И. Петровский - Лекции (1120446), страница 27
Текст из файла (страница 27)
О(Х! Н (Х! Мвнимальное значение будет одно и то же; только во втором случае зкстремальная функция будет определена К о) Так как Лг<»г< ... <Л„. РипиРБолическин уРАВИвния [ 2 5. Для дальнейшего исследовании собствеяных значег ний и собственных функций гыясннм, как изменяются собственные зваченнп при изменения коэффициентов уравнения (],22) н отрезка, на котором рассматриваются решения.
а) При изменении козЯйгг/иенлгов р(х) и г/(х) в спредеасннг/ю сторону собственные значения .иенлются в гиу зюе сторону. Точнее, если имеем два уравнения (рХ')' — СХ -!. «рХ = О, (р Х) — дех-]-«рх=о, причем Р (х) < р* (х), г/ (х) < г;ге (х) то «„. «„', где «„ь! «„" — соответственно и.-е собственные значения первого и второго уравнений.
Доказательство непосредственно вытекает нз того, что ! 6 (Х) = ~ (рХ'э .»- г/Хз) с[х < ~ (реХ'з .» г)еХэ) агх = 6е (Х), о 'о ПозтоыУ «(гу„..., Р„г) < ле (Рг, ..., Фэ г), так как класс допустимых функций Х (х) не изменился, и, следовательно, «„< «;. б) При иззиенении козфрбгг!/лента [г(х) в определенную еторонр собслженныв 'значения лгенлютсл в ггролтвоиолозгснрю сторону. Пусть »г(х) < эе(х),'а остальные ггозффициенты уравнения не изменены, Тогда для всякой функпии Х (х) 6(Х) =6*(Х), а Н(Х) < Пэ (Х).
Поэтому // [Х] й' [Х) ' 0 (Х) 0* !'Х) (]] 22) Всякая функция Х(х), удовлетворяющая условиям (9,22) прн лекоторых гр! (х), будет удовлетворять аналогичным условиям р'(х)7г'(х) Х(х) Ь=-0,. )* 62 ' 22] ОБщив сВОиствА совстВенных Функции »77 ЕСЛИ ПОЛОЖИТЬ р! (х) = —,,/»г!(х) э бы Ото!ода н из неравенства (1«,22) заключаем, что «(Т - Рэ-г)=уеИ~ ." Т: —.). А так как р*(х) ° р(х) > рэ > О, то совокупность всех (фг (х), ..., гр, (х)) совпадет с совокупностью всех (с,' (х), ..., е„'(х)) и потому л„> «„. в) При рлгеныиении отрезка (О, 1] собетсснныс значения не убывают.
Точнее, если в рассматриваемой нами задаче о собственных значениях отрезок (О, 1] заменить отрезком [О, 1е], где 1е < 1 и собственные значения новой задачи обозначггть чеРез «е, то ),*,> «ое ДЕЙСтВИтЕЛЬНО, «*(ф„..., Фо „), КОтОрОЕ НГрЗЕт РОЛЬ «( ..., Ф ' в новой задача, будет совпадать с мвниггггг . г[гч-г/ м ом функционала 6(Х), определенного для отрезка [О, 1], если кроме условий (8,22) н (9,2 / на класс допустимых функций Х (х) наложить еще требование Х (х)= 0 при 1е< х < 1. Но при усилении условий уменьшается класс допустимых функций, и минимум функционала может только увеличиться*). Следоватепьно, «е(Р„..., г)„г) > «(Р„..., Р, г). Апоэтому и йд~ > « Обращаяоь к конкретному примеру, рассмотренному в $20, мы можем вывести отсюда известную связь между длиной струны н высотой ее основного тона: чем короче струна, тем больше частота ее собственных колебаний равная — ~] тем выше издаваемый ею звук, / 6, Совершеныо тем яге методом, каким мы исследовали собственные значения длп уравнения («,22) при краевых условиях Х (0) =- О, Х (1) = 0, (5,22) *) Требуя.от непрерывных кз [О, !] вместе с их переымн деума пгоиээолнымн функций Х (л», чтобы онн обре!пелись е нуль при !*<к</, мы тем соыым требуем, чтобы прн з=-!э обрашалась е нуль нс только сама функцлл Х [лд но и ее первые вее производные.
Олнэно можно понээзть, что это вополннгельнос требование не ыэнлет минимума 0[Х] ва отрезке [О, !ч]. И. Г. пэтеээсннз 17В ГИПЕРБОЛНЧКСКИИ 'УРАВНЕНИЯ (гл. 2 можно исследовать собственные значения для уравнения (1,22) при краевых условиях Х (О)=О, Х (!)=О„ (12,22) или при краевых условиях Х'(О) — с Х (О) =О, Х'(!)+з, Х(!)= О, (И,22) где а,'л О и а, > О, или при краевом условии одного кз указанных здесь типов на одном конце интервала (О, !) н другого типа на другом конце. Основной теоремой, да>ошей возможность исследовать собственные значении при краевых условиях (13,22), является следующая теорема, аналогичная теореме пункта 4: Пусть р>(х), р (х)...., р„(х) — произвольная система ненрерывных функ>!ий на отрггке (О, !).
Обозначим через ) (р„..., р„) минил«ум функционала ~ (рХ'+ аХ«) «(х+ а р (О) Хз (О) + в> р (!) Х' (!) (14,22) ч в классе дважды непргрывно диффергн«рпруемых функ>рий, удовлеп>веря>ои(их следуюи(им условиям: Н(Х) =1, рр«Х«рх —.— 0 (>=1, 2, . „п — 1). (15,22) Тогда п-в собственное значвнав ).„для рассматриваемой задача о собственных гначеш>ях равно вврхнчй грини значений >; (р„..., ч„>) при аз«возмог>сном выборг функ>р»й р>, ..., «р„ы лишь бь> они оставались нвпрврывныл>и.
