И. Петровский - Лекции (1120446), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Дейстевтельло, вз уел аи аси следует, что и — в — раевгз нулю ври х=О н х= «. ас тг этим, ие ураввеввя 11,21) получаем, что при х=О в х а'и аи С(х) —,+И(х) — +ус(х) и=-о, ахе ах т. е. Ь(те) =-О ври х=о и х=«. ") Ото гсоказательстло лриладлежлт О. А. О А и. Иарабавову, которые првпти к нему независимо 192 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ )гл. Е ОБОснОВАние иВтодА Фурье функциям Тй и Тй" функции и>й и ар»* удовлетворяют начальным условиям.
и>й (0) =- а', ш (0) †. Ь' и и„*в (О) = О, щйво'(О) = Ь* в, где а", Ь *, Ь"в — некоторые числа, не зависящие от Й. Для решенпй уравнения (6,23) мы можем написать интегральное уравнение вида (25,22), Пользуясь этим интегральным уравнением, мы можем, аналогично тому, как это сделано в Ь 22, получить оценки для йэй и и>»* и их производных, Прн этом для функпи»! Тв(г) и Твв(!) при достаточно больших Й мы получим следующие оценки: й (7,23) где Лх > 0 †некотор постоянная, Оценим теперь коэффициенты Фурье функции 7 (х): ! ! Ай= ~ р)ооХ»»(*= 3 уо» !»х= — ~ —.
Т (9 ) Х»!(х. Г в' >Х») 3 ' »й ) 'й " о о 'о (3,23) Последнее равенство мы получили, интегрируя два раза по частям и учитывая граничные условия !Р„(0) = ро(!) = =Хй(0) =Х (!) =О. Из равенства (8,23) получаем: ! А ) р ~ Х Г Х (тв) о т. е. )„Ай суть коэффициенты Фурье непрерывно дифференцируомо)) функции Н(х) =- — — т'), удовлетворяю)цеу! условвям Н(О) =-Н(1) = О.
Из теоремы и. И Ь 22 следует равномерная сходимость ряда х~> )).й Ай~)Х ~. Ыз неравенства (33,22) легко й.= ! получаем сходнмость ряда ~~~ »»А». й-! Оценим теперь В» — — ~ рт»Х»!)х- Пользуяс! пением (»,22), интегрируя два раза по част вая гранвчиые условия р»(О) =-"р»()) = Ха(О) получим: ! ° Е(т) =)'"~ '= ') \ „ 3 о о где рй — коэффициенты Фурье непрерывно ))! (х) = — — т' . В салу равенства (35,22) им ! р вв У е,. й-! о Пользуясь оценками (7,23), (29,22) и учить леш»о показать„что абсолютная и равноме мость ряда (12,21) и рвдов, полученных члениым дифференцированием по е и по з включительно, слодует нз сходимостп числов Я )»»~~А„~+~В»))>)»„~, так как прп достаточно больших й члены эт модул>о пе превосходят членов ряда М, Е 1),,)1А„~.)-~В,~Ь'Р.„~, й ! где М вЂ” некоторая пололснтельная постоян 1 О доказать сходимость ряда (9,'3), заметим, что точно больших и в+>в в йвв й и й и' Г <1/ ч А„), ","„— '+~/ й.= в й=в й в »- Здесь мы воспользовалпсь неравенством Ко И.
Г. Пвврввсвйа ГНПВРБОЛНЧЕСКНВ УР*ВНЕННЯ (гл. 2 овосновАнии метОдА ауРьи (94 димости рядов ~~ Азль', '~~ — и 'Я роз и неравенства ь-г к-г ь-г (10,23) следует сходнмость ряда (9,23), Этим теорема доказана. 2, Покажем теперь, что смешанная задача для гипер- болического уравнения вила (1,21) имеет единственное решение.
В т 18 мы доказали уже единственность реше- ния смешанной задачи для волнового уравнения. Интегрируя по частям, легко убедиться, что для любых двух дважды непрерывно дифференцпруемых в Цт функций и ((, х) и о ((, х) прн 0 < Т, < Т имеет место формула ~ ~ ( о ~ А (() †,," + С (х) †"., + .0 (()' †" + й'(х) †" + цт, +(р ()+р ( „)) ~ „~ дь(А(г)ег дз(С(х)е) дгг ' дхг д (Е> (гг о) д (Е (т) гнг = ~ ~оА(г) —.— и — +Био~ г(х— ди д (Ае) дг дг г=т, о — ~ ( вА(()= — и.— +био~ я(х+ ди д (Аю) дг ' дг г=о о 3'г +~ ~БС(х)-- +~-1 ~- ди д (Се) дх д* х г тг — ~ ~ БС(х) —.
— и — +.Епв ~ г((. (11,23) ди д (Се) дх дх х о о Пусть п((, х) удовлетворяет в Цт уравнепнго (1,21) и условиям п(0, х)=0, и,*(О, х)=0, п((,О)=0, гг((,()=0. (12,23) Покюкем, что прн атом п(е, х)=0, Предположим противное. Пусть и((, х) отлично от нуля в точке (Т„, х,). Применим формулу (11,23) к функ- ии н(т, х) и функции г (», х), которую выберем так, чтобы она удовлетворял» в Цт, уравнению дг(А(г)с) дз(С(х)е) д(Х>(г)е) д(Е(т)о) дя дхх дг дх + (Рг (() + Ге (х)) о = 0 (13,23) и условиям о((, 0)=О, о(г, ()=О, в(Т, х)=0, сг(Тг,х)=а(х), (14, 3) где а(х) — гладкая неотрицательная функпия, отличная от нуля только в малой окрестности точки (Т„х,), в которой и ((, х) сохраняет знак. (;ушествование функции в(», х) следует из предыдущей теоремы, так как уравнение (13,23) имеет вид (1,21).
