И. Петровский - Лекции (1120446), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В этом случае л,=о~„— ', ') ь„= о~) )*), 2. На практике при применении метода Фурье обычно не заботятся о том, чтобы ряд (10,20) можно было диф- ') Через О!Р(и)) мы обозначаем такую функиию ф(и), тто Р (и) отнсгаенит — остивтгн ограниченным нрн и — ~.со. Эти оценки Р )и) легко получит», преобразуя козффниненты Ад п ттд интегрированием ио частяы.
ференцировать почлеино два раза по х и по г, Довольству!отея только тем, чтобы функции Р и й, были непрерывными вместе с их первыми производныыи н чтобы сами эти функции обращалнсь в нуль на концах интервала (О, !). Это, как ыы виделн, обеспечивает разнопер иую и абсолютную сходнмость ряда (10,20) на всдм прямоугольнике Цт, Если при заданных ю и р! на прямоугольнике Цт существует непрерывное вместе с его производными первых двух порядков рещение и(ц х) рассматриваемой задачи,то последовательность частичных сумы 8„(ц х) ряда (10,.20) сходится к нему равномерно иа Цт, Действительно, из теории тригонометрических рядов известно, что ряд Фурье для всякой функции с интегрируемым квадратом сходится к ией в среднем. Поэтому из самого построения ряда (10,20) следует, что ~ [81„(0, х) — !Рс(х))тс(х — ! 0 и ~[Ю(,(0, х) — ср (х)[тс(х — »О с 3 при й-» со.
На основании замечания 3 к З 19 отсюда следует, что равномерно на Цт Юд(г, х) — »л(ц х). 3. Каждая из функций лл йл дл ид (Г, х) Хд (х) Тд (Г) = з) — х (л1« соз — Г + Вд з)в -)- » ) = =С„зпл —,'и з)а-,'(8+С») (йие1, 2, 3,...) описывает так называемые «собсижеккые яое»ебанпя» струны, закрепленной на концах. При собственных колебаниях, соответствующих Й = 1, струна издает основной, самый низкий, тоа. При колебаниях„соответствусоших ббльшим й, она издает более высокие тони, «обертоны», Если струна колеблется но закону и дл . лл (г х) ~ Сд зсп х з)п ! (т' + гд) д ! то она одновременно издает звуки разных высот, соот.
ветствующих отдельным членам отой суммы. И. Г, Петре»«ии» ГИПНРВОЛИЧРОКНЕ УРАВНЕНИЯ (гл. 2 162 овшип метод Фугьэ 1 211 з 21. Общий метод Фурье (предварительное рассмотрение) где коэффициенты А, С, Й, Е, Р„Р, — достаточно гладкие функции, причем А(() > а«> О, С(х) < с, ° 0; здесь аа н с„— постоянные. Предположение, что одни из этих коэффициентов зависят только ст (, друш(е — только от х, д«в а коэффяпнент при — равен нул(о, определяет класс ва»«и гиперболических уравнений, длн которых смешанная крае- вая зачача может быть решена методом Фурье. Пусть требуетья найти дважды непрерывно дифферен- пируемое решение уравнения (1,21), удовлетворяющее начальным условкям и(0, т)= ра(х), и;(О, х)=~у,(х), (2,21) и краевым условиям Ааи ((, О) + Ваи,,* ((, О) =- О, А,и((, () +В«и'((, 1) =О, (3,21) где постоянные А„, Ва, А„В, таковы что А,'+В,', та О и А',+В,* О, Реаультатм В.
А. Стеклова валожс»»н в его кваса «Основныв задача ватеяатвче«кой фнавкн», Петроград, 1922. Метод Фурье (иначе называемый методом разделения переменных) для решения смешанной краевой задачи применим только к некоторому специальному классу линейных уравнений второго порядка, хотя задача разрешима для значительно более широкого класса уравнений. В настоящем параграфе мы дадим изложение метода без строгого обоснованна полученных результатов. Обоснование метода Фурье будет дано в последующих параграфах. Впервые строгое обоснование метода Фурье было дано В.
