И. Петровский - Лекции (1120446), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Решение уравнения (21,22) мы должны искать на ни. ° Гр тервале 0 < з < 1„ где 1, = ~ ~,' †" а(х. Краевые условия лляи(з), как легко видеть, останутсятеже, чтои для Х(х): и(0) =О, и(1,) =О. Вели Х„(х)-собственная функция уравнения (1,22), со- ответствующая собственному значению а„, то этому же ГИПРРБОЛИЧЖСКИВ УРАБЦКНИЯ (Г»к 2 овжив своиствА совстввнных Финкции озз собственному значению соответствует собственная функция и„уравнения (21,22). Если ! ~рХ'.
( =1, о то, как легко убедиться, ц ~ и.» (г) г»г = 1. (23,22) о Дадим асимптотические формулы для ио (г) при л-«оо. Так как нао интересует поведение и„(г) ири больших л, то на основании (19,22) мы можем рассматривать только положительные )„. Рассмотрим неоднородное уравнение относительно функции з(г) «" + йз = Л (г) и, Ь > О, (24,22) где и(г) есть решение уравнения (21,22) цри том же Х. Оно имеет общее решение з (г) =- С, соз )/7 г+ Со з1 в )Г 'А г ф » -~- — ~ гг (т) и (т) з(п ~'Г(г- т) Ыт о). Г'Т 1 Если положкть С, = и(О) н С ==, то г(г) будет при , ш> Ь~ А г =- 0 удовлетворять тем же начальным условиям, что и и(г). Позтому в силу теоремы о единственности решения задачи Коши для уравнения (24,22) з(г) будет то»кдественно равно и(») и мы получим для и (г) интегральное уравнение ц'(О) и (г) = и (0) соз ) ' А г -~- — '=- з1 г» 'Р > г + Р' Т в + — '» )т (т) и(.) з1п )'А (г — с)»(т.
(25,22) о ») Ом., например, мои «Лекции по теории обмкиоиеиимх диф. ференц,вольных уразнеиий», Гоотохиадат, 1952, отр. 156, Пусть теперь й совпадает с и-и собственным значением; ин(г)- решение уравнения (21,22) при й = А„, удовлетворяющее начальным условиям о „(0) = — 0; Р'„(0) = 3~Т„. Такая функция к„(г) будет удовлетворять интегральному уравнению ,;„р Г,+ ' ~ Л() н()ш ~'>,(г- )4. (26,22) С точностью до знака она отличается от нормированной собственной функции л„(г) только мнолигеелем: ) о,', (») ог Э В дальнейшем мы покажем, что д» .)/" Докажем прежде всего, что все функции ак(г) ограничены некоторой не зависящей от а константой.
Для итого обозначим шах ~ о„(г)1 прн 0 ~г я; (, через Р1„. Тогда из уравнения (26,22) имеем: 1 (г)! - 1 + †' — М. 1 !17 (т)1 (о о и„следовательно, М„<1+ р н ~ 117( )!4т. Р' Ан о Аг ~ ~ =1 ~-О~ 1 ~, (27,22) н 1 — — — » ) к(») ~ г» Ъ "и о Так как ) — «оо при я- оо (см. и, 7)„то зто неравен-. ство доказывает ограниченность функций о„(г). ГИПЯРБОЛИЧВСКИВ УРАВНИНИЯ (гл. 2 (86 Нам надо доказать, что о'„-! 0 прн !т"-ь со, Так как рэ!и (х) !~х = 1 и так как, кроме того, ! ~ р.р, (х)Х„(х)с( =0 ( = !, ..., Л!), о то рх(х) является одной из допустимых функций вариа- ционной задачи, рассмотренной в и.
