И. Петровский - Лекции (1120446), страница 8
Текст из файла (страница 8)
П р и м е р 4. Для уравнения да да ") а + 1( " ' ' ' ' ' ") д ~хо соотношение (8,3) принимает вид а, (тт...,, х„') а + а (х„..., х,) аз+... ... + а,„(х„., х„) а„= О. Поэтому все гпперплоскости1 проходящие через точку (х,, ..., хо) и через выходящий из этой точки вектор С КОМПОНЕНтаМИ (ао, ..., ао), ИМЕ!От Взтай ТОЧКЕ ХараКтЕ- рнстнческое направление. Пример 5.
Для системы уравнений с двумя независнмыми пораненными в 1! о Х1 1 ! (1 1,2, ...,и) соотношение (8,3) принимает вид !а,ао,(х„хо)+аоЬО(х1, х,)!=О. Характеристическими линн ямн будут линии, вдоль которых дхо дт дт дх1' ' ' дх, 'дх„' — '-', т, е. — —: —,равняется какому-нибудькорвюйуравнепия ! Ьа (х т )+6 (хы х )! О. Мы считаем здесь, что а (х„х,) =. сопзс. есть уравнение характеристической линии. Задача. Покажите, что при гладком певырожденном преобразовании координат характеристическая поверхность системы (2,3) переходит в характернстнческу!о поверхность преобразованной системы, т, е, характеристики инвариантны относительно невырожденного дрсобразовання коердпнат, 4.
Для нелинейных систем вида д и! Ф ~хо,...,х~; и1, ° °,ик, ° °, . 1, 1, =0 0 дхооода,', дх„' ' У (13,3) (! !' = 1 ° ° 1!! ' й = Ко + о! + ° + "о - ", ) характеристическим уравнением называется уравнение дФ; 'Ч а„"о .. л." =О, ~дхоо дх11...дхоо1 О 1 ° о Поверхность 11(х„,, х„) ==0 (15,3) называется характеристической для системы (13,3) и данного Ре1иенил и„и, ..., ин этой системы, если на этой поверхности при рассматриваемых функциях и„, ию, ин имеет место следу!ощее тождество: дФ1 ~дт )Ао ~ дт )Ао! 0 о о 48 ввндвнив. кльссиоикация твхвнвнип Аналогично опроделялотся херакплериепличееяие непраеас- пил для системы (13,3) в даиноы точке пространства (хе, ..., х„) для даы>лот решения и„и„..., ин.
В слу- чае нелинейных систем имеет смысл говорить о характе- рвстпческом направлении плоскости ~ал(хл — хл) =О в данной точке только для определенноео релиенил и,, иго ..., ин системы (13,3), так как коэффициенты уравнения (14,3) зависят в этом случае, вообще говоря, от функций и, и их п]юизводных до порядка и, Аналогично тому, как это мы делали в предыдущем пункте, можно показать следу>оп>ее. Пусть ва некоторой аналптнчсской поверхности заданы условия Коши, ьак это было сделано в предыдущем пункте, и предполагает- ся, что все раесматрил>аемые там функции аналиты >ны. Так как рассматриваемая система теперь ве предполагает- ея линейной, то по;ле перехода и координатам 1ю 1„...
..., (и, как это было сделано в предыдущем пункте, мы д"' и; получим для — ' пел>>не>дну>о систему уравнении: ооод1е ' значим ое через В. Эта система имеет, вообще говоря, д" чн не одно решение относительно —,', (= 1, 2, ..., У, рас— ",> ю эе сматрпваомых как функции от независимых переменных дли> й '~,~ й и е ' ''> "и (>'=-1, 2,, А>). Допустим, что вблизи гиперповерхности (е=О н заданных на ней значений и,, и их производных ди ли мы выбрали для — '(л = 1, 2, ..., )е') одну кануло-нибудь дэю спетому аналитических функций от 1„, ..., 1„...,, и„... д"и> й ту> я " „ле, дл» вЂ”.мг удовлетворяющуло уравнениям Е. Танин образом мы опрсдп, делим значения — — ' на поверхности Я по заданным на д1и" ыей начальным у-словням обобщенной задачп Коши, Воз- вращаясь тогда к координатам х„,..., х„, мы получим 1 4) о вднистввпности гвшвплля задачи коши на поверхности Ю значения всех функций и,.
и всех нх производных по тв,..., хи до порядка и,. Подставляя нх вместо и; и производных и; в уравнение (14;3), мы получим вполне определенное уравнение для а, а, ... а,. е .. а.. Следовательно, мы смщкем таким образом определить характеристические направления в на>идой точке (х, х в ..., х„) поверхности о, Допустим, что поверхность Ю нигде не имеет характеристических направлевкй, Тогда можно доказать, что так поставленная обобщенная задача Коши для системы (13,3) имеет единственное аналитическое решение пря сделанном выборе на о'значеыий — „,', дюи я даве~ 4 4.
О единственности решения задачи Коши в области нсавалнтпческих функций 1. Из теоремы Ковалевской следуют существование и единственность решения задачи Коши в классо апалитическвх функций, еслв аналитические условия Коши задаютсн па аналитической поверхностп Ю, тггде не имеющей характеристического направления.
Из построений, приведенных в 44 2 и 3, следует, что осли все функции, входящие в данные уравнения и в начальные условия, врпннмают действительные значения ири действительных значениях аргументов, то и решеныя задачи Коши действительны. Возникает вопрос: пет ли в этом случае других решений задачи Коши, кроме аналитического решения Ковалевской? Ведь для того чтобы система функций (и„,..., ин) была решением задачи Коши в действительной области, нет надоб.ности требовать„чтобы зсе функции ие были аналитическими. Для этого вполне достаточно, чтобы онн имели производные тех порядков, какие входят в рассматриваемые уравнелшя. Несмотря на усилия многих выдалощихсл математиков, этот вопрос до епх пор ие решен полностью.
