И. Петровский - Лекции (1120446), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1 В одномерном случае (колебание струны, колебание газа в трубке) соответствующая функция ?! удовлетворяет уравнению дзи д?и (!9,1) Зто уравнение называется уравнением колебания струим. Здесь Р(х) — линейная плотность в точке х, а Т вЂ” натяжение струны. Начальные и краевые условия для уравнений (18,1) н (19,1) вполне аналогичны соответствующим условиям для уравнения (15,1). Отметим еше раз, что уравнения (15,1), (18,1), (19,1) получаются только, еслн пренебречь величинами ( — ) ди! ' ди цо сравненшо с ( — ) . Кслн не сделать этого (не преддх, полагать малости колебаний), то уравнения движения соответствующих упругих тел будут гораздо более сложными, нелинейнымн уравнениями.
Замечание 1, Если рассматривать ? тоже как пространственную координату, то функция и (?, х„х,), описывающая колебания мембраны, будет опредечяться в цилиндре 4 с образу?ошнмн, параллельными осн Ог и проходяшнми через границу области 6, над которой находится мембрана. Рассмотрен??ая выше задача состояла в определении значе?л?й этой функции внутри цилиндра по векоторым условиям на боковой поверхности цилиндра ?( и по значениям и(гм х„х,) и и,'(ею х„х,), когда точка (х„хз)96 находится на основании цилиндра. При такой трактовке этой задачи начальные условия нрп г = ? нельзя уже противопоставлять граничным условиям.
И те и другие становятся краевыми условиями, заданными на границе цилиндра П. Замечание 2, Когда мы рассматригали уравнение теплопронодности нли уравнение колебаний в изотропной среде, в зтн уравнения входили выражения д?и дзи д?и дш деи Так бывает всегда в линейных уравнениях второго порядка, написанных для однородной изотропной среды двух или трех измерений, потому что выражения (20,1), 1 2! зАНАчА коши. теоРемА коВАлеВскюи 23 называемые операторами Лапласа, примененными к функя?? и, илн престо лаяласнанамн, суть единственные, с точностью до постоянного мноя?нтеля, линейные комбинации вторых частных производных от и, которые остаются инвариантными прн л?обои ортогональном пресбразованнн, т.
е, прн повороте ортогональных координатных осей в двумерном илн в трехмерном простракстве. Е 2, Задача Коши. Теорема Ковалевской 1. Постановка задачи Коши. Пусть дана следующая система уравнений с частными производными ОтнеевтЕЛЬНО НЕНЗВЕСТ!?ЫХ ФУНКЦИИ и?, ию °, НА, НО НЕ" зависимым переменным ?, х„х,, х„: (1,2) (?, )= 1,2,., Ж; й, !-й, ~-., зей,=й<я.; й < Как видно из написанных уравнеяий, здесь для каждой из неязвесткых функций и, существует свой наивысший порядок и! производных от этой функции, входящих в рассматриваемую систему. Независимое переменное ? играет особу?о роль среди прочих независимых перемен.
ных, так как, во-первых, среди производных наивысшего порядка л! от каждой функцш! и?, входящих в данную д !и; систему, должна содержаться производная — „', н, во-втсд! ' Рых, система разрешена относительно этих производных. Обы*шо в фнзическнх задачах роль ? играет время, а е?, х„, х„— пространственные коордннаты. Число уравнений равно числу неизвестных функций Прн некотором зяа ?еннк ? =- ?, задаются значення ??начальные звзчоняяз) непзвествых функций и! и нх производных по ? до порядка л, — 1. Пусть ирн ?.= ?е д"и! д,ь = г',"?(х„ хз, ..., х„) (й = О, 1, 2, ..., и! — 1), (2,2) ВВВДВНИВ. КЛАССИагИКАПИЯ ГРАВНВНПИ (Га 1 зАдАчА когпи.
твогвмА ксВАлввскои 25 Все функции рСД> (х.„хго ..., х,г) заданы на одной и той яге областное пространства (х„х„..., х„), Производной нуле- вого порядка от функции и,, мы считаем саму фуякцшо иг Задача Л"оши состоит в том, чтобы найти регивнив сисягемы (1,2), удовлетворлюгггес иргг С = С кача гьным уса овичм (2, 2). Решение ищется в некоторой области г пространства Й, х„..., х„), прилегающей к области 6с на плоскости =с„, где заданы условия (2,2). Частным случаем задачи Коши является задача об опре- делении колебаний неограниченной однородной мембраны по начальным условиям, упомянутая в предыдущем пара- графе: определить решение уравнения д'и дчгг д"и дм дхг гдх1 если при г = св заданы и(гю х,г х,) =-гдвг(х„хз) (начальное отклонение), и,(г„х„х ) =дСгг(сг.„хз) (качальнаи скорость).
