И. Петровский - Лекции (1120446), страница 21
Текст из файла (страница 21)
й'<: ° г, н г,, 2, Существует такое число Ь, завз<сящее от и, что прн всех имеющих Ь непрерывных производных функ-' циЯх ро (х,...., х„) и Р<(х,, ..., х„), заданных на неко- торой области 6, гиперплоскости 1= зш существует одно и только одно непрерывное вместе со всеми его произ- водными до 2-го порядка включительно решение г-гипер- болического уравнения (1,16), удовлетворяющее условиям и(8„хн ..., х„) =<)<о(х, ..., х„), и<'(зо, х„.. „х,) =у,(хи ..., х„). Это решение определяется вдннственным образом усло- виями (З,16) во всякой точке (Ь х„..., х„), если осно- вание характеристического конуса с вершиной в этой точке де>кит целиком в области 6.
Обозначим через 6 совокупность всех таких точен (Ь т.„..., х„). Если функции <оо(х, ..., х„) н р<(х,„..., х„) вместе со всеми вх производными до Ь-го порядка изменя<отея достаточно мало, то н соответству)ощее решение задачи Коши изменится мало во всей области 6, Таким образом, задача Коши для уравнения (1,16) наставлена корректно.
Для линейных гиперболических уравнений с постоян- ными коэффициентами, содержащих только члены со вторымн производными, Ь=) — ", 1+2; С. Л. Соболев по- 19 1 казал, что для общих линейных уравнений второго порядка Ь < ~ —. ~ -)- 3; прп этом предполагается, что коэффициенты уравнения удовлетворяют некоторым условиям гладкости, которые будут заведомо выполняться, если все коэффи- циенты уравнении имеют непрерывные производные до порядка ( —" ,1+ 2 включительно*). ,'3 *) С. Л. Соболев, Новый метод решении задачи Кои<и для линениых гиперболичоск«х уравнений, Митек, сборник, 1(43)< 1 (1999), 39 — 73.
1 19] ОВВОР ОснОВных ФАктОВ В твОРии зАДАчи кОши 133 3, Мы будем говорить, что для уравнения (1,16) отсутствует диффузия волн в рассматриваемон области 6 пространства (Ь х„..., х„), если значение решения и задачи Коши в вершине (Ь х„..., х„) характеристического конуса зависит только от значений ро (х„..., х„) и 9<(хз, ..., х„) и нх гРонзводных на гРаница основания этого конуса прн любом расположении характеристического конуса внутри области 6.
В противном случае мы будем говорить, что имеется диффузия волн. Адамаре) давно уже показал, что при четном и н при п=,1 всегда имеется диффузия волн. Матнссонии) в 1936 г. исследовал случая п=З. Он нашел, что нсо гиперболические уравнения ярк п=З, у которых стсутствует диффузия волн, с точностью до несущественных преобразований совпадают с уравнением (1,12); все эти уравнения получаются из уравнения (1,12) с помощью следующих простых преобразований: а) замены независимых переменных, б) линейной замены функции и, в) умножения обеих частей уравнения на некоторую функцшо от Ь х„..., х„.
4, Мы в этом параграфе рассматрпвалн пока только тот случай, когда условия Коши зада<отся на гиперплоскости 1=-сопэ$. Случай, когда условия Коши задшотся на какой-либо крявой поверхности, сводится к атому частному случаю заменой независимых переменных, если только всв характеристические конусы с достаточно близкими к этой поверхности вершинами пересекают ее по замкнутым поверхностям (и — 1) измерений. б.
Нвлнне<йнс<е уравнение ди д< ' '''' дз называется в некоторой области 6 пространства о. „....*„< ~. <а. ' и ~ и< ') Нза зшэга, 1 ргоЫдп<е ае Са Зу, раг)з, 1932, 'р. 399 — 241, ~') Ма1!ззол, Асц< )багивиыцоа, 71 99 3-4 (1939), 34ч, ГИПНРВОЛГ!ЧВСКИВ 'УРАВНЕНИЯ (гл. 2 1 !6) ОБЭОР ОснОВных ФАктоз В твории ВАдАчи кОши 135 функции и (с, х,, ..., х„); задаяяой в области О, есчн в атой области будет с-г»»пербол»!нес«им пниейиое уравнение »,|' | |-» |и» где г(ы суть частные производные от правой части уравд" в пения (4,16) по д, вычисленные при ажио(1, х,, ..., хо) (1=- О, 1, ..., и; у'= 1, 2, ..., я; хо = 1). Для нелинейного уравнения (4,'!6) задача Коши поставлена корректно, если при ! 1 заданы такие УСЛОВИЯ: и(г„х„..., х„) = р,(х„..., х„), и»(!о х .
