И. Петровский - Лекции (1120446), страница 11
Текст из файла (страница 11)
64 ВВВДВННН. КЛАССНФИКАПНЯ РРАВНИНГГИ (ГЛ. 4 нигде в рассматриваемой области не обращается в нуль, Тогда систему (2,6) можно однозначно разрешить относительно х и у в некоторой области на плоскости (е, т). Полученные функции х(с, ~) н у(е, л) будут тамное дважды непрерывно днфферепцируемыми функцнпмн от с и гР. В новых независнмых переменных е и т, уравнение (г,б) запишется так: деи Г д$ дл д( дз д( дэ дс дз д;дз ) дх ых дх дд дд дг 'дэ дд + и"г ( е, гп и, —,", — ' ) = О. (З,ГР) Покажем, что в некоторой окрестности С фиксированной точки (хг„ро) функции е(х, р), тг(х, р) можно выбрать таквм образом, чтобы уравнение (3,6) в каждой точке этой окрестности имело канонический внд. Нам придется отдельно исследовать случаи, когда в рассматриваемой точке Ве > АС, Ве < АС или в некоторой окрестности атой точки ВоьнАС.
Случаев, когда в гпооой окрестности рассматриваемой точки вырангение В"- АС меняет знак нлн обращается в нуль не тождественно, мы не будем рассматривать. 2. Рассмотрим сначала случай, когда во всей рассматриваемой области .В" > АС, т, с. когда уравнение (4,6) гнпербоангчно (ср. определение гггперболичностн в предыдущем параграфе). йхы можем считать, что в точке (х, у,), в окрестности которой мы будем приводить уравнение (1,6) к каноническому виду, либо А О, либо С -'- О.
В противном случае мы могли бы достигнуть этого заменой переменных х=х +гр р рх Х вЂ” р Рассмотрим уравнение э) пгинндиннв к гелнонич. энду н окгнст!г. тоеггсгг бб Пусть А О. Так ьак Ве — АС Гэ О, то уравнение (4,6) можно записать в виде ~Адт — ( —  — ) Р4~А —. — ( — В+) Во — 4С) ' г — О гэт .. " дт 1 <'Р.. ду г и поэтому уравнению (4,6) удонлетворяют решения каждого из уравнений (5,6) А — ",=( — В+3/Ь: — АС) дге, ~ дх до Определим функггггггр„.
(х, р) (г' = 1, 2,) как решения уравнений (5,6), задавая пх значения, соответственно, на некоторых лпипях )г, (г =- 4, 2), проходящих через точку (х„, уо) н нпг де не касагогцнхся ха акг еристпк соответствующего уравнении *). Еслгг линии (г н заданные на ннх значения функций хг выбрать достаточно гладкими, то мы получим решения 4г,.
(в, р) (г = т, 2), имеющие непрерывные производные по х и у до второго порядка включительно. Кслгг предположить еще, что начальные зпачонгнг о,(х, у) на выбраны так, что про?вводная гог по направлению (г не ооращается в нуль в точке (х, р,), то в атой точке не могут быть равными нулю одновременно оое частные производные функции хг(х, р) по х и у (в противном случае равнялась бы ггуггггг производная в этой точке по лгобому направлещпо). Так как 4 ~ О„то пз урапкекнй (5,6) следует, что дтг дтг прн атом —, Р О и —.- че О п окрестности точк~ (и, у ) ди д~г .о о.
е) Ом. 4 ЬЗ моггх еЛеиггий по г.сорви обыкновенных двффгренииольиьгх урввнеггггйе, ггэд. 1052 г. Обрвщак1 выимвпио иэ тс, что в свучое двух независимых переменных то определение характеристик, которое мы васви в 4 3 иаетсищей книги, совполэет с опрслелевггем харгитерггегггк, дэипым в «е 53 моих «Лгипнм по тесргиг сбыкнсвенпмх даффереипиальвых уровпенийе. В случае жс больщэго числа псэввггсимых переменных этн определения есвермеггнс различны. К. Г. Пеореоеивн и что —  — 1 о» вЂ” АС дты .
»Т» аи" ау д*' а,у ч — Уя -Ан д»1 дя ау ди» дт» ох оу (6.6) приводится к виду ([[,6) д»и [ ди — — — (сы О) а;аз Вс аЧ после замены ди — =о дч св ВВВДВНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНВНИЙ [гн. [ В силу условия В» — АС»и О имеем: дт, дт, , дт» дт» ои ' оу ох ' ау ОТС1ода следует, что якобиан отличен от нуля в некоторой окрестности 6 точки (х, у„). Поэтому в втой окрестности мы можем принять в равенствах (2,6) С =- ((т, У) = 91(и, У), (7,6) г[=»[(х, у) у,(х, у).