Если У=1, и,= — 1, п=-О, сформулированная прежде задача Коши обращается в следугощую задачу: найти такое решение и (с) обыкновенного дифференциального уравнения ди — =р(с, и), вг чтобы и(г„) =-ио. Эта задача подробно изучается в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 2. Фувггция Р(з„з„..., зч,) от т комплексных ле1ю- мснкых называется аналитической в окрестности точки з"„ зчг, ..., з',„ если ова разлагается в степенной ряд р (з,, ",, ..., з ) =- = Х А„„,, „и(.,—.",)"(,—..;)'-... (..-З.)"г Ьгзг,.
Ьгч сходящийся ири достаточно малых (з, — зг(. легко дока- зать, что при этом р (з„з..., згч) вмеет в точке з'„з,', ..., з,'„производные. всех порядков и г'дзгч~гч'"+~ггггтгг Ьггггг~ ° . Ам1 ~,дг" гдгкв... дз~~,) 3 ' '' гггг гг-г),...,гч-гч Кусть ргю(х„х„..., х„) — начальные данные задачи Кг,гпи для системы (1,2) (см. формулу (2г2)). Введем сокра,цен~ые обозначения для производных этих функций в неЬОтОРОй ТОЧКЕ (Хг, ХВ, ° ° °, Хч): с дк-гн гчм г а Чг- г ." гзг"- ч (г =- 1, 2,..., ~'; йв+ )сг,-... + йч = й ~~ л,), Имеет место следугошая фундаментальная Теорема Ковалевской.
йсли всв фднкиии Рг аналшяичны в некоторой окрсспгности точки (С, х', о ..., х„, ..., гвгч ь,,з„.„,го„...) и все функции жг"> аналитичны в окрестносиги игочки (х'„х'„..., х'„), то задача згоиги имеет анатииичвское рсгивнив в некоторой окрсстносггш гиочки (ГО хг хг хч) и ирггнгом единственное в классе аналитя геских функг1ггй. 3. Доказательство теоремы Ковалевской мы дадим для произвольных ливейвых систем.
Задача Коши для таких систем легко сводится к задаче Коши для линейных систем первого порядка с помощью приема, который мы, для простоты изложения, проиллгострируем ка примере одногм уравнения второго порядка дги чч дги г = ЛЛ ап(Г '» Х ' Хч) д„,+ Сг 1 1 дзи + ~,ач,(с,хг, „х)д„„, + г-1 + 'Я Ь, (С, Х„..., Х„) —."," + Ьч (С, Х„..., З„) д,— и д:11 г-1 -~ с(с, х,, ..., хч) и+ ((д х„, ..., хч), (3,2) где аи —— - а,„д„с, у — аналитические функции своих аргументов в окрестггостгг точки (81", х,', ..., х'„').
влача Коши для зтогс ураввенггя состоггт в вахотдекии Решения, удовлетворяющего следующим начальнь1м 26 ВВВДВНИВ. КЛАССИЕИКАЦНЯ КРАВННИИй (гл. 1 ! 21 3АдАчА коши. Тковвма коВАлквскои 27 условиям: и(Г», х! х,) =те(х ° ° х ) и! (Г„х„..., х„) = р, (х„..., х„), где !р и р! — аналитические фуякцнн в окрестности точки (х'„х„..., х,',). Без ограничения общности можно считать, что так как случай произвольных Г", х'„..., х„' сводится к етому заменой незавпсимых переменных, которая не меняет вкд уравнения, Если функция и (Г, х„..., х„) удовлетворяет уравнению (3,2) и начальным условиям (ч,2), то очевидно, что функции и, дхь удовлетворяют уравнениям — а„ д ' + ~„ Яо,. †' + У; й,.и! . — Ьеие + еи + Г, (5,2) *Г Г,Г=! ! ! ! 1 — — (й = 2, 2, ..., и), (5,2) дяь ~и (5,2)» и начальным условиям и(О, х„..., х„) =фе(х„..., хн), (6,2) и„(О, хы..., х„)=~р,(х„..., х„), (6,2)' и (О х х) дт" (х"'''г") (62) (й=1, ..., и), Докажем обратное утверждение! если функции и, и, и„..., ия удовлетворяют уравнениям (5,2), (5,2)', (5,2)" в некоторой области С пространства (Г, х, хх,..., хн), прилегающей к области С пространства х„х„,..., то, н начальным условиям (6,2), (6,2)', (6,2)" в области Се, то во всей области С функция и (Г, х„х„..., х„) удовлетворяет уравкениГо (3,2) и яа иальным условиям (4,2).
Действительно, нз соотиошеяия (5,2)" следует, что всюду в области С ди ие = дс ди Подставляя д, вместо и, в правую часть (5,2)', получим: див д'и д! д! дх» или — ~ и — — ~ =О. (7,2) д Г ди1 д! ~ з дхь ~ Поэтому величина ди иь дяь не зависит от Г на всей области С. По условя(о (6,2)" при !=О в области 6 ди, и =- —. в д. Поэтому из (7,2) следует, что при всех 8 в области 6 (3,2) ди ди Подставляя и = †. н и =- †. в (5,2), мы получаем что д! ь дяь $ уравнение (3,2) удовлетворяется всюду в С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