Легко видеть, что в силу условий (1,21), (12,23), (13,23) н (14,23) левая часть равенства (11,23) равна нулю, а правая часть равна ~ — и (Т„х) А (Т,) а (х) я(х — ' О. о Полученное противоречие показывает, что п=О. 3 а д а ч а, Цоьагките непрерывную зависимость решения смешанной задачи для уравнения (1,21) от начальных условий: решение и(0 х) уравненил (1,21), удовлелгяорякгщее условиям (1,23) я (2,23), будет ло лгодгулкг ( доя г сколь Уеодна малым в Цт, если ~ Ро(х)(, ~ — ' и ((гг(х)~ достаточно лальг длл всех х на отрезке [О, ).
Для доказательства етого утверждения нужно воспользоваться оценками (7,23), (29,22), равенством (35,22) для функции рг(х), неравенством (33,22) для функции СО ( р,(х) и сходимостью ряда У вЂ”. г гь' ь Замечание. Легко показать, что если п((,х) удовлетворяет в Цт уравнению (1,21), начальным условиям (1,23) и граничным условиям (2,23), то интеграл ') ') рггз((, х)с(хае пт гггпвгволичвскив твавнвния (гл. 2 39с оксенов»нив мвтода отвьв будет сколь угодно малым если Р) ргргг(х) г(х и ~ ррг(х)г( е о достаточно мали.
Действительно, и(», х) в виде ряда представлением воспользовавшись (12,21), получим: ~ ~ ри» (~, х) ггх сг г = Ит = ~ ~ р ~ '~~ Х (х) А»Т» (г)+ ~ Х»(х) В»Т» (г) ~ г(хсзр< цт »-г ~2 г) ~ Р ( '~~ Х„(х) А»Т»'(Г) ) ггхсМ+ цт» =-! + ~ ~ Р ~ х„г Х» (х) В»Т» (г)) ггхй. ~, цт»=г ОЭ Х ! г ~': 2 "гг~ 3 к=гг ) юггсгг~гг.~ю ггг »-г »-г о где К, и К,— некоторые положительные постоянные, не эавксяшве от тс и тг. Прн выводе этих оценок мы воспользовались элементарным неравенством (ах гг)' < 2а'+2бг, ортогональностыо собственных фуикпий с ьессм р (х) „которые предполагаются нормироьаннымн, ограниченностью функций Т„" н Т,*; и равенством Парсеваля.
3. Если начальные функции т,(х) и грг(х) не удовлетворяют условиям, сформулированным в теореме настоящего параграфа, то может не существовать дважды непрерывно днфференцврусмое в Цт решение смешанной задачи для уравнения (1,21), Однако если о„(х, '— непрерывно двфференцируемая функция, обращающаяся в нуль при х =. О н х =.. У, а е, (х) — непрерывная фунгсция на отрезне (0,1), то ряд (12,21) равномерно сходится н определяет в Цт некоторую нелрерывнуго функцию и(г, х). Функпия и(т, т) будет прн этом обобщенным решением смешанной задачи для уравнения (1,21), соответствующим начальным условиям (1,23) и граничным условиям (2,23). Функцию и(г, х) мы иаэываем обобщенным решенчем уравнения (1,21) с начальными условиями (1,23) и гра- ничными условиями (2,23), если и(г, х) является преде- лом в Цт при и -+ со равномерно сходящейся последо- вательности и„(г, х) решений уравнения (1,21) с гранич- ными условиямн (2,23) и начальными условиями „(О, )=Р~(*), агг„(о, ) аг =гр (х, и при и-» со г ,Р (х))»г(х и $ Р(гр (х)-'Р" (х)) ох о стремятся к пулю, Покажем, что если гр (х) — непрерывно дифференцируемая функция, обрапгающаяся в нуль при х=.
О н х=1, а ег (х) — непрерывная функция на (О, 1), то уравненшо (1,21) с условиями (1,23) и (2,23) соответствует единственное обобщенное решение. Существование обобщенного решения вытекает нз того, что частные суммы ряда (12,21) образуют последовательность и„(г, х), которая удовлетворяет требуемым условиям, и следовательно, ряд (12,21) является обобщенным решением. Покангем теперь, что обобщенное решение единственно. Если бы двум различным последовательностям функция Рг(х), гр(г'(х) и Р,(х), о, (х) соответствовали бы две различные предельные функции и (1, х) и и (г, т) для последовательностей и„(г, х) и ич(1, х), то ~ ~ р (а — и)» г(х ~й = цт ~1р((гг я)+(„и)+(гг„п)) И а~ цт ~3 ~ ~ Р(п — п„)еггхггг+Р 3 ~ ~ Р(пэ кч) о + 'гт цт +3~~ Р(а„— гг)г~(хйс (1323) 1эк ГИПКРВОЛНЧКСКНК УРАВНЕНИЯ [га.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
