И. Петровский - Лекции (1120446), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

точках прямой х-с 0 эти решения имеют разрыв. Ф ння ) Й. С. Березин, 0 задаче Кони Лля линейного урзэизл Второго парника с нзчальныни нзннымн на линии пара олнч"остп Матам, сборник, 24 (66): 2 (!04Е), 301 — 320. 1 1п( ОВЗОР ОснОВных ФАктОВ В теОРии 3АЛАчи коши 1А1 гипвгволичвскнн РРАвнения 140 !гл. 2 Для нелинейного уравнения ди, ди и — + —,=0 а ш= (11,16) Рпс. 7, Рнс. 6. прямыми х — З = 0 и х + 1 == О, покрываются проекциямп зтих характеристик дважды и притом с разлнчнымн значениями и (рис. 6). Отсюда легко видеть, что решение и(т, х) в точках, лежащих между прямыми х — с=О н в+ (=-0, не может определяться однозначно по начальному условшо.

г.'слн и (О, х) =- ф (х), то проекция характеристик уравнения ('11,16), проходящих через точки (О, х, ф(х)) в пространстве (1, х, и), покрывптот только точки, не принадлежал(не области ~1 (рис, 7), т. е. решение не может быть определено по начальному условито в точках, расположенных ме1кпу прямыми х — (=0 н в+ ( =-О. Таким образом, чтобы 'однозначно определить решение задачи. Коши в полуплоскости 1> О для пез ~ нейного т) Хнрнктсрнсттеа уравнения (11,16), прехепнптпя чсгсз теюсу (0,мь и(0, тс)1, звдздтсн урявненняки и=и(о,ней «=и(0, т„1~+ се. Ом . 11...Г: Петровсйнй, Ленпнн по тзорнп обынпевенныт дифференцнзньных уравнений, 1'естехнздат, 1863, 1 86, решения задачи Коши с начальнымн условиями (9,16) и (10,16) не определены однозначно даже з сколь угодно малой окрестности прямой г = О, на ноторой заданы начальные условия.

Действительно, проведем в пространстве (», л, и) через точки (О, л, н (О, х)) характеристики уравнения (11,16), Этн характеристики являются прямыми, параллельными плоскости (ц х) н). Если к(0, л) =Р(В), то проекции зтях характеристик на плоскость (1, л) покрывают все точки полуплоскостн з > О. Точки области (), лежащие между уравнения (11,16) с начальными условиями (9,16) или (10,16). Необходимо по-новому поставить задачу Коши, Для гиперболической системы уравнений, описыватощей одномерное движение газа.

для этого вводятся дополнитепьные соотношения меткду искомыми функциямп на линиях разрыва. Ота система гиперболических уравнений была исследована Римановтн). Однако не все указанные Риманом дополнительные условия на линиях разрыва выполняются для реальных физических процессов. Соотношения на линиях разрыва для этой системы гиперболических уравнений были правильно указаны Гюгонио**). Эти соотношения можно получить, решая систему уравнений, описывающих движение газа с учетом вязкости н теплонроводностн, и устремляя коэффициенты вязьости н теплопрозодности к нулю. Учет вязкости и теплопроводности соответствует введекшо в систему уравнений первого порядка производных второго порядка, содержащих в качестве нозффицнента малый параметр, Можно определить решение задачи Коши длн уравнения (11,16) с начальным условием при (= О нак предел при з, стремящемся к нул1о, решений уравнения дти ди, ди з — =и — + —.

(з > 0) днт дт дт с тем же начальным условием прк ( = О, Прн этом решение задачи Коши может быть разрывной функцией. На линии разрыва решения уравнения (11,16) будут выполняться условия л(З, в+0) < п(г, х — 0) (1 > 0), дн и(к т+О)+и(т„т — О) дн где „вЂ”, — тангенс угла между касательной к линии разрыва ~) Б.

Рнизн, 0 распространении воздушных полн с конечнен нннпнтудев. Сечнпеснтя, Гестехнздат. !848. "") Сн Я. Б. 3 еньдовнч, Теорпя удярных волн н введение в гззеднщышну 14т гипврволичвскив тРАвнвния (гл, 3 вввдвнив и осью К и(х+ 0), и(х — О) означают соответственно предел справа и предел слева в точке х фувкпни и(х). Решением задачи Коши в новой постановке для уравнения (11,16) с начальным условием (9,16) является функция и(1, х), равная 1,. если х < О, н равная — 1, если х) О.