Тогда в левой части (3,6) исчезнут члены, содержа- а»и д»и д»и щие — ' н —.. г(озффнциент прн — будет прн этом о»» ач» о оч ожличкил от нуля во всей рассматриваемой области 6; в противном случае прн переходе от координат (я, у) к координатам ($, »[) порядок уравнения понизился бы, следовательно, при обратном переходе от координат ($, ч) к координатам (я, у) поргдок уравнения в некоторой точке области повысился бы„чего, очевидно, быть не можит, д»и Разделив ыа коэффициент прн —, уравнение (3,6), ос дз мы приведем его к виду д"и ди ди' (8,6) в окрестности 6 точки (х„у„). Этот вид уравнения также называется каноническим.
ПРИВВДИНИВ К КАНОНИЧ. ВИДУ В ОКРВСТН. ТОЧКИ Положив с=а+у и Н1иии — р, приведем уравнение (8,6) к виду д'и д»и ди ди " (9.6) да» ду» " ' ' д» ' оу.> После приведения гиперболического уравнения и каноническому виду (8,6) иногда удается проинтегрировать его в замкнутом виде, т.
е. навти формулу, аа1ошу1о жс решения этого уравнения. П р н и е р 1. Уравнение д»и оии —,„, — —. =О '10,6' д»» ду» / заменой независыиь1х переменных с+ч . з — ч х= —, 'у=- —,, 2 ' 2 ди дс Обозначив — через 18 получим — = О, откуда о =- «(В), дч где «-произвольная функция»[. Рассматривая в урав- нении д, =«([) ди с как параметр н интегрируя зто уравнение, получим: и.= 1 «(»)и»1+С(с) или и = с ([) + ф (»[) = Ф (х + у) + ф (я - у), ( [2 6) где 'Р и ф — произвольные двая:ды непрерывно дифференцируемые Функции.
П р н и е р 2. Уравнение зввдвн2ие. НласснФи2сьция угзвнвний ,(гз. ! обращается в уравнение дс. дз Д Это уравнение легко интегрируется методом разделения переменных. Так как т, входит в о в качестве параметра, то постоянная интеграции будет функцией этого параметра. Получим: 1п) ь!= — —, 1в)1) +1в)С(тс)! Отссода С,(ч) 1/!%+С,(1). Здесь С, (ч)= 1 СЯСЬ, есть произвольная (в силу произвольности С(ч)) днфференцируемая функция от с„а С (1) есть произвольная функция от 1. 3, Кс;щ В' = АС во всей рассматриваемой области, то уравнение (1сб) будет иараоолическим в этой области (ср, определенно параболичяостн в предыдущем параграфе), Мы предполагаем, что в рассматриваемой области коэффнцпенты А, В, С уравнения (1,6) не обращазотся одновременно в нуль.
П силу условна Вз= АС из этого предположения следует, что в каждой точке этой области один из коэффициентов А н С отличен от нуля. Пусть, например, А Ф О в рассматриваемой точке (и„у ). Тогда оба уравнения (5,6) совпадают и обращасотся в уравнение 4д + — =О, с2т, дт (14,6) Всякое решение уравнения (14,6) в силу условия Вт ° АС пгивьдвнин к каноник. зндх в о!се!;отк, точки удовлетворяет также уравнению  — + С вЂ”.=-О. дт дт дт дх (15,6) Мы можем, как и в предыдущем пункте, определить такое решение сз(х, у) уравнения ('14,6), что функция в(х, у) имеет непрерывные производные второго порядка и ее первые производные не обращаются в нуль одновременно в некоторой окрестности С точки (х„, у„).
Мы можем считать, что Л;~ 0 во всей области С. Пусть й(в, у) = сова!. ть такое семевсгво кривых в обчастн О что функция (с(х, у) имеет непрерывные производные второго порядка и якобяая сдт ! (16,6) дй нигде в области О ие обращается в нуль. Так как на П А ФО и, следовательно, — ФО, то можно лрнннть дт ф (в, 2/) — т. Положим в формулах (2,6) '=-.с!2(с у) и =Ф(" у). дзн Тогда коэффициент при —.—. в уравнении (3,6) образ-г двк щается в нуль.
Коэффициент прп —. станет равным дз ду! Согласно (14,6) и (!5,6) ои такжо будет тождественно Равен нулю в области 6. до Поэффициент при —, в уравнения (3,6) примет вяд дз'- Это выражение не может обратптьса в нуль, так как в пРотиввом слУчае в силУ (44,6) Якобиан (16сб) обРа. '1 ВВВДВНИБ. КЛАСЕИС»ИКАНИЯ УРАВНВНИИ (гл, ! В облает С у 1 П можно разделить на этот коэффициент. После этого получим: д»и ~'. ди аич (17,6) Уравнение (17,6) имеет наконнческня внд в области Сч как он был определен н у 5.
