И. Петровский - Лекции (1120446), страница 19
Текст из файла (страница 19)
3 Формулы (6,14) явлжотся весьма существенными, так как мы покажем сейчас, что всякое нревбразввание Лоренца. есть комбинация ортогонального лреоорагования переменных х„хз, хз, оетавхаюи(его х неизменным, аРеобРагованая вида (6,14) и изменения знака у каких-нибудь неременнмх (отрвгвеення) Пусть некоторое преобразование Лоренца задано фор- мулами Уо = а!ехо + аыхз+ "озхз+ аозхз Уз = аюхо 1 апхз + аызз+ амтв у =- аз х + а„х, Г а, х + а„х„ Уз = а,в«о+ аззхз + азвз з + аззз з.
Если хотя бы одно нз чисел ао„а „а,з ке равно нулзо, то произведем такое орта гональйое преобразование хз, х„хз в х,', х,', х'! чтобы выполнялось равенства аззхз ° аозхз+ аозхз 3' Если, кроме того, х,' положить равным х, то, как легкс видеть, это преобразование от х„х„хз, хз к х,', х,', х.'„х,' есть преобразование Лоренца. Подставив в правую часть где 1~ ~ < '1, Мы получим при этом формулы для некоторого класса преобразований Лоренца: ГНПВРБОЛИЧВСКИВ УРАВНЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА (гл. 2 (7,14) переменные т,', х,', х,', х'„получим: Уо = аоохе + ах(, У» — »о о + йг»х»»г (»»зхз + Ьгзхг', зг»+ йзгхз+ йззхз 3 (11,14) (8,14) Покажем, что прн атом а' < а' .
Действительно, так как (8,14) есть преобразование Лоренца, то Уое У» 'Уг — Уо = то — х, — хз" — хз откуда у*, + уг ~- у', = х,'з+ х,'+ х," — х',з+ у',. (9,14) Положим уоаоО, Тогда х, *= — — х' и тождество (9,14) а 'о а» обращается в тождество по трем переменным у";+»у,'+ у; = (1- — '. ~х,'з+ х,"+х,'. Правая часть положительна если т,"+х',г+х," О, так как следует, что х„= х, = т = х, = О. при любых х,'. х,', х,', из у,=у =уз=у =0 Поэтому доляоно быть аг 1 — —, О, а)о Уо= у» —— (12,14) (10,14) т. е. а'< а,',, Положим —" аео вида (6,14): р и произведем преобразование Лоренца йео ' з'г у'Т=рь ' х,'.
) О»евндио у у, у, у будут связаны с хо хг хг, х преобразованием Лоренца, имеющим внд у,= сх"„ у» =с»о'о+ спхг ь с»гхз + с»зхз У, .=- С„Х, + СО,Х, й С.,Х, + Сзот„ Уз='зохо-».сзгх»+ оз г сзз:зг где, как легко подсчита»ь, с=~) ао — а', Если а„, = аоз = а,о=0, то уже система (7,14) имеет вид (11.14). Нейдем значение козффиппентов с, с„о, сз„, сзм Полагая х,"=1, х",=х,"=х,=О, получим: Уо=с» У»=ам уз=ты Уз =сзо Отсюда 1=со — с' — с' -с' и с'>1, »е зо го Полагая у =1, У,=У =Уз=О, найдем, что хо= а х„хм х', з»ме»от некоторые определенные значения т,,', х„з,'.
Отсюда 1 = —,— х"' — х ' — х' и — >1 со ' ' ' о' т. е. Сз ~ 1. Следовательно, сз = 1 и, возвращаясь опять к равенству ' =с — с„— с — с, з г зо зо МЫ ВИДИМ ЧХО Ск Сз» Сзо — О Следовательно, преобразование (11,14) имеет на самом деле впд: д. Хог с„х„+ смх, + с,зх,„ с»хг + с, х, + с„х."„ с„х, + со,т,+ сззх,. Измен»гв, если нужно, знак у координаты т„мы иолу чим преобразование Лоренца, которое есть йросто орта тональное преобразование переменных х„х.„х, в У» У Уз Мы вялим, таким образом, что самое общее преобразование Лоренца (7,14), переводящее переменные хг в,», (гя.