х.)=7 ( . х) что уравнение (5,16) будет 1-гиперболическим вблизи функции ио (1 х| ° ° - Хо) '= »Го (х| ° - хн)+ (! — то) г! (х| ° ° ° «в) С. Л. Соболев показал*), что для нелинейного шшер! л болического уравнения Ъ< ~ —,,- ~ +4. При этом предполагается, что функция д', стоящая в правов части уравнения (4,16), имеет непрерывные производные по веем Гп1 ее аргументам до порядка »! —,)! +3. 121 6.
Система линейных уравнений |-! Аоол»+" +во«»»! д» од Агь ...дв." +... = 1|(г, х„..., х„) (!'=1, 2, ..., )(Г) о) С. Л. С о б о л е в, О ввдвчв поил для квввклкнвйнмх г»»порболвческнх урввкспнй, ДАН ХХ, № 2 — 3 (!938), 79 — 83. С. Л. Соболев, К теорня мелвквйнмх г!»»»срболлчсских уравнений с чвствммл проввводлммм, Матем. сборищ| 6147); 1(1939), 71-99, иазываетсп г-вилербооической в точке (со, х'„..., «",), если при любых действительных а», сумма квадратов которых положительна, определитель ! .»!""- "'е ВО» В»+ ..
+Ао в, имеет только действительные и различные «ории А. Ана- логично определяется г-шгперболнчность нелинейной системы вблизи какого-нибудь ео решевия. Для гиперболических систем доказана корректность постановки задачи Коши '). 7. Для 1-гиперболического уравнения с постоянными козффпциентами Вида д" и ал, л|,, |,о — — — = О (6,16) о | "" мд|водго» дрор йо4А»Е ° ..
-»А н | ''' р в случае и > р+1 получены формулы, дающие решоиие задачи Коши с начальными условиями на плоскости ! =О. Эти формулы впервые были получены в работе Герглоца *в). Для уравнений вида (6,16) изучен вопрос, о диффузии волн, который был уже рассмотрен нами для Волнового уравнения. Боковая поверхность характеристического конуса уравнеи|ш (6,16) с вершиной в точке (!о, х,", ..., х,',) разбивает основание его на плоокости ! = О, вообще говоря, на несколько областей. Одну нз этих областей мы будем называть лакуной, если при л|обых лзмене- ниях начальных данных (лишь бы они остапы|ксъ доста- точно гладкими) только Внутри этой области решение задачи Коши для уравнения (6,16) не измснлется В точке (!в, х'„, ..., х"„).
Наличие лакун у уравнения (6,16) опре- деляется геометрическими свойствами поверхности Х ° |о А» Лр ало,вг А А Х» Зр =») Во»-А»+." +В- р при )'=-1 в комплексном пространстве (ли зо, ..., Зр). *) М. Г. Петровск лй, Магом. сборник 2(44) (1937), 8!3 870 оо) Н е» 8!о ! в, Вег!сЬ!в йвг ба»ЪЗ)вг)»еп Л)»айеш)в, 78 (1928), 93-126, 287 — 3!8! 80 !1928), 69 — 114. ГИПВРВОЛИЧВСКИЕ УРАВНКНИЯ 1 10[ ОБЗОР ОснОВных ФАктоВ В твОРии ЗАНАчи кОши 137 [гл.
2 Вопрос о диффузии волн и лакунах изучался также и для общих 1-гиперболических система). 8, Укажем следующий лряблнженный метод решения задачи Коши для уравнения даи дви даи (7,16) при начальных условиях и(О, х, у)=Ф(х, у), и;(О, х, у)=ф(х, у). При этом предполагается, что начальные функции р(х, у) и ф (х, у) имеют непрерывные производные до четвертого порядка включительно и определены на некотором квадрате (': а<х<б; с<у<с(. Проводятся три семейства параллельных плоскостей в проотранстве (1, х, у): (=-.йа, й=-О, 1, 2, 3, ..., Здесь б и о — иекоторыо положительные числа.
Числа и и и пробегают такие последовательные целые значения, что всегда а«тВ<б и с<ЛВ<Г1, Для упрощения изложения допустим, что а=-т В, В=ГЯ о, с=по, Г(=пяВ. Заменим в уравнении (7,16) иГ,(йб, тВ, пВ) на и[(й — 1) й, тз, «Ъ»+ и[(а+1) С, тЬ, «Ъ,'— Ви(йй, тз, «Ъ) ся Ф н. „(йй, то, лй) заменим на и [ай, (ля+ Ц Ь. «В[+и [йа, ëà — 1) Ъ, пз[ — 2«(йй, «ф, «Ъ) Ьа и„а (йб, то, пВ) заменим на и [)Га, тЪ, («+1) Ь]+и [ГГА, «яЬ, (и — 1) Ь[ — йи («А. Г«Ь, «Ь) а) И, Г. Патровский, О диффузии воли и лакунах лли систем гиГГорболичГхГГлх ура«валей, Иаааглва Ак.