А. Отекловымв(. Итак, рассмотрим гинерболнческое уравнение вида: А(т) — „., +С(х) —, + В(() — + Е(х) — + + (Р„(()+Ра(х)) и=-О, (1,21) Будем, как в примере 5 20. пш,ать сначала нетриви- альные решения уравнения (1,21) вида и((, х)=Т(().Х(х), (4,21) причем потребуем от этих решении, чтобы онн удовле- творяпн краевым условиям (3,21), не заботясь пока об удовлетворении начальных условий. Если такое решение существует, то, подставляя его в (1,21), получаем уравнение, которому необходимо дол- жны удовлетворять функции Х(х) и Т(()« А (() Т'Х + С (х) 1 Х" + В (() Т'Х + Е (х) ТХ' + + (Р«(«) + Ра(х)! ТХ = О. Так как функция Х(х) не тождествекно равна пулю, то найдется точка хв такая, что Х (х ) чь 0; при всех ( должно выполняться равенство А(() Т.+ В(()Т -, Р,(() Т= С(~~) Х" (х,(+ В(» ) Х' (а,) Э д,(~ ) Л;(в,( Х (х») где 1« — некоторая постоянная. Точно так же получим, «то функция Х (х) при всех х должна удовлетворять уравнению С (х) Л '-~- Е (х) Л + Р, (х) Х =),а Х, где Аа — постоввнаЯ.
Так как длн всех точек х п (, где Х(х) ~ 0 и Т(с) —; О, А (() — + Ю(() — + Р„(() = — — — С (.в) — — Е (х) -" — — Ра (х). (5,21) то )«= — 1 = — ):., н мы получаем для функций Х(х) и Т(() следующие уравненвя: А(()Т + В(()Т'+ Р„(() Т+ЛТ=О, (0,21) С (х) Х + Е (х) Х' + Р«(т) Х вЂ” Л.Х = О. (7,21) Так как Т(() «р«0, то двя того чтобы функция (4,2() удовлетворяла краевым условиям (3,21), необходимо 11» ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ !гл. З евший метод ФуРье 2!1 выполнение. условий Л,Х(0) + В Х'(0):= О, л,х(1)+В,х (1)=о. (8,2Ц Нахождение нетривиальных решений уравнения (7,2Ц, удовлетворяющих условиям (8,2Ц, называется задачей о собсжеснимх зиатсяилх.
Эта зад, ча не при всяком !: имеет отличное от тождественного нули (нетрнввальное) решенне, Те значенля 1, яри которых сущеотвует нетрн- виальное решение, называ!отся собстоскнмзси зло»слил.яв (числами) этой задачи, а само нетривиальное решение называется собс!военной функцией, соответствующей дан- ному собственному значешпо. Совокупность всех собствен- ных значений называется с!!Ектпро,и данной зздачн. В следующем параграфе будет показано, что собствен- ные значения нашей задачи дредставляют собой беско- нечную последовательность 1, )!»,..., >»,...
Каждому собственному значешпо А„соответствует соб- ственная функцня Х„(!), которая, в сллу однородности уравнения (7,2Ц и условий (8,2Ц, определяется с точ- ностью до произвольного чнслового множителя. Выберем этот множитель так, чтобы ~ р(х) Х1(х) дх 1, (9,2Ц о где р (х) > 0 — некоторая фиксированная для данного урав- нения функция, которая будет определена в следующем параграфе, Далее будет показано, что собственные функцнн, соот- ветствующее разным соб!твенвым зна~!опиям, »ори!озонов»- ям с оесол р», т. е. удовлетворяют равенствам р(х)Х (х)Х,(х)сх=о при йУ»1.
(10,2Ц Для каждого собственного значения А» решаем урав- неипе (6,2Ц. Общее решение уравнения (6,21) прн »= А» (обозначим его Т»(!)) представляет собой произвольную лвнейную комбинацию двух каких-либо линейно незавн- снмых частных решений Т»(с) н Т»»" (!): т»(!) =с!Т»(!)+с,т»*(!).
