И. Петровский - Лекции (1120446), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

При л=1 этп формулы содержат только интегралы от начальных функций и сами начальные функции. Поэтому, если изменить начальные фунрщии Ф„и рг так„чтобы при этом и они вамп и их первые производные достаточно мало изменились, то при этом мало изменится и функция п(1, х„, ..., х„), дагощая решение задачи Коши, Пря я=1 для этого достаточно, чтобы мало изменились только сами функции Ф, и Ф,. Прн этом предполагается, конечно, что рассматриваготся только ограниченные зиа гения 1, если область, иа которой задаются начальные функции, бесконечна.

Хаким образом, устанавливается, что задача Коиггг дггя уравлелий (1,12), (12,12), (14,12) лоегливлела яорреклгко. Можно вывестп формулы, дающие решение задачи Коши для уравнения (1,13) пря любом и, аналогичные формулам (4,12), (13,12), (15,12), и убедиться, что к для этого уравнения задача Коши поставлена корректно, если 1. Непрерывная зависимость решения от начальных данных. Все выведенные нами в предыдущем параграфе формулы, дающие решение задачи Коши для уравнения начальные условия задавать прп 1=-0*). Числа Е1 и 7.„ входящие в определение корректности (ср.

з 3), соот- ветственно равны ~ —,~ +2 и (1 —,, ~; здесь (х) означает з! целую часть от х. Кз формул (4,12) и ('13,12) следует, что при не- больших 1 величина )л(1, х,, х», х») (, соотьететвенно (и(Г, х„хе)), может быть очень большой, несмотря иа малость РР» и 7«р если ЛРопзводные от фУнкцик т» велики. Могут образоваться «всплески» волны. 2. Диффузия волн, Формулы (4,12) и (5р12) по- казывают, что значение в точке (О х,р ..., ги) Решенла задачи Коши для волнового уравнения (1,13) прн я=3 зависит от начальных данных только на границе основа- ния характеристического конуса с вершиной в точке (8, х„х,, тз).

Если же и == 1 илл и = 2, то я (1, х„..., х„) зависит от начальных дакных на всем основании этого конуса, как показывают формулы (13,12) и (15,12). Допустим, что начальные значения и н иг прн 1=0 отличаются от нуля ~олько внутри малой области Со около некоторой точки (О, х'„..., х,',). Будем следить за значениями и в точках (1, х„..., х„) при фиксированных х„..., х„п прн увеличивающемся, начиная от нуля, При и =3 величала и(г', х„..., х„) может отличаться от нуля только иа небольшом участке рассматриваемой в пространстве (г, х„..., х„) прямой, параллельной осн ОС вЂ” именно на том, где раеоололгеиы вершины характе- ристических конусов уравнения (1,12), границы оснований которых пересекают область 6,. Если же л=1 или п= 2 и точка (О, х,), соответственно (О, х„х,), не принадлежит ~р, тО И (Г„Х,), СООтггЕтетВЕШ1О Л(Г, Х„Х,), РаВНО НУЛЮ прн достаточно малых Б а начиная с тех значений е, при которых круг (и, — х,)1 г-(и — х )«(1», соответственно отрезок )х« — и,) сг, пересечет область б„будет уже, вообще говоря, отлп шым от нуля.

Срчедовательно, возмущение, произведенное в начальный момент в некоторой малой окрестности точки . »1 ".иг, р -»« . » рр,,рр р,„яр чв вык в «Курсе вы»аюй матвквтякв» В, И. С м яра о в в, т. П, квд. 1З»рО г., Ы,— Л, И.Г.П Р В Пб ИССЛВДОВАНИВ ФОРИУЛ П4 ГИПВРБОЛИЧЮСКИН УРАВИННИЯ [ГЛ. 2 функции только в тех точках пространства (х„..., хо), которые леясат около сферы радиуса 1 с центром в точке (х', ..., х„').