Пользуясь этой теоремой, можно так же, как н в случае закрепленных концов, исслелотать зависимость собственных значений от р(х), д(х), р,'х), а, в„!. Если за функции р„..., ~р„> принять первые и — 1 собственные функции Х„..., Хлт рассматриваемой задачи, то функция, дающая минимум функционала (14,22) при условиях (15,22), будет п-й собственной функцией 1 Вз) ОБЩИЕ СВОНСТВл СОБСТВЕННЫХ «ШНКНИН этой задачи, а минимум функционала будет ее и-м собственным значением. Если в = 0 и в> =О, то мы придем к задаче о собственных значениях для уравнения (1,22) прп краевых условиях (12,22). В этом случае и-л собственная функция будет давать минимум 6(Х) в классе дважды непрерывно днфференцируемых фуякцнй, удовлетворя>ощпх таким же условиям рз (Х) = 1, $ рХ,Х ух = 0 (!'= 1, 2, ..., и — 1), г где Х„..., Х„, — первые собственные функция этой задач~, как и в случае закрепленных концов.
Но теперь от допустимых функций не требуется, чтобы они удовлетворялп какому-либо условию на концах интервала (О, !). Функция, решающая эту варнацнонную задачу, автоматически удовлетворяет условиям (12,22). Это «свободная задача». Она соответствует колебанкям струны, которая свободна, т. е. не закреплена на концах, Напомним, однако, что, когда мы говорим, что струна не закреплена на концах, зто значит только, что эти концы могут как угодно двигаться по прямой, перпендикулярной к положеншо равновесия струны, ио это отн«одь не значит, что эти концы могут сближаться вдоль положения равяовесня.
Если от допустимых функций не требовать непрерывности в какой-нибудь внутренней точке с интервала (О, !), то класс допустимых функций расширяется; >. (р„р, ..., р„>)„ а следовательно, и >.„Ст мого может только уменьшаться. ч.'оответству>ощий тон, издаваемый струной, понизится. Это соответствует разрыву струны в какой-либо внутренней точке с, Тогда концы обе>>х частей струны, оставаясь па одной и той же прямой, перпендикулярной к положеншо неподвкжной натянутой струны, могут свободно' передвигаться по этой прямой.
Еоответствующая соботвенная функция Х„ будет иметь в точке с разрыв первого Рода", прн этом будет Х„'(с+0) = 0 и Х„'(с — 0)=0. Из предыдущего следует, что тоны струпы при этом гипвгволнчвскив угхвнвпия !гл, 3 понизятся по сравнению с, соответствующими тонами цельной струны. 7. Мы ограничимся опять рассмотрением краевых условий вида (5,22), так как в других случаях можно применять совершенно аналогичные рассуждения, Дадим оценку а„в зависимости от и.
Обозначим максимумы функций Р(х), д(х) н р(х) на отрезке (0,1) соответственно чеРез Рм„, а),ааа, Р, „, а минимУмы — чеРез Рв Чаял рмаа к рассмотрим наряду с уравнением (1,22) предыдущею параграфа два уравнения с постояннымя коэффициентами РлаахХ тааахХ + ~'раажХ = О . (%22) РзяаХ" — дшааХ + "рааахХ = О. (17,22) Из результатов предыдущего параграфа следует, что ~.,-~,„.с Т„, (18,22) где а„, соответственно а„, — л-е собственные значения уравнения (16,22), соответственно (17,22), Но уравнения (16,22) и (17,22) внтегриру|отся в конечном виде, и значения а„ и а„могут быть точно вычислены. Решая, например, (16,22) и находя частное решение этого уравнения пз условий Х(0) = ХП)=0, мы получим: "а арлааа ~пах лала раааа Отсюда аз=С па+Се, где С, и С не зависят от и, Аналогично ~.„= сала (- са.
Подставляя эти значения в (18,22), мы получим: сала+ за < аа < Сала+ Са. (19,22) Отсюда следует, в частности, неограниченное возрастание собственных значений пря и сс, 8. Исследуем теперь поведение собственных функций прн возрастании и, Для этого упростим уравнение (1,22) 1 аа) овщив свопства совстввнных чатнкцна 1м путем замены '= 1 Т(х) «х, и= —,Х. а 1 ас (а) о Подберем функции р(х) > 0 и 7(х) ) 0 таким обрааом, чтобы уравнение (1,22) после замены (20,22) перешло в уравнение и" (з) + аи = В (г) и. (21,22) Производя подстановку (20,22) прн произвольных функциях 7(т) и ф(х), мы от уравнения (1,22) перейдем к уравнению аал (стру4-чьур Ии, ) 1 .Цд — рг'ру — + — + )д — и =-,' и. ааа т'тр "' ' т'р т'И' Выберем теперь функция 7(х) и Ф(х) так, чтобы это уравнение имело внд (21,22), Дчя этого нужно опреде- лить фуикцян 7(х) и 7(х) нз системы уравнений Р =1; (77р) -~-рфр Решив эту систему, получим: зГр, р' ' рр' где с — произвольная постоянная, Поэтому мы можем, например, заменой з= 1 1/ Р Нх, и= 1/ррХ (22,22) а Г р получить уравнение (21,22); В (з) здесь непрерывная функ- ция, если р'(х) непрерывна, так как 7аур Ф О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