!(одберем Т» и Т»" так, чтобы опи удовлетворялн следуюшпм начальным условиям пря 1= 0 т' (о) = 1; т»' (о) = о; ) ( 11,2Ц тГ(о) =о: т""'(о)=1, ~ н положим и»(1, х) =-Т»(!) Х»(х) Функция и (г, х) прн л!обом к удовлетворяют уравне» \ нню (1,2Ц и краевым условиям (З,.Ц. Чтобы удовлетворить начальным условиям (2,21), составим ряд (Г, )= Х Х (х)(Л»Т»(Г)+В»т»" (1)). (122Ц Если этот ряд сходится равномерно, так же как к ряды, получа!ошиеся из него дьукратиым почленным дифференцированием по с и по х, то сумма его, очевидно, будет удовлетворять уравиеняю (1,2Ц и краевым условиям (3,2Ц.
Для выполнения начальных условий (2,2Ц необходимо, чтобы и (О, х) =- Х Л»Х»(х) ='Ро(х) »-! и,'(О, х) = ~ч„'В»Х„(х) = у,(х), (14,21) »-! Предполагая, что ряды (13,2Ц н (14,2Ц сходятся равномерно, мы можем определять коэффициенты Л„ н В„„умножив обе частя равенств (13,2Ц н (14,2Ц на РХ (х) н проинтегрировав по х в ннтервале от 0 до 1. В силу (9,2Ц и (10,2Ц мы получки ! Л вЂ” ~ р(х) ро(А) Х (х) с(х, з ! В ~ р(х) р! (а;) Х (х) ох. гнпагволнчзскнк уРАВнкння (гл.
2 166 он|див свснствА совстввнных Рункннй 167 1 22) Подставив такие значения козффкциектов в ряд (!2,21), мы. очевидно, получим решение нашей задачи, если ряд (12,21) н ряды, полученные из него почленныи пнфференцнрованием по х и по г до двух раз вкл|очительно, равномерно сходятся. Замечание. Мы указала обшую схему применения метода Фурье к решеншо смешанной задачи для уравнения (1,21); зта схема применима также н в случае многих пространственных переменных для гиперболических уравнений специального вида (см. $25).
й 22. Общие свойства собственных функций и собственных значений 1. Для исследования свойств собственных функций и собственных значений покажем прежде всего, что уравнение (7,21) С (х) Х" (х) + Е (х) Х' (х) + Е, (х) Х (х) — ХХ ( т) = 0 предыдущего параграфа можно привести к виду 1р(х)Х (хн — 1(х)Х(.)+1рХ(х)=О, (1, » умножив его иа подходящим образом подоорапяую функци|о от х. Во всем дальнейшем будем предполагать, что С(х) < < с О, где с,— постоянная. Умножив тогда (7,21) на р(х), получим; РСХ" -Л РЕХ'+ РЕлх — АРХ = О, Для того чтобы первые два члена можно было записать в виде (р (х) Х')', должно быть ЬС)' = 6Е, Определив р(х) из етого диффервнпиалвиого уравнения, получаем: С р(х)=е' > 0 А,Х(О)+Е,Х (О) =-О, А,Х (()+Е,Х'(1) =О (2,22) где А ЧЕ Фо 1+В Фо Теорема 1 Есж Х (х) и Л (х)-собственнлтфунн иии, отвечаюи(зе одному и тому оке собственному зниче- 'А, в|о Х (х) =СХ.(х), еде с — яостолнная, Дейстзптельно, так как Х„(х) н Хл(х), по пр дп жеиию, удовлетворяют условиям А,хл (О) + Евх,'(О) = О, Авхз(О) +ЬеХл(О) =О и А'+В" чь 0 то определитель Вронского ч 9 х, х,~ Х; Х',~ решений Х, н Хз уравнения (1,22) в точке х= о обрашается в нуль, и следовательно, функции Х„(х) н Х,(х) линейно завпсимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