Таким образом, ог возмущения, пропзвос ° . ° о о о о денного в начальный момент в точно (х„х.„х,), возникает сферическая волна с центром в этол точке, имекяцая передний и задний фронт, Если же и=1 нли и=2, то возмущение, произведенное в начальныи момент в окрестности точки (х",, ..., х„'), отзывается, вообще говоря, иа асах жочиах, ссемссаи[их енусири сйеры радвуса 1 с центром в (х'„..., хо).

Возникает волна, имесощая резкий перечный край и размытый задний. Говорят, что в этом случае происходит диффузия (размыв зачнего фронта) волны. При и = 3 диффузии не бывает, Можно показать, что диффузии волн не* бывает для решений уравнения «1,13) при любом нечетном ион 3. Возмущении, произведевные в малой области бс трехмерного упругого твердого тела или газа, вызызасот волны, пе оставляющие после себя никакого следа, если предположить, что колебания их подчпнясотся уравнению (1,12); в случае газа и(1, х„хси х ) означает, например, отклонение от нормального давления газа в точке(х„х„х ) з момент г.

Возмущения же двухмерного континуума, например натянутой мембраны пли поверхности воды, произведенные в малой областис.„вызывасот волны, теоретически всегда оставлщощие после себя след, если предположитао что эти колебания подчинщотся уразнепи!о (12,12). Практически этп колебания очень быстро затухают вследствие наличия трения, которое ие учитывается при выводе уравнения (12,12), Точно так же, вообще !оворя, остается след при прохождении волны в одномерном континууме (ср.

п. 3 настоящего параграфа). 3. Исследование формулы Даламбера. Рассмотрим два частных случая, которые дают ясное представление о поведении решения уравнения (14,12) в общем случае. Сначала рассмотрим случай, когда сзс(х)=0, а график То(х) имеет внд, изображенный на верхнем рис. 3 (сплошная жирная линия), Мы будем вместо х, для краткости писать х, Тогда формула Даламбера примет вид то «и Ф с) Х чо «х с! о, 'с-'-' — ' Для того чтобы получить графин и(1, х), рассматриваемой как функция от х, при каком-нибудь фиксированном поло!ссительносм 1, удобно поступить так: сначала начертить два одинаковых совпадающих графина, каждый из которых получается из графика 'го(х) уменьшением вдвое г, а ординат (пунктир па верхнем рнс, 3).

Потом один из этих графиков передвинуть, как целое, на 1 вправо по направлеиисо положительной части оси г ' с с г х, а другой — на 1 влево. После этого надо построить новый график, у которого ордината при каждом значении х равна -г -с о ! г сумме ординат при этом х двух передвинутых графиков. На чертежах этим способом построены примерные графики .г -! о с г и (О, х), и ! —, х ~, и с —, т. с, ,4' 'г' ' х'",/' Ркс. В. и(1, х) (пунктиром везде начерчены вспомогательные графики, сплошной жирной линией — графики и(г, х) при фиксированном !).

РассмотРим тепеРь СЛУчай, когда Фо(х)==0, а 1 при [х[< — „, 1 огс (х) =— 0 при [х[>-„. Тогда формула Даламбера сримет вид х+с 1 и(г,х)= —, 1 Ъ (а)сг х — с Для каждого фиксированного х будет и.(с, х)=0 до тех пор, пока интервал (х — г, х+ 8) ие захватит интервала (--— 1 1 — —,, — ), где сос (х) 0; и (г, х) будет наменяться в течение того промежутка времени, пока увеличивающийся интер- Во ПРХОБРАЗОВАКИЯ ЛОРВНЦА 117 -й й-з -г -! ' о - (1 ! г -т с Рве. 4. д!и д!и дзи дзи — — — — — — — = !г й!! ах! дх! дх! ! 3 3 ГИПВРВОЛИЧВОНИВ РРАВНКНИЯ (гл.