Если уравнение (1,6) было линейным, то уравнение 17,6) также будет линейным. Пусть оно имеет вид дзи ди сзи а» = »ддт + »д + »и+ 7)1. (18,6) Можно ещй несколько упростить это уравнение, введя вместо и новую неизвестну»о фуннцщо з. Положим и= зо, ГДЕ В(1, 1)) — фУНКЦНН От 1 и -и КОтоРУЮ МЫ НнжЕ ОПРЕ- делим.
Тогда уравнение (16,6) заменится уравнением а з, а.наз аэ дэ О ас»+ а ач А1~ дс ! ~1» д +С» + ~1' ( 6>6) Мы здесь вынисалн подробно только члены, содержащие производные от з, шслючнв все члены, содер1касцпе самую функцию з, вС»з. Выберем функцшо е(», з)) так, чтобы в уравнении (16,6) исчезла производная —.:-. Првравияв дз дч ' аз нулю коэффициент прк —, получим: дч д + з + (20,6) где С,=---, .0 = — ', с с' з с у В(»л)аэ ! ),' О(», л)=-е 4. Рассмотрим, наконец, случай, когда всюду в рассматриваемой области АС > В' Тогда уравнение (1,6) будет в этой области эллиптическим (ср. определение зллиптнчности в у 5), В этом случае бе! ь! ЦРИВБДИНИВ К КАНОНИЧ.
ВИДУ В ОКРВСТИ. ТОЧКИ инм придетея предполонсить, что все коэффициенты 4, В и С суть аналитические функции от х и у. Тогда коэффициенты уравнений (5,6) — также аналитические функции от х и у. Пусть 1у(х, у) = кн(х, у)+ »ус*(х, у) будет аналитическим решением первого н, уравнени»й (5,6) н окрестности точки (х, ус)*) и пусль ) —,)+) — „,' ~ ~ 0 в этой окрестности. Положим в равенствах (2,6) 1=.
Тв(х, у) н 1) = уэ*(х, у). (21,6) Уравнения (21,6) можно разрешить относительно х и у, так кан нкобиан ас дс' (22,6) дл ал дх ди нигде не обращается в нуль. В самом деле, разделяя в уравнении (5,6) действительную я мннму»о часта, по- ЛУЧВМ: А' — ',=  — '+ 1'АС вЂ” й(за,—, д» дэ Подставляя полученные отсюда выражения для — и н якобиаи (22,6)„получим: У'м.— нз ~ ° дс.,з ачУ1 Отсюда видно, что этот определитоль может равняться *) В некоторой сире»скостя л»сбой точка (и», у») рассмэтрнввэмой области можно найти энэлнтпческос рсшсппс т(х, у) урннат ат ясная (5,6), у которого н этой окрест»кмтн = н — необрэшжстся дк ду одновременно и пуль, Эти можно сделать, няпрнмср, по тсср»не Ковалев ьой, задавая прн к =з» знэчсння т(з: у) тэк, чтоб»1 Ри(к» у»)»и О. Мм предположим, что т(ж у) ость таков )зешенкс, 72 ивгдинив.
тсттассначтттаЦНН знязяинкл (с;т ! кулю тОлькО и тех точках, где сд 6 дтт дд следовательно, в силу уравнений (23,6), где — ' = 0 я -,-'=- О, дх дт А таких точек с рассматриваемой области нет, так как в ннх мы имели бы д;т —.= —. =о. дт ди Разделття в тоясдестве А ( — ) + 2 — — + С ( —. ) = О ду'тз дуду»ду,з ( дх,) дхдв ' (,дд ) деиствнтельные н мнимые части, получим: т дх, дхдд .дд/ дт дт, т" тц дт, д= дт,'т,д"= дт~ д ( . + дхдй . Ох де дддх,) ' ттзду В силу определенности формы Ааз+28Т6 т Сви (Вт — АС < О), правая и левая часыт равенства (24,6) могут обратиться в нуль только в том случае, если д3 дз дт дп -"- = — = — ' — -- — =- т). (26,6) дх дд дх У!т Но мы выбрали функцию у(х, у) таким образом, что равенства (26,6) не выполняютси одновременно, Таким образом, в уравнении (3,6) иозффициенты прн —,",, и — "„ дте д»т совпадают и не равны нулю; поэтому уравнение (3,6) приводится к виду: дттт дти,т' ди дтт~т д-Ви+ д =.гт ' ' Л *' ° ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