2 ГИПВРВОЛНагяокив УРАВНВННЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРВНЦА «22 есть результат послеповательных преобразований: ортогонального, переводящего т, в х;', преооразованяя Лоренца частного вида (6,14), переводящего хг в хе, может быть, изменения знака у х„н, наконец, ортогонального иреобразоваяяя х," и уг, г=-1, 2, 3. Если транспонпровать матрицу каждого из зткх Промежуточных преобразований, то мы снова получим матрицу нреобразовавкя такого же типа. Отсгода следует, что матрица, трансионировонная ы матрице преобразования Лоренца, снова есть матрица преобразования Лоренца, х1з определения преобразоьаняя Лоренца следует такане, что преобразование, обратное к лоренцову, такгке яггя лается лоренцовым, 2, Докажем теперь основкои фант, выясняющий тесную связь преобразований Лоренца с волновым уравнением. Т с о рема.
Всякое неособое линейное преобразовагггге переменгпгх г, х, х„х, с действительными постоянными хвзффициенжамй, Азотное ие меняет вида уравнегггггг (1,14),. есть ьомбинация преобразования Лоренца, ггереноса начала ьооРдинапг в пдостРанстве (г, хао ха, х ) и преобразования подобая в этом просягранстее. Для упрощения записи положим г =х .
згтзержденгге, что некоторое преобразование «не меняет вида уравнениях, мы понимаем следующим образом: любая фуннцгщ и (х,. х,, х„х,) (с непрерывными вторыми производными), удовлетворяющая уравневиго д"ы даи даи даы дха дха дх'- дхг после преобразования хг в уг переходит в фуякцшо и (у„, у,, уг, уз), удовлетворяющуго уравненшо даи даи даи даи (13,14) дуа дуг д,а д,а Отсюда следует, что при любом таком преобразовании для произвольной функции и(х„х„ха, х,) имеет место равенство даы даы даи даи, Х даи даы даы даы Х два дуа дуа дуа (, дх„' дха дх1 дха,) ' где й ~ Π— некоторая постоянная.
В самом деле, если сделать наиболее общее предположение з даи даы даы даи чъ даы — — — — — — г( —. (15 14) ду', дуг ду, адиа —. 2г "' даыдхг ьг .0 н допустить, что з даи Х даи д" ы д'ы гны "; З диады ° 'г дх«а дха адха адх1 ) а, га=о .4 огг,'; = 1, г,г' в (16,14)а з Для функции и(х, т„ха, х„)=- —. ~ и«гх,.хц имеют место г, г-з (16,14)г равенства дааа — = иаг. дхгдхг В силу (16,14) эта функция удовлетворяет уравнепиго (1,14), а после преобразования переменных она не будет удовлетворять уравнениго (13,14), как следует из (16,14), и (15,14). Следовательно, справедливо (14,14). Произведен преобразование подобия хг х. (г=О, 1, 2, 3); '1 РТ тогда „ б даи даы, даи даи а Х даи даы даи даи , дхза дхз дха адха,) — ~~ дхо' дх'а дхаа дх,'а,)' то мы прядем к протнворечпю с тем фактом, что всякое решение уравнения (1,14) переходит прн преобразовании переменных е решение такого же уравиения.
Действительно, в этом случае можно подобрать систему таких чисел и,'з = иьь чтг бы оии удовлетворялв двум линейным уравнениям; ГЛГЦЕРБОЛИЧЕОКИЕ УРАВНЕПНЯ (гл. 2 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 1 14) Следовательно, нам достаточно показать, что преобразование а у,= ~~~~ а,,х,' (1=0, ...,3), (17,14) 1=0 ие меняющее модуль дифференциального вырагкення даи даи дли дги (18,14) драл дхгу дх ъ дх а есть преобразование Лоренца, т. е. оно не меняет вида квадратичной формы (19,14) Но это следует нз того что, как было показано в 1 5, при линейном преобразовании независимых переменных вида (17,14) выражение ',г=а преобразуется так же, как преобразуется квадратичная форма от этих переменных г спх(хги ',1-О ' если над ними совершить преобразование з х,'= 7 а,,у,.
