И. Петровский - Лекции (1120446), страница 2
Текст из файла (страница 2)
ПРИМИРЬГ Через поверхность 5 по формуле (1,1) входит количество тепла, равное ~ ( ~ ~ й( „х„;),"в Ь~ (Г, (:,1) и ди где — означает производную по направлению внешней дя нормали поверхности о. С другой стороны, зто же количество тепла можно определить через изменение температуры в объеме В за промежуток времени от сс до сз. Изменение количества тепла равно с (хс, хз, хз) Р (хс, хз, хз) [и(гю хс, хз, хз) — и(г„х„хш х,)[йх,ссх,гсх, (3,1) гце р(х„хз, х,) — плотность, а с(х„хз, хз) — теплоемкость твпа В тоЧИЕ (Х„Х„Х,) Ь), ИНтЕГраЛ раонра "тра ВЕН по области хУ.
Приравняв (2,'1) и (3,1), получим: ~ ~ ср[и(сз хс ссз хз) сз(зс хс хз хз)) сзхссзхэ с(ха= Р сз =- ) ~ ~ ~ я (х„х,, х,) — сс8 [ ссс. (4,1) и ь) Зссзчевво фпэическкх характерясткк тела в определйнвой точке р (тэкссх, кэк, например, плотность, теплоемкость н т. и.) понкмастся всегда как некоторый предел. А нмекно, борется последоээтельвоссь зубов с центрам в точке Р со егоровой, ссромацейся к нулю. Рассматривается отношение соотзетствукнцей велнчнвы дзя каждого куба к объзму этого куба н берется предел этого отцошевкя. когда старова куба строзсится к нуяю.
Например, плотностью в точке вазывэется предел отпошейвя массы куба к его объему. Авалогячио поверхностной плотностью в точке пластпвкв кэзыэаешя предел отиошенвя массы квздрзтвка с цсвтром в этой точке к его сслощзди. Лввейкой плотностью в точке стержня — предел швошснвп мнссы отрезка с цевтром в рзссматрввэсмой точке к длине отрезка, Апалогячко определяется теплоемкость, тепло. праведность в точке я т, и, по формуле Остроградского ~~й д",Ю=~~~ ~' ' ~й —,' ~ (х,гх, х,. Интеграл в левой части равенства (4,1) можно записать в вике 1'К Ф' "'1 Р сз с ди так как и(г„хс, хз, хз) — сс(г„хс, хз, хз) .=- ~ — „, с(г.
сс Таким образом, для любого объема 1У внугри тела 6 справедливо равенство ~ ~ ') с) ср — с1х, с) хз ссхз сс'с— СС Р сз 3 — ~ ~ ~ ~ ~ —;,, (' й —,.', ') (х, Ь,гх,,(г-О Р ' С-С ~ ') ~ ~ ~ср —" — ,', — (я' д — "~С~с(хсс(хзссхзсСЗ=О, Так как функции, стоящце под знаком интеграла, непрерывны, объем ьс и промежуток времени (з„сз) ироизтсльлпя, то для любой точки (х„, х„х,) тела сы и для жобого момента времени с долнсиыо выполняться равенство з (5,1) с Зто уравнение называется уравнением тэсс,воировос)носпзп, вообще говоря, неоднородного, по изотропиого тела. Если тело однородно, то йс(х„хш х )=согЮ., с(х„х„х ) сопзб., р(х„х,, х,) = сопзЗ„ ХЗ охХРвделения. пгзгмегы 12 ввгдинне.
клАсснФикхция уР*вненип [ги. 1 1 Х! в уравнение (5, !) обращается в уравнение вр ди д»и (6,1) ! ! Заменяя — х на х' и обозначая х' опять через х мы при- ор ведем это уравнение к виду ди д»и д'и д»и (7,1) Уравнения (5,1) и (7 1) имеют много решений. Чтобы выделить из всей совокупности нх решений какое-нибудь одно, надо поставить дополнительные условия, играющие ту Хке роль, что начальные условия в обыкновенных дифференциальных уравненнях. Такнмн дополнительными условиями чаще всего явлшотся так называемые граничные условия, т.
е. условия, заданные на границе той области 6 пространства (х,, х,, и,), где мы ищем решение уравнения с частнымн пронзводнымн, и ничальиьм условия, относящиеся к одному какому-нибудь моменту времени. хРнзпчески ясно, что, во-первых, знание температуры тела в некоторый момент времени и теплового режяма ва границе тела должно полностью определять температуру в последуХощео время н, во-вторых, что сам этот тепловой режим может быть задан различным образом.
Если область 6 совладает со воем пространством, то можно доказать, что ограничХенное решение уравнения теплопроводностп прп Х .э Х. единственным образом определяется одними начальными условиями — значеввем функции и(Х, х„, х„хз) в момент Х=!,. Для ограниченной области 6 можно, например, задать значение температуры в каждой точке тела в некоторый момент ! = !, и задать значение температуры в каждой граничной точке тела прн х > х„.
Оказывается, этих условий достаточно, чтобы едннствейным образом определить ограниченное решение при » Хэ и (х», хм хз)ь6. Вместо того чтобь! задавать п(Х, х,, х„х,) ла границе 6 прн Х > Х„можно для определении единственного решения уравнения теплопроводностн задать на этой гра- — производную по внешней нормали к границе ннн дл области 6 от искомой функции и. К такой математической задаче мы придем, если будем изучать температуру внутри тела 6 прн условны, что вам всегда известно количество тепла, отдаваемого в любой промежуток времени (Х„Х,) от внешнего пространства к поверхности тела 6 через лХобуХо площадку Я на граннце тела. Оно должно равняться количеству тепла, передаваемого от площадки Ю внутрь тела; последнее количество тепла ао формуле (1,1) равно где я ~ О- коэффициент теплопроводностн в рассматриваемой граничной точке. Таким образом, зная закон тсплоотдачн для каяХдой площадкк Я границы области 6, можно найти значения ди — на границе 6, В частности, если нет теплообмена через дл ди границу, то на ней —.
