И. Петровский - Лекции (1120446), страница 23
Текст из файла (страница 23)
2) Найти ре1иение уравнения (5,17), есяа заданы еео значения на отрезке ОВ характеристики е = х и на винни й, выходяи(ей ив гпочки О, яежаи1ей внутри Уела, образованного характерислшкали е = ~ х, и. обяадакчией тел свойствовр, что каэкдая характеристика В=х+С нересекаега Ь в одной точке (рнс. 10). Читатель легко решит самостоятельно зтн задачи, пользуясь представлением решения (5,17) в виде и(е, х)=у,(е+х)+у,(е — х) (см.
пример 1 1 6). Решение в обоих случаях определится в прямоугольнике, образованном характеристиками, проходящими через концы линий, на которых заданы значения функции и, 1О и Г Птреревяз Г»!ПВРБОЛИЧВСИИВ РРАВНВНИЯ [гл. 2 3) Если задавать значения функции г«(», х) на двух (для простоты полол<им прямых) линиях Ь и Тч, выходящих из начала координат, то существенно различными будут два случая: а) когда г я».
лежат внутри одного угла, образованного характеристиками, выходящими нз точки О, н б) ногда 7 и Ьг разделены характеристикой. В первом случае для определения единственного решения уравнения (5,17) достаточно задать тольно значения самой функции и(», х) на линиях Г, и Ь„а во втором случае иа одной из эгпх лпвнй надо задать «данные Коши» вЂ” значение самого решеввя и его первой производной по нормали к этой ливии (ср. Гуро а, Курс математического анализа, т. 3, часть 1, ГТТИ, 1933, стр. 100 — 112).
3. Наши последующие рассмотрения будут в большинстве случаев одинаково применимы для лгобого и. Для большего удобства в выкладках и чертежах мы будем многие рассуждения проводить толъно для и = 2 или и =1, особо указывая формулировки для других и точько в тех случаях, когда онп будут существенно отличаться от этих. Считая, как мы только что сказали, л= 2, мы будем рассматривать решения и(», х„х„) уравнений вида (1,17) нли [4,17) ири 0<»а,Т, когда точка (х„х») находится внутри области <7, ограниченной линией», состоящей из конечного числа дуг»! с непрерывно менявшейся касательной.
Иначе моя<но то же самое сказать так: считая л=-2, мы будем рассматривать решения и (», х„х») уравнений (1,17) илн (4,17), определенные внутри .цилиндра Цт, у которого образующие боковой поверхности параллельны оси О! и проходят через границу области 6, находящейся в плоскости»=0, а основания находятся в плоскостях е =0 и»=-Т. Мы будем всюду в этом разделе вредночагать, яе оговаривая это каждый раз особо, что рассматриваемые решения и (», х„х,) удовлетворяют уравненщо (1,17) или (4,17) внутри Цт в непрерывны вместе со своими первыми и вторыми производными на Цт, т. е, на цилиндре Цт вместе с его границей. 1 !8) Вдинстввнность Рвшвйия сившлнной зАЛАчи 147 4 18. Единственность решения смешанной задачи Пусть и, (», х„х») и иг (», х„х,) — два решения уравнения (1,18) определенные иа шшнндре Цт, обладающие всеми пере- численными в предыдущем параграфе свойствами и яв- ляющиеся решениями одной и той же смешанной зада- чи, т.
е. мы будем предполагать, что прн »=О онн удов- летворяют одним н тем же наигльным. условиям (2,17), а на боковой поверхности цилиндра Цт одним н тем же граничным условвям наг<ого-нибудь нз видов (3,17). На- шей целью является доказать, что функции и, (», х„х ) и и,(», х„х,) совпадают между собой во!оду на цилиндре Цт. Дог<азательство этого утверждения эквивалентно дока- зательству следующей теоремы. Теорема. Функ<[ля и(», х„х,)=и,(», х,, х») — и, К, х„х,), удовлетворлюи»ал уравнению (1,18) внутри Цт, нелре- рывная вместе со своими первыми и вторил<и ироив- водными на Цг, удовлетворлюи<ал на боковой новерхно- сти Ц'т одному из условий (3,17), а ири» =0 обраи»аю- н»алел в нуль вместе с и,', тождественно равна пулю на Цт.