(1'=О,...,3). (20,14) Так как преобразование (17,14) о точностью до знака ие меняет вида выражения (18,14), то преобразование (20,14) с точностью до знака не меняет вида квадратичной формы (19,14). Но в силу закона инерции н знак (19,14) ни прн каком ллнейном преобразовании с действптельнылги коэффициентами измениться не может, поэтому преобразование (20,14) н обратное к нему есть преобразование Лоренца. Согласно установленному в и. 1 тогда и исходное преобразование (17,14) есть преобразов-ние Лоренца, так как его матрица есть транспониванная к матрице преобразования Лоренца (20,14), Таким образом, мы показали, что всякое однородное линейное преобразование, не меняющее вида уравнения (1,14), есть комбикация преобразования подобия и преобразования Лоренца.
Так как очевкдио, что перенос начала координат также не меняет вида этого уравнении, то теорема полностью доказана. 3. Ортогональным преобразованием переменных х„ ха, х мы можем перевестп любую проходящую через начало координат гнперплоскость в пространстве с,х„ х,, х„наклоненную и Ог под угл и, ббльшим 45' (и только такую), в плоскость 1 =- ))х„где 1 Р') < 1"), а преобразование Лоренца (6,14) дает возможность перевести эту гпперплоскогть в координатную гиперплоскость 1* = О. Таким образом, мы всегда можем линейным преобразованием независимых переменных, не изменяющим вида уравнения (1,14).
перевести лгобую гнперплоскость в пространстве (1, х„х„ха), наклоненную к оси ОГ цод углом, большим 45", в гнперплоскостЫ = О. Тем самым мы получаем возможность решить задачу Коши для уравнения (1,14), задавая начальные данные пе только на гнперплоскости 1=0, но и на любой гиперплоскостп П, составляющей с осью 01 угол, ббльшнй 45', нли, что все раино, на гинерплоскости 11, пересекающей каждый из характеристических конусов уравнения (1,14) только по одной его поле или водной только ') Пусть урааисвие такой гииеривогиосги эадаио в виде АГ+хи, +Сх + Г)ха=о, где Ва+Са т 1>а=1.
Тогда косинус угле аэ А »ормави и илсгиости с осью бч равен, а таигеис этого угла )~ Аг+1 Равен — . Есии нормаль к гииаривосиости составляет острый ! А ' угол с осью 00 го вреобрааоваиие Вил + Оха д Вха - х( иРи соогватсгвеюю выбранных (из условий ортсгсиаиьиосги преобразовании) ха и х,' вреобРааУег даннУю гипеРпвоскость в гииеР- виосиссть вида Аг+х'=0 иии г= — — х', где ~ — ~ и1 1— спйцилльнля тиОРия Относитвльиостн 121 ГИПВРБОЛИЧВСКИВ УРАВНИБИЯ (гл 2 его вершине, Действительно, задавая на какой-либо области 6, находящейся на П, функцию и и ее производную по какому-нибудь направлениз~, выходящему из плоскости П, мы том самым задаем на области 6 первые производные от и по любым направлениям в пространстве (1, х„, хзо х,), так как знание функции и на области 6, дает нам знание в атой области ее первых производных по всем направлениям, лежагяим в 6„.
Преобразовывая же гпнерплоскость П в гиверплоокость Ге = О, мы сводим решение задачи Коши прн начальных данных на П и задаче Коши, рассмотреннон в 4 12. С другой стороны. легко показать, что задача Коши для уравнения (1,14) будет некорректно поставлена, если начальные условия задавать иа гнперплоскостп П, наклоненной в пространстве С х„ ..., х„ к осп 0г под углом, не превышающим 45'.
В самом деле, если гиперплоскость П составляет с 0г угол в 45', то она имеет характеристическое направление и потому на ней нельзя задавать произволь ко условия Коши, какой бы гладкости мы ни требовали от них. Рассмотрим теперь случай, когда П составляет с Ог угол, меньший 45'. Ортогональным преобразованием координат в пространстве (х„ х„ хз) и параллельным нх переносом всегда можно достигнуть того, чтобы гиперплоскость П имела уравнение йР+х,' =О, где ('р'! < 1. При этом, как уже отмечалось, впд уравнения (1,14) ие изменится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