=О. дл Можно, наконец, в качестве граничного условия задать пРн хив ! на гРаннце 6 значениЯ линейной комбннации где Хх! — коэффициент теллопроводвостн прн переходе от окружающего пространства к телу 6, а й- коэффициент внутренней тезмюпроводности тела. Эти коэффициенты счнта!отса известнымн. К такой математической задаче мы придем, если будем изучать температуру внутри тела 6 прн условии, что наы нзаестна температура ич среды, окружающен тело 6. Тогда, составляя баланс количества тепла, проходящего через произвольный участок границы 6, мы согласно формулам (1,1), (1',1) найдем, что; 1.
Колпчество тепла, проходящего эа произ)куток времеви (Х„Х ) через площадку Б от окружаХощего яростран- 14 звиднпнн. клгдсстгеггкхцгдя РРхвниигги (гл, 3 ства к поверхностп теча, равно ~ ~ й,(п,— и)гго'сгд. гд я 2. Количество тепла, переданного за зто же время внутрь тела от куск» 'д' на его поверхности, равно дт ~ ~ й — ,'" й$ йт (й:» О). 3 Так как (3„1 ) и Ю произвольны, то должно быть 1г,и+ й д — — кдиг ди В частности, если гг-, ==О, то это условие обращается в условие й — + й,и=О. ди Допустим, что температура в каждой точке (х„х„х,) внутри тела О установилась, т.
о, что она не меняется при увеличения 3. Тогда —," =О и уравнения (ГИ1) и (7,1) дг обратятся соответственно в уравнеипя 3 3 г д Для определения и(х„, х, х ) теперь не надо уже задавать никаких начальных условий. Достаточно задать одни , граничные условия, которые должны быть независимыми от времени. Физически зто легко представить себе так. Если граничные условия ве зависят от времени, то какую бы начальну о температуру мы ни задали, температура п(г, х„х, х ) в каждой точке (х,, х„х,) тела стремится к некоторому пределу п(хд, хги х ) при г -и со, Предельная функция я (х„, х„х,) удовлетворяет стационарным уравнениям (8,1) и прежним, не зависящим от е, граничным условиям, Задана определения решения какого-нибудь нз уравнений (8,1) по его значениям на границе рассматриваемой ОПРНДКЛПНИЯ.
ПРИИВРЫ области называется задачей Дггрихле плн первой краевой задачсй, Наряду с распространением тепла в пространстве часто приходится рассматривать изменение ~емпературы вдоль стержня пли в пластинке. Если прн этом толщина однородного стеРжня такова, что температуру в точках одного и того же поперечного сечения можно считать одкиаковой, и не происходит теплообмена со средой через боковую поверхность стержня, то температура и будет завп еть только от времени 3 и одной пространственной координаты х. Уравнение, которому будет подчинена функция и(8, х) в этом случае, при соответствующем выборе единиц нзмереяня, имеет вид ди дди дг дхд (9,1) Тому же уравнению (9,'!) удовлетворяла бы температура и(3, х„х, т„,' внутри трехмерного тела, если бы ояа зависела только от одной п Ростравстзеввой координаты, например от х,=х.
'1ак будет, если температура тетд во всех точках каждой плосьостн х, =соле~,. однь'алова. Аналогично, изучая распространение тепла в однородной тевлоизолнрованной плоской пластинке, мы придем к уравнеащо ди дди дди дг дхд дд" дд (1О,1) 3. Пример 2, Уравнения равновесия и кол е б а ни я м е и б ра н ы. Мембраной мы называем натянутую плелку, которая сопротивляется растяжению к не солротнвляется изгибу, т. е. измененщо формы, не вызывагощему изменения площади произвольно взятого участка мембраны; работа внешней силы, вызывающей изменение площади некоторого участка, пропорциональна этому нзмененщо.
Положддтельйый козффгщнент пропорциональности 7 не зависит нн от формы этого участка, нп от его полол'ения, Он называется калглзгсснггщд мембраны. Заметим для лальнейшего, что работа внутренних сил УпРугости равна по абсолготной зеличгпге работе внешних снл, вызывадощих изменение площади, и противоположна ей по знаку.
опгндвлвния пвимхгы ЗВкДВНИН. КЛАССИФИКАЦИЯ УЗАВНЖННИ (гл, 1 17 Пусть в состоянии полол мембрана расположена в плоскости (х„х,) и имеет форму некоторой плоской области 6 с гранипей Е,. Предположим, что на мембрану действует некоторая скла, плотность которой в точке (х,, хз) равна /(хо хз) (см. сноску на стр. 10) и направлеигге которой перпендикулярно к плоскости (х„хз).
Под действием этой силы меморана прогнется н примет форму некоторой поверхности, уравнение которой мы запишем в виде: и = и (х„х„). Ось и перпендикулярна к плоскости (х,, х ). Мы выведем уравнение, которому удовлетворяет функция и(х„хт), при следующих ограничениях, Во-первых, мы предположим, что в интвресузощем нас положении равновесия поверхность мембраны не сильно изогнута, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