2 вал (х — 1, х+ 1) будет покрывать все ббльшую часть интервала ~ — —, —, ) . После того, как интервал (х — 1, х+1) 1 1~ заключит внутрь себя чесь иктервал ( — —,, —.г!, величина н(1, х) будет оставаться неизменно равной ! т~,(И' Чтобы получить график, представггягоп1ий форму струны арн разлк!ных 1, удобно поступить следующим образом. — — — — ~чих! ь -г - —,у-.д 4 ! г ----- — -- — ----йгииж Обозначим через Ф (з) какую-то первообразную функцию от Р! (з). Тогда и(1, х) = — [Ф(х+1) — Ф (х — 1)].

1 Чтобы получить график и(г, х), вычертим графики функций —,Ф(х) и — —,Ф(х), а затем кая!дый из этих гра- 1 1 3 ' з финов передвинем, как целое, на расстояние г вдоль осп Ох; первый -влево, а второй — вправо, Сложив ординаты сдвинутых графиков, мы получим график функции п(1, х), На рис. 4 показана форма струны в моменты 1=0, 4' 3' явление диффузии здесь выражается в том, что точна х, выйдя из положегшя равновесия, больше к нему не возвращается, Функции т„(х) и хг(х), рассмотренные в предыдущих примерах, или сами имеют разрывы (хг(х)), или разрывы имеют их производные (хс(х)). Поэтому им соответствуют обобщенные решения уравнения (г4,г2). Чтобы получить обычное дважды непрерывно дифферевцнруемое решение этого уравнения, достаточно немного изменить графика функций х„(х) и рг(х) так, чтобы получились графики функций с непрерывной второй производной.

Для функции р„ это можно сделать так, чтобы орднната и,(х) всюду изменилась мало. Тогда и соответствующее решение уравнения (44,г2) вс!оду мало изменится. Прн замене х (х) непрерывной гладкой функцией это можно сделать так, чтобы Ф (х) изменилась сноль угодно мало. При этом также а(г, х) всюду мало изменится. з 14 Преобразования Лоренца 1.

В 1 $ мы Упоминали о том, что выРажение — Г+ а!и д!и даи + — „, + — „„есть единственная с точностью до постоянного множптеля линейная комбпнацля вторых производных, не меня!ощая вида при вращении пространства, т, е, прк любом ортогональном преобразовании координат х,„хз, хх. С волновым уравнением также тесно связан некоторый класс линейных преобразований переменных (1, х„х,, х ), с действительными постоянными коэффициентами, не меняюп1их вида этого УРавнения. Рассмотрим их подробнее, 11З ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (гч.

2 Преобраговаяиегв Лоренца переввенньсх х„, хп хз, хз называется всякое линейное однородное преобразование этих переменных с действительными коэффнцоентамп вида у,= У, а,;х, ((=-О, 1, 2, 3), (2,14) з.:=о при котором квадратичная форма (3,14) остается неизменной, т. е. Имеет в новых переменных ввд Ув — Уз -У Ув з з з з Легко проверить, что совокупность всех преобразований Лоренца образует группу, у которой групповой операцией является суперпозиция преобразований (водстановок).

П частности, легко видеть, что последовательное применение двух преобразований Лоренца всегда дает также преобразование Лоренца. Напишем формулу для некоторого частного класса преобразований Лоренца. Рас!смотрим преобразования, оставляющие неизменными две из трех последних (пространственных) координат. Такое преобразование имеет вид У„=-ахо+бх,, уз = схо+ свх У х ,3:2, Уз = хз. При этом преобразовании должно выполняться тозкдество Уо — У жхз — х ° з з з з Подставляя у, и у, из формуя (4,14), имеем: (ах + бх,)в-(ех + дхз)зж хо„— х,", (зтсюда ав ез 1 бз — дз = — 1, дЬ вЂ” сс( = О. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРГНЦА удовлетворяются, если поло- Эти уравнения, в частности, жить а=с(=- 1 У 1 — гт — е— «„.!- Ух, у,=- з )'! —;-' ' ! Уз= хз.

Характеристики

Список файлов лекций