И. Петровский - Лекции (1120446), страница 31
Текст из файла (страница 31)
С другой стороны, для уравнений вида (14,24) справедливы доказавныо в 3 22 теоремы о существовании собственных значений и собственных функций, об ортогональности системы собственных функций и теорема о разложпмости (ср., например, мои «Лекции по теории интегральных уравнений», Гостехиадат, 1951, Я 11 — 14), Отс)ода прямо следуют тж)ремы о существовании и ортогопальностн собственных функций и теорема о раэложпмости, доказанные в 3 22.
Правда, для доказательства разложпмости функции 1(х) приходится при этом требовать непрерывность ее второй процзводной, чтобы можно было представить ее в виде (5,24) и применить теорему Гпльберта-Шмидта, Польауясь интегральным уравнением (14,24) для собственных функций уравнения (1,22) и основными теоремами теории интегральных уравнений с симметрическим ядром, можно дать обоснование метода Фурье для решения смешанной задачи для уравнения (1,21). Функцию Грина, сводяшу(о решение дифференциального уравнения к интегральному, можно определить и для других типов краевых условий, а также для уравнений со многими независимыми переменными.
Однако ее аффективное выражение удается обычно получить только для весьма частных видов уравнений и краевых условий. 1 251 ИЗУЧВИИВ КОЛВБАННЙ МЕМБРАНЫ 2О9 ГИПВРБОЛИЧВСКИВ УРАВИВНИЯ (га. 2 й 25. Изучение колебании мембраны 1. В 5 1 мы рассмотрелн в качестве примера урав- нение колебаний мембраны дси дси дси (1,25) 11усть в положении равновесия мембрана совпадает с некоторой ограниченной областью 6 плоскости (х, у) с кусочно-гладкой граннцейГ.
Тогда функция и(1, х, у), определяющая зтн колебания, должна удовлетворять уравнени1о (1,25) и начальным условиям и(0, х, у)=ур(х, у) (начальное отклонение), и, *(О, х, у) = рд (х, у) (начальная скорость), (2,25) когда точка (х, у) б 6. На гравице же Г областц 6 функция и(1, х, у) должна удовлетворять каким-нибудь граничным условням рассмотренного в у 1 типа. Иы рассмотрим простейший случай — мембрану, жестко закрепленную на красо, т, е. граничное условно и(с, х, у)=0, когда (х,у)ЕГ.
(3,25) Решая задачу опять методом разделенна переменных, положим и(1, х, у) =Т(1) о(х, у) АпаЛ»ГВЧНО ОДНОМЕРНОМУ СЛУЧа1О, ПОЛУЧИМ СЛЕДУЮЩИЕ уравнения для функций Т(1) и ь(х, у): Т'+ 1Т =- О, (4,25) даа дас —,+ —,+ и (5,25) Для уравнения (5,25) прн граничном условии (3,25) существует бесконечная последовательность собственных аначений, Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны между собой.
В отличие от случая одного независимого переменного некоторым собственным значениям может соответствовать не одна, а несколько линейно независимых собственных ф нкцвй. Такие собственные значения называются кратными. Всесда можно выбрать среди собствен- ных функций, соответствующих чанному собственному значению, такую конечиу1о систему линейно независимых н ортогональных между собой собственных функций, что всякая собственная функция, принадлежащая етому собственному значенп1о, выражается нх линейной комбинацией.
Совокупность выбранных таким образом собственных функций, соотиетству1ощнх всем собственным значениям, образует полную ортогональную систему функций о1 (х, у), о (х, у)... и» (х, у), ... Разж1жим функции рр(х„у) н о1(х„у) в ряды по функциям 1»(х, у)1 у (х, у) = ~ .4»о»(х, у), »=1 с 1 р1(х, у) = Х В„ор(х, у). » 1 Выберем два линейно независимых решения Т* (1) и Теа (1) уравнении (4,25) так, чтобы удовлетворялись условия Т (0)=1; Т" (0)=-0; Т*Р(0)=0; Т**'(0)=1. Ряд и(1, х, У) = 1' ,о»(х, у) [А„Т„'(У)+В„Т,",*(1)) (7,25) »=1 " представляет решение нашей задачи в том случае, если зтот ряд и ряды, полученные нз него почлехным дифференцированием по 1, х и у до двух раз вкл1очнтельно, сходятся равномерно. Доказательство возможности такого почвенного дифференцирования ряда вида (7,25) для гиперболических уравнений с любым числом независимых переменных дано в работе О. А.
Ладыженской а). Нахождение собственных функций уравнения (5,25) представляет собой для случая произвольной области 6 задачу весьма сложную. Р) бм. О. А. Л а д и ж е и с и а я, 0 сход»мости рндои Фурье, справен»и»них решение смсюаииой задачи иии сииербо11ичесиих урааиеиий, ДАН, 55, Ж 3 ~1Е52), 481 — -4И4. 14 и. г. псар»асина ГИПХРБОЛПЧБСКИК КРАВНХНИЯ (гл 2 бгункции Р! (х) и рг (У) предполагаются непрерывными и неотрицательными.
3 таком слугчае функции Х ( у) = гр (х)(г (у) обрагугют полную систему ортогональных и норми- рованных функций с весом р (х, у) р, (х) р (у) в пря- моугольнике а~ хч,о, с "у<аг, т. е. имеют место равен- ства а ь ~ ~ р (х, у) Х„ (х, у) Х . (х, у) егх оггу = с а 1 1 при и=п', т=л!', (9,25) [ О прин~и'или т~т', = ~ !т р(х, У) /(х, У) Х„(х, У)агхт(У, то для люб!6 непрерывной в рассматриваемом прямо- Угольнике фрнкции г'(х, У) справедли!о равенство Парсе- валя 1 ~ Р (, У) [.т'(х, УН' хбУ- Х Х о'- с а аг та ! (10,25) Мьт остановимся сейчас на двух частных случаях, когда собственные функьии уравнен! я (5,25), в свою очередь, могут быть набдены методом разделения переменных. Аналогично можно поступать и в соучае большего числа независимых переменных.
Эти случаи могут быть исследованы до конца сведением к одномерной задаче о собственных значениях с помощью следующей леммы. Лемма. Пусгпь ц,(х)„рз(х)... „!Р„(х), ... — полная систелга ортоеоналъных и нормированных с весом р„(х) функцггй на отрезке [а, 6). Л уст!о далее, для каждого п(п=1„2, ...) имеется полная система ортогональных и нормированных с весом рг(у) функций на Опрегке [с, тг] цт„(у), Фз.(у), . Ф .(у), - (825) 1 25) ИЗУЧВНИБ КОЛВБАНИЙ МБМБРАНЫ 21! Доказательство. Справедливость формул (9,25) очевидна. Для доказательства (10,25) положим ь ~ Р, (х) У (х, у) ца (х) б = ба (у). а Тогда очевидно, что в ь 1 р!(У)йс(У)ер .(У)бд-с.,., ~ р
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