Решением задачи Коши в новой постановке с начальным условием (10,16) является функция и (г, х), равная 1, если х — г > О, н равная — 1, если х+~ < О. В каждов точке полуплоскоств г > О, расположенной в области ф, й Рис. 8. т. е. между прямыми х — С = О н в+ 1= О, функция и (Г, х) равна тангенсу угла наклона к осн Г прямой, соединяющей данную точку с началом координат. Расположение проекций характеристик, лежащих на этом решении, указано на рис. 6. Построенная функция и(~, х) непрерывна при г )О, Интересно отметить, что в указанной постановке задача Коши может иметь гладкое решение при наличии разрыва в начальном условии.

Если рассматривать гладкие начальныо условия, то для линейных гкнерболическнх уравнений гладкое решение будет определяться начальными условиями во всех точках полуплоскостн г > 0 для всех начальных условий, если коэффициенты подчинены определенным ограничениям. Для нелинейных гиперболических уравнений гладкое решение существует, как правило, только в малой окрестности линии, где заданы начальные условии. Вто обстоятельство также приводит к необходимости рассматривать разрывные решения нелинейных гиперболических уравнений.

Изучение разрывных решений гиперболических уравнений представляет большой теоретический интерес и имеет важное прикладное значение. До сих пор этот вопрос изучен еще очень мало, РАздпл ы КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧБННЫХ ТЕЛ 6 17. Введение 1, Предыдущий раздел главы 2 был посвящен задаче Коши.

Наше главное внимание было уделено волновому уравнению (1,12), которому подчянены колебания однородных изотропных упругих тел, К задаче Коши сводится изучение функции и(г„х,, ..., х,), характеризующей этн колебания в точках (х„х„..., х„) прн з, достаточно близком к начальному моменту. Таки как значение решения и(с, х„..., х„) уравнения (1,12) в вершине Р(г, х„, ... ..., х ) характеристического конуса вполне определяется значенйямн начальных функций 7„и у, на основании Ср этого конуса, то при изучении и(г, х„..., х„) можно не нриннмать в расчет влкяння границы до тех пор, пока Ср не выходит лз той области, где заданы функпни 7 и Ро т.

е. пока Ср не пересекает границы тела. В этом смысле можно сказать, что в предыдущем разделе мы пзучалн колебания бесконечных нлн безграничных тел. В настоящем разделе мы будем изучать колебания тел, учитывая влияние вх границ. Ограничиваясь опять изучением колебания однородных изотроввых тел, мы придем к задаче нахождения решений уравнения Ши дзи 1 ! удовлетворяющих при з =-0 начахьнььк усаовилл и(0, х„..., х„) =.с„(х„..., х„), (2,17) и; (О, х„..., х„) = о, (х„..., х„), ( когда точка (х„..., х„) принадлежит заданнок области б н заданнйм при всех г ва границе С граничным Ус~юоилл. Мы будем рассматривать только однородные гипврволпческик УРАвнйнр1я (га, 2 1 17) ввкдвнив граничные условия вида и=О, (3,17), еа — =0 ва (3,17)в Зн чч а; Зр., = Ь .

(.Р. —. 7 — йи+7 дР Л~ дх,( Р Б;,.~ $1 (4,17) е < Рве, 10, где о есть некоторая не зависящая от е неотрицательная непрерывная функция, заданная на гравице О, ив ол означает дифференпнрозавне по направлению внешней нормали к границе О (ср. з 1). Некоторые физические задачи, например задачи о нолебавпях яеоднородных упругих тел, приводятся к нахождению при тех же гранячкых условиях (3,17) н начальных условиях (2,17) решений уравнений вида Здесь р, р,, д и,(--некоторые достаточно гладкие функ- ции от хы прячем обычно о > о„> О; р, > р„> О; й > О.

Так как волновое уравнение (1,17) и уравнение (4,17) не изменя1отся, если с заменить ка — д то рассуждения, которые мы будем приводить для решений зтвх уравнений прн г > О, будут также справедливы н для г < О, Задача нахождения решения уравнения (4,17) при накальных условиях (2,17) и одном кз граничных условий (3,17) называется свреваанной задачей.. Весь настоящий раздел главы 2 будет посвящен этой задаче. 2, Смешанная задача не является едвиственной возможной задачей для уравнения (1,17) илн (4,17) в ограниченной области.

Практические вопросы часто приводят к другим задачам для зтнх уравнений. Укажем ряд таких задач для простейшего уравнения охи ахи (5,17) 1) 3 а д а ч а Г у р с а. Найлгг~ реиеение уравнения (5, 17) яо ево значениям на двух кусках характеристик. На отрезке ОА (рнс. 9) характеристики с-(-х=0 (с ) =7(х) На отрезке ОВ характеристики е — х= О и(1, х) =-ф(х). Для непрерывности решения прн етом требуется, чтобы выполнялось условие ~(0) =ф(0) (см. С. Л, Соболев, Уравнения математической физики, Гостехиздат, 1950, стр. 60 — 64).

Характеристики

Список файлов лекций