3 этого лар ф *). того параграфа Значение минимума 6(Х) для этой задачи равно )н », следовательно, я+ 6 (еэ ) > ),л+ », Вычислим теперь 6(!рч). Пользуясь обозначениями преды- дущего параграфа, найдем: ! 6(рт) «« ~ (гор(»+ ррт)!( = —, ~УЙ+ Ик)с(х«« о и — — ~ ~ р ( )" — ~', С„Х,', ) + д( ~ — ~Ч~ ~с„Х„) ~ !»х = и о «=- ! «-! 1 !т л = — ] 6 (,») — 2 Я с«6(у, Х«)+ ~~»,' Я с„с„6(Х„, Х ) ] > »» ! ! ~«=! я+1 (32,22) На основании теоремы 3 з 22 имеем: 6(~, Х„)=),,с„, 6(Х«, Х„) =6„(Х„) =).„, 6(Х, Х«)=0 при и — 'и, Подставляя найденные значения функционалов в (32,22), получим: М ~, ] 6(й-,у',) 4~ >).
„„ ') СР примечааие ва стр. (т), ) 22) овщив сзоиствх совстзянных эункции тз откуда С[))- Х)«с», бф »и+ ! (33,22 где о,-любое заданное положительное число. Пусть, далее, !»! выбрано настолько большим, что л ~ р (х) ]»!о (х) — У с*„Х„(х) ] !(х «.. оо; о «! с' — коэффициенты Фурье для )о(х).
Тогда ] р(х) ~)(х) — Я с«Х«(х)1 с(х 4 о «=! ! ! ! < '] р(') Г]((х) —,Г" (х)(+()'(') Хс»" Х (х)]1 )х < 'О -! я < о, + оо + 2 ~ р (х) ( ) (х) — ~«(х) ] ( ) (х) — ~ с,', Х„(х) ] !(х < о «=! с о! + оо + 2 ]' о, ео. Согласно (»9,22! Существует только конечное число отри ! цательных ),„. Поэтому числитель правой части (ЗЗ,' 2 ограицчеи при всех !!'. Так каь" )н+! -+ао прп !(! — «Сс то ото!ода следует, что йл-«О при Ж вЂ” со, т. е. ряд (30,22) сходится в среднем для всякой днфференцируемон функции, обращающейся з нуль в точках х -0 и х««! Чтобы освободиться от ограничений, наложенных н у (х), заметим, что для всякой кусочно непрерывпон фун»опии ) (х) с интегрируемым квадратом существует непрерывно днфференцируемая функция )'о (х), обраа(аю шаяся в нуль на концах отрезка (О, !] н такая, что ') о [! (Х) !~ (х)]о»ХХ С е», о 1ЗЗ (гл.
2 то и 1-а /и,а ч' ) ~„Х„) М,. М ~/ ~~, со = ~ р (> (х))«дх »-! с 1 1 то — < — „, н Ль егяа-е оа р лгобого «> 0 при жительком э ияа оо г лютно и равномерно. ГИПВРВОЛИЧВСКИВ УРАВНВЫИЯ При оценке последнего интеграла мы воспользовались неравенством Буняковского.
Таким обрезом показано, что для всякой интегрируемой с квадратом функции /(х) существуют такое >о> и такие е„, что 1) Р(х)[/(х) — ч>" е„Хи(т) ~ дх (34,22) о и 1 как угодно мал. Но известно (см„например, моя «е«екцнн ио теории интегральных уравнений», Гостехиздат, )954, стр. 66 — 67), что интеграл вида (34,22) принимает наименьшее значение, когда с суть коэффициенты Фурье для функции /(х).
Поэтому, если в (34,22) за е„ взять зтн коэффициенты, то величина интеграла (34,22) не увеличится. Пользуясь ортогональностыо функций Х„(х), нетруди а»-грг>г*>>'а — те»о> р и 1 ство Бессерчя), где с„- козффнциенты Фурье для функции /(х). Следовательно, условие полноты системы функцяй может быть записано в виде след)тощего равенства:. (равенство Парсеваля).
$0, Докажем теперь следующую основную теорему: дяя не>грерывно диффере>гг)ггруемой на отреэне (О, г) функ>гни /(х), обреа>а>агг>ей«я в нуяь на хоиг>ах отрезна (О, г), ее «ряд Фурье» (30,22) сходится и етой функ«гиге абсояютно и равномерно. Достаточно показать, что этот ряд вообще абсолютно и равномерно сходится, Действительно, так как этот ряд сходится ов среднем» к 1(х), то, сходясь равномерно, он яе может иметь своим пределом никакую другую функцию.