Доказательство, рассмотрим интеграл распространенный по цилиндру Цн, где 0 <» «а'. Т. Так как ФУнкция и удовлетворяет уравнению(1,18),то интеграл равен пуп!о. Преобразуем его в интеграл по поверхности цилиндра Ц<* аналогично тому, как было сделано в 4 1'[ при доказа- тельстве единственности решения задачи Коши, Получим: 2 с в [ !.д<,» + < дл» + <, дл < 11 1« ~~в<.) +[, — ) +(в*о 1* Гди ди ди ди а»Е ~ — соз(л, х,)+ — — сов (и, х )~ <Ь вЂ” О. 1 д< длг $0» 1 2В) ВАВнсимость Рвшвния от нлчлльных услоВии 2»рз ГИПВРВОЛИЧКСКИК УРАВНЕНИЯ (сл. 2 Здесь 1, как обычно, означает границу области С, сЬ— элемент дуги границы. Первый интеграл берется по верхнему основанию цилиндра 7(р..
второй — по нижнему, а третий — по его боковой поверхности, Последний интеграл мср2кно переписать в виде с Итак, окончательно получаем: и — ~ с)е ')д- д-"ВЬ=-О. (3,18) о Второй из этих интегралов равен нулю в силу начальных условий. Если на границе С всегда и=0, то там и аи дс — =-0 поэтому тогда третин интеграл также равен нуди лю, Он равен нулю и в том случае, осли на 2ранице -„:= О. Кслн же на границе — + аи = О, то этот интеграл обращается в интеграл и и ди 2 Г Г д(иа) — ') сЬ ~ еи —. сЬ= --х ~ а сЬ 2 — сй = дс д .'2 дс с 2 С вЂ” — ~ см' (Га) ВЬ+ — ~ еп' (О) сЬ, (4,18; [ Последний интеграл равен нулю в силу начальных условий, Итак, при всяком та между 0 и е, если на границе С ди всюду и=*О клл — =О, то ди ~~ ~(д У+~а»).-+~а»Д гх,гх,=О, (3,18) еслнже на границеСвсюду — +ам=О, то ~1 ~®'+Я7+~йЛ,,." "" + —.,' ~ ° 2(е*) Ь-О.
(6,18) Так ках с > О, то нз соотношений (5,18) и (6,18) следует, что прн каждом из граничных условий (3,17) ~ ~ ~ ~ — д, ) + ( — ) + ( †) ~ с(х, с(хе = О. (7, 18) Так как мы предполагаем, что у функции и все первые производные непрерывны на цт и ги есть произвольное число мелсду О я Т, то нз соотношения (7,18) следует, что всюду на с(т ди д» ди — = — = — =О, дс дх, дхх Значит, и постоянна на всем 1(т, А так как и (О, х,р х ) == О, то на всем цилиндре Пт я (" х2 х2) аи Ор что я требовалось доказать, Заметим, что интеграл еленой часта (7,18) равен, с точностью до постоянного множителя, сумме кинетической н потенциальной энергии колебжощейся мембраны в момент е= Еь, а равенство (3,18) при граничных условиях (3,17), и (3,17) выражает закон сохранения энергии (ор.
з 1, и. 3). Задача. Докажите единственность на Цт решения задачи с начальнымк условнямл (2,17) и граничными условилмн (3,17) для уравнения (4,17), ф 19. Непрерывная зависимость реп2ения от начальных условий Теорема. 77уешь .им имеем деи реисенял ц,(е, х) ",».» рр-'. -д.рр) р.'=р р'- рр 'е.'ч рр ..».,...р..».
р „,.»»,р»,„, -* » ирлмоугольеик со сссрсррами, иараллелъимми осям 0» и Ох. ГНПВРВОЛНЧВСКНВ УРАВНВННЯ !гл, с 150 Пуслгь оба гиги региенил на боковой поеерхноспш удовлетворяют одним и гнем з»се граничным условилм какого-нибудь из типов (3,17), а при» =0 и (О, х)=ге(11)(х); иг,(0, х)=о(111(х); и,(О, х) =Т(з)(х); и:.,(О, х) =рр)(х). Еслгг равности [(з)(х) — Ф" (х) =-р (х) (1=0, 1) и переал п»юизводнал, (б)»нкг)гиг ре(х) всюду на С достаточно .малы по абсолютной ве.гичине, то разность и (», х) — гг1 (», х) = и (», х) сколь угодно,ма.га по абсолютной величине на всем Цг, Аналогичная теорема верна для решений уравнения (1,17) на Цт при любом и.