м Еще в 1901 г. Гольмгрен доказал единственность решения задачи Коши с начальными условиями (10,3) для линейных систем уравнений вида (9,3) с аналитическими коэффлщиентамн в классе функций, имеющих непрерывные производные всех тех порядков, которые входят в рассматриваемую систему. к. г, ыетеоисизе 5О ВВБДХНИН. 1'ЛАССИФИКАЦИЯ УРАРНИНПЙ !Гл ! Приведем доказательство этой теоремы. Для простоты изложения будем предполагать, что число независимых переменных равно двум, хотя то же доказательство по существу применимо при любом числе пезаниснмых переменных. Предпологкнм также, что рассматряваеман система — перзого порядка, Согласно сказанному и 5 2 общий случай приводится к этому.
Обозначим независимые переменные через х и у и предполщкпм сначала, что задача Коши стазится для отрезка прямой х = О, содержащего начало координат. Итак, пусть дана система ураэн<нпй и и — '=- У, А<,(х, у)-:-'+ У, В<,(х, у)з, +С,, (х, у) (1,4) дх ! г ! (<;=-1, 2, ..., и) и иачальныо условия -; (О, у) = ".< (гг> (2,4) А гэ В,.„С, — аналитические функции своих аргументов в йекотоорой окрестности начала координат. Пусть далео вблизи начала координат даны два рещеапя системы (1,4), удовлетворяющие одним п тем же начальным условиям (2,4) и состоящие нз функции з„..., зи (первое решение) н:„..., зи (Второе решение), обладающих непрерывнымп частными пропзводнымп перзого порядка. Надо доказать, что этн решення соппадают л некоторой окрестности начала координат.
Положим г! — з, = и! (! = 1, 2, ..., я). Тогда все и< янля!отея вблизи О непрерывно днфференцпруемымн функциями, удовлетворя<ощпмн уразнениям и — '= г<А,.(х,у)-"!+ г'В (х,у)и; (<=1,2,...,л) дх г=.! г' ! и начальным условиям и,. (О, у) = 0 (! = 1, 2, ..., л). 1 4! о кдинстВВннооти Ркшкния зАдАчи ко!Ин ! 5! Докажем, что все и,—: — 0 вблизи точки О(0 (у В „, дем вместо х новую независимую переменную т,=-х+ ггз †' = У, а,(х, у) †:~ <=1 3 т + Х Ь„(х у)п; (4,4> (<=1, 2, „и), Х (Возможность разрешения системы (3,4) относитег<ьно указанных производных следует нз необращення э пуль определителя системы вблизи начала координат О плоскости (х, у); проэерьте!) Коэффнплснты ао н 61, аналктпчны вблизи точки О.
Функциг б зн О неп е ункцин и! в лина па абеле гз = рерывно дифференцируемы и обращаются в 1 р у = х. Мы докаж< и, что все и! =0 вблизи О нуль и!ги х > г ", ч' , > г, Тем самым будет показано, что все и<=0 Вблизи О и н р х>0. Случаи ЗТ<0 сводится к случаю х ) 0 заменой х на — х. П ове,ем роведем црямуго х=а (а > О; рнс. 1) н обознач уазой В , область, ограннчопиуго отрезком 1 этой пряначим и частью й , параболы у- =-т.. Если а достаточно "и 4и и положим и;(х, у) = и (х, у) =-и.(х †, гу) (!' 1, 2 ...
л). Тогда функпин и! будут удовлетворять системс ураянений и и "' — 2у '~г' А .( — г<г Ц вЂ” "'-(- '~~ А, (х — у' ~) — "г-(- +~В (, у,у>, (2,4) г=-! илп, после разрешения относительно произзодных по х и азечсняя новых обозначений ! К $2 ВВНДВННВ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВННННЙ (гл, 1 1 4) о вдинстввнностн Рвшвння зАДАчи кОши 63 мало, то все функции п! непрерывны вместе с нх частными производными первого порядка зилоть до границы Н, (мы говорим, что функция, заданная на области Н, непрерывна вплоть до границы Н* этой области, если эту функцию можно продолжить на Н' так, что полученная функция будет непрерывной на Н+ Н"). Обозначим для краткости ди; Р! (и) =— д ' — ~к'.~ ан д — ~„6!!и, ;=! ' -1 (1=1,2, ..., и), 1-1 1 1 !) ~ ~ ~~ [с!Г! (С) + И,.С! (с)) ~ !1х!(у =- Н„1 =- ~ ~ ~ ~ ~ — """' — ~""н" "'1~ Ьаунп й й Я = ~ ~~" ир! Ыу+ ~ ~~>' ир! !1у+ ~ '~~~ ~~~~~ анир! !(л, (5,4) ! 1=! к, к„! ! т-! где контур Н, (т.
е. К,+1,) проходится в положительном направленлн. Если, в частности, и! есть определенная выше система решений уравнений (4,4), а система функций с„..., о„удовлетворяет уравнениям (6,4) !7!(с)=О (! 1> °, л) то нз (5,4) получится: ~ ч!' ир! су = О. !д ! 1 (7,4) Пусть на Н, заданы две системы функций и! и с1, непре- рывных вплоть до границы Н, вместе с ях первыми ча- стнымн производными. Тогда интегрирование по частям дает: Для дальнейшего обратимся к доказательству теоремы Ковалевской для системы линейных уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