Пусть и настолько велико, что 1„> 0 при н»го а 22) ' ОВШИВ СВОИСтВА ООВСтВВННЫХ артНКЫИИ Воспользовавшись неравенством Коши, и для н .и написатта (ЕАХ«~ = У. ~ еП' >»1 ~ =. р>, > >р=!р >а и / и+а л=ио Применим теперь для оценки первого множнт венство (33,22), а во втором вынесем за зн шах(Х (х)~ дХ. з,ч Так как нз неравенства (33,22) следует, что ао о=и« ~ с~~ >.„< С (/) + ~~", с» г) й ) ~, 'М,', и рро Л 1 Так как согласно (>9,22) л„> е,й«+с, ряд ~" — сходится. Следоват 1 лл "о достаточно большом и н лю и та и поэтому ~~ (с, Хь( < е, т е.
ряд Х сьХА(*) " ГИПЕРВОЛИЧВСКИВ УРАВНЕНИЙ (гл. 2 ОВООИОВАние мвтодл сьугьв й 23. Обосновагггзе метода Фурье 1. Рассмотрим уравнение (1,21). Будем предполагать, что коэффициенты этого уравнения трижды непрерывно дифференцируемые функции в сттб А («) > а, > 0 и С(х) -; се с' О, т, е. уравнение (1,21) гнперболнческоее), Будем искать дважды непрерывно дифференцнруемое в Пт решение уравнения (1,21), удовлетворявшее начальным условиям (О, ) = ре(,), гс;(О, х)=~,( ) (1,23) и граничным условиям и («, 0) = и («, 1) = О. (2,23) й(етод Фурье приводит и рассмотрению ряда (12,21) (см. 2 21).
Функции Х (х) являются собствепнымл функциями уравнения ('1,22). Пусть Т (1) ==(И')' — И. Тогда уравнение (1,22) можно зацнсать тан: 1. (Х„) = — >ьрх„. Теорема. Если гу (х) имеет на отрезке [О, «) непрерывную производную третьего порядка и удовлеисво'- ряет условиям 3г =- Е,ф,) =0 при х=0 и х=--1, (3,23) а «с (х) имеет на этом отрезке непрерывную производную второго порядка и удовлегсгворяеиг условиям чгг=О прп х=О и х=«, (й 23) то угункс)ия и(«, х), определяемая рядом (12,21), и,чест непргрывныс производные атарово порядка и. удовлгспворяет в Цт уравненлно (1,21), ссачояьным условиям (1,23) и граничным условиям (2,23). сэр«с етом возможно почленнсе диусЯеренс«ссрованив рлда (12,21) но «и х до двух раз е) Легко лровервть, что все теоремы 1 22 и осковвал тсорема 123 справедливы, если С Сх), А (с) — деажлы лелрерыено дкффереидлруелсы, «с(с), Е(х), гг(х) вмюот певрерыввые лровееолеые ссерлого порядка, а сг(с) — лелрерывла, включительно; полученные шалим образом ряды сл обсоЯютно и РавномеРно в Цте).
Д о н а а а т е л ь с т в о е е). Ре с смотрим ряд (12 строенный в $ 12: и(х, «) =- 2с Хь(х) [АьТь(«) +Ьь Те~си]. ь г с Здесь Ь(Хь)= — )ьэХь, ~ Хь(х)дх=1, о Аь =- ~ (гэеХь дх и Вь = — ~ гг)гсХь Ых. е е Функции Ть и Т„е явлшотся решениями уравнен при й = 'ьь и удовлетворя«от на~альным успев ат„* со> Т„(О) =-1, — „", =О. дтье* СО) Т,*"(О)=О, — "„ Заменой переменных, апалоглчной (20,22), м привести уравнение (6,21) к внду иг" + ),ьш =- гс (з) ич Так кан прн этом Т(«) =вг(«)ю, где (г(«) есть рая функция, не завнсягцая от й, то соответс ь) Условия (3,23) и 14,23) лвляютсл необходимыми длл сутестеоеавкя е Цт дважды велрерывно двфферел 1 реюевил поставленной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