Наум, сер. катом.. 8, стр. 101=106; О лиффуаии воли и лакунах лчи гиоерболвчеСинх уравнений, й)атем. сборник 17(йв»: 3 (10ЬЬ), 239-370, Легко проверить„если и(1, х, у) имеет непрерывные нроизводкые до второго норядка включительво, что при достаточно малых й н о ошибки, проистекающие от такой замены, малы. После этого дифференциальное уравнение (7,16) обращается в разносткое уравнение, которое обозначим через (й, т, и). Придавая (й, лГ, п) различные допустпмые значения, получим систему разностных уравнений. Решение этой системы будем обозначать и. -ГГ'4l ГАГИ«д (йад.
«д1 Рис. 5, ;Г. В соответствии с начальными условиями положим л. (О, тй„пВ)=~р(тВ, пВ), и(С, ШЬ, «Ъ)-и(0, «Ш, «Ъ) а =ф(тй, пВ). Тогда начальные условия определят и(О, ГГЪВя пВ) и и(ГЪ, тВ, пъ) во всех узловых точках, для которых соответствующие точки (О, тВ, по) лежат в области 6. После этого, выписывая разяоствые уравнения (1, т, п), мы найдем значения и (2б, то, пВ) во всех точках (28, тВ, пВ), слулГащих вершинами 4' пирамид гипвгволичвскив нРАвнвиия (гл. 2 указанного иа рис. 5 вида.
При этом предполагается, что все точки [О, (т + 1) о, (л .4,-. 1) о) лежат внутри квадрата 6, т. е. что т,+1<та<и,— 1, и,+1<. л<л,— 1. Выписывая потом уравнения (2, т, л), мы найдем значения и в точках (3:г, то, тгс), где тг)-2<т<тз — 2, и,+2< п<л,— 2, пользуясь ранее найденными значениями и на плоскостях — з == 2ь. Продолжая эти вычисления, мы найдем зкачекия й во всех точках (Ьй, то, лб)„лежаших виутрп пирамиды с основанием с" па плоскости с — -0 и с боковыми гранями, Ь лаклонйниыми к этой плоскости под углом агсгй —, з Если Ь <3 и 6 досглато1гно мало, то моэгсло лояазагпь, что лайдсллме злачелил и (йа, тз, лЬ) зал угодно мадо алгяичаются ат значений з этих тлчнах фунлг4гги и(С, х, у), которая слуэгсит точнмзг рсгиснггсм постазясллой задачи Л'тигг.
Аналогично определяготсн приближенные значения и(с, х, у) при с < О. Такие же построения позволяют приближенно решить задачу Коши для более общих линейных гиперболических уравнений второго порядка с любым числом независимых переменных. (См. «Успехи математических наук», вып. 71П, 1940, статья Куранта, Фридрихса, Леви, стр. 152 — 160,) 9. Уравнение дги дзи да да —.„.= Уайт(Х, У) —,+а(., У) д +Ь(, У) д + + с (х, у) и+ / (х, ч) (8,16) (й чь О) является гиперболическим при у > 0 и параболическим при у=-О. Оказывается, что задача Коши с начальньвни данными иа параболической линия у = 0 д ди,ю а 1 461 овзог основных зглктов в твогии алдлчи ноши 126 имеет единственное решение и поставлена корректно, если „; 2, Прп а > 2 можно привести пример уравнения вида (6,16), для которого задача Коши поставлена некорректно.
При этом предполагается, что коэффициенты а, Ь„с, у — непрерывно дифференцируемые функции в иекоторои замкнутой области г, содержашей отрезок оси Ох и расположеииой в полуплоскоспг у>0, а фуикция йз(х, у) имеет непрерывные производные второго порядка в этой области *). 10. Неливешгые системы гиперболических уравнений имегот широкое применение в механике, особевпо Ори изучении движений газа. Многие задачи механики приводят к рассмотренгпо разрывных начальных условий и разрывных решений. Задача Коши для нелинейных гиперболических систем уравнений с разрывными начальными условиями обладает рядом особенностей, которых ие имегот линейные системы уравнений.
Рассмотрим примеры. В качестве начального условля для задачи Коши возьмем разрывные функции вида 1, если х.с,О, 1 — 1, если х> О илк ( — 1, если х<0, 1, если х>0. Для линейного уравнения дн ди — + — =0 дл дг Решепи» задачи Коши с начальным условием и(0, х).=гэ(х) (9,16) и Решение с начальным условием и(0, х) =1г(х) (10,16) В определены одвозиачио во всех точках лолуплоскости с > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
