И. Петровский - Лекции (1120446), страница 33
Текст из файла (страница 33)
а) тт ни»ерзал коке ген: 0 ~ х < Е; хс' (0) = сю . Во многих задачах вместо граничного условия в точке х =. О требугот, ятобы выполнялось условно ~ ит (х, А) сгