажорирующей задачи, Отшода следует, что решение первоначальной задачи Коши для системы (9,2) и начальных функций 91, пс обязательно равных нулю, существует во всяком случае в некоторой области ~ — „~<д ! !<д,,)х„)<д, д>О, если коэффициенты системы (9,2) н начальные функции были голоморфны в области !З! <)1, !хг)<Л (1'=1, 2, ..., и, у1 > 0). При этом о н х зависят только от В и от числа М, но онн никак не зависят от зяачеипн начальных функций ог и свободных члонов уравнений, так Бак ни х, иа та область измевевия з, где выполняется (27,2), не зависят от этих значений. За,чача.
Докажите теорему Ковалевской для квазнлинейной системы уравнений первого порши;а. 4 3. Обобщение задачи Кошн. Понятие о характеристике 1. Обобщение задачи Коши. Задается система 11' уравнений с Л1 вензвестнымп функциями и„иг,...,ии д" иа. аа хс~ х1 х~ и1 ии дхггдгга дхь ) 0 (1', 1'=1, 2, ..., 11'). (1,3) Для каждой функции иг существуег свой наивысший порядок лг частных производных этой функции по независимым переменным хс, х„..., х„, входящим в систему (1,3). В рассматриваемой области точек (х, х„..., х„) задается достаточно гладкая л-мерная поверхность Л и в каждой точке поверхности некоторая линяя 1, не касательная к о н достаточно гладко изменяющаяся при движении вдоль О, например нормаль к поверхности. На этой поверхности задшотся все функции и, и пх произ- водные по направленнго линии 1 до порядка лг — 1.
Эти условия на поверхности 5' являются обоб1цением условий 1(оши (начальвых данных), рассмотренных в предьгдущем параграфе. Требуется найти решение и„и„..., ии си- стемы (1,3) в некоторой окрестности поверхности 5, кото- рое удовлетворяло бы заданным на Я условиям. 2. Попытаемся свести эту задачу к задаче Ноши, сфор- мулированной в предыдущем параграфе, Для простоты Ограничимся сначала рассмотрением вместо системы (1,3) следующей линейной системы: ,.аа . дхо дх1 д г" 11г 11 ... +11(тг, х„..., х„)=0 (2,3) (1, 1'=1, 2, ..., Ж), й(ы выписали здесь только члены со старшими производ- ными от неизвестных функций.
В окрестности поверхности О введем новые криволи- пейвые координаты г„, $„..., („таким образом, чтобы УРаВНЕВИЕ ПОВЕРХНОСтн О ПРИНЯЛО ВНД 1г=0, а ЛИНИИ 1 совпали с координатными линиями га = со гг = сг ° ° а "*а = сг. Для этого уточним предпологкения о гладшгсти поверх- ности О н ливий 1. Предположим, что на поверхности можно ввести пара мех)1ы $„...,,1„: ч г хг =- хг (Е„..., („), 1 (3,3) хг = х, (1„..., 1„), ..., х„—.— х„(г„,..., ."„) так, что ранг функциональной матрицы — (;=0,1, ...,; 3-1,2...,, ) Равен я в каждой точке О к правые части в (3,3) — до- статочно гладкие функции.
Пусть линни 1 задаются параметрическими уравнениями Хг=-~д.(1 1: .- 1г) (4,3) ВВВДВЯош, КЛАССИООИКАЦИЯ УРАВИВИИП (гл, д "~ о ~~~~ ~~-~ о д=.о део ' ' ' доо Аг'о аХ, д3'„ — д-.--, " (3,3) 'отлпчеи от нуля в некоторой окрестности поверхности о, Па иоворхя~чти 5', т. о. прв .-„=О доо "=о доо а о д, дк„ , д=о а~о ' ' ' до~ де„ дх, дзо дго дзоо дсо Последние я строк опредолителя (6,3) линейно неза- висимы, таь как, по цредполонгению, ранг фуикциовальва*,в .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