Но тогда для обеспечения малости гг,(»„х„..., х„)-и, (», т,, ..., х„) =и(», х„..., х„) ! на всем цилиндре Цт надо требовать, чтобы мало отлн чалясь от нуля на С не только функцгггг но и все нх производные по х„..., х„до порядка из — ~ +! включительно; кроме того, надо, чтобы на границе области С, лежащей в основании цилиндра Цт, производные от этих разностеи до порядка ~ —," 1удовлетворя- 1 2 ли некоторым дополнительным соотношениям, которъге прп и = 1 удовлетворшотся автоматически. Доказательство зтой теоремы для и > 1 становится много сложнее, чем для п=1, и мы его не приводим. Доказательство теоремы для и=-1. Рассмотрим опять интеграл типа (2,18) по цилиндру Цт, который теперь вырождается в прямоугольник, Этот интеграл попрежнему равен нулю при всяком г* между О 1 )о[ зАВисимОсть Рвшвння От нАЧАльных услОВий (з( и Т, Преобразуя его аналогпчыо предыдущему, получим: ь ~ ~ да~Фи д'-и) а ( 1 ~ ~( ди)а»'ди)-'1 Цг а --'' 1 1~'-"')'+®'1, ."— а гх ~ ~диди) а ~ ~дида) Отсюда, так как а < (г н ди( ди ои( ди е и(0, х) =ее; иг(0, х)=[гг( — ~ =-; — ~ = — = е), дх[х-ь ди' дх[х-а ди имеем: —,', ~ ~ Я)" +ЯД...бх=-о ~ ( ",(х)+р",( Нй.
а а 1* + ~ — ';„— "~,[»+ ~',—,-"'~ )». «,и)) Если и(», а)=0 илн — ' О, то ди(1, а) ~ ди. ди~ е ди Если же при х=а имеет место граничное условие — +а,и=-О, то 1* 1 диди( " ди ааиг(ге, а) ааиг(0, а) (» ' аг» а" . [ а 3 о о Ф ) Напомним, что — всегда означает дифферепиирование по д ди иаиравлеишо виешиеи нормали ГИПВРВОЛИЧНСКНВ УР>ЬВНВННЯ [гл. 2 Аналогичные равенства можно написать при х. Ь, если при х = 6 налагается одно из условий: и (1, Ь) = О, ди(с, Ь) ди ди д* О, — +сьп=о. Таким образом, отбрасывая, если нужно, отрицательные слагаем>ее в правой части формулы (1,19), мы при каждом из граничных условий (3„17) имеем: 1ЕФ7 ~йЛ ." ь < $ Ы(х)+'Рь" (х)) с( '+М( )+аьр'(6) *) (3 19) Так как правая часть по предположеншо мала, то, следовательно, мала и левая часть.
Обозначая через еь величину правой части неравенства (2,19), мы найдем, что при всяком с* мелсду 0 и Т к прн всяком х, если а<',х< 6, ~ (-~ йх<ее, (3,19), [.(,х) -' -, )[<1~';."~ .= = ') 1 ° ~ — "[с)х< ~ ~ Гх )) ( —. ) 1х ! .<[>'Ь вЂ” и е. (4,19) а а а а ди ) Пр>с граничных условиях и О нли — =О зто неравенство ди обращается н раеенстзо, которое выражает закон сохранения энергии. Из неравенства (3,19), получим, применяя неравенство Буняковского, 1 сз! зависимость Рвшнпия от начальных ьсловии сбз Таким ясе образом пз неравенства (3,19)е получаем: ь ь ь ! — ~ и с(х ~ = ~ ~ —" ссх ~ < ~ ~ — ~ с(х < р' Ь вЂ” а ° е. (5 19) а а а Далее, ь ь с* ь ~~п(ть, х) йх--~п(О, х) йх~ =~~ ~ —,' ~и(~, т) йх|,й~< а а Е а < Ре [>> )> — а. Отсюда ь ь ~ ~ сс (ь'", х) с)х ~ < ь' "е ь 6 — а + ~ ') о~ (х) ссх ~ < а а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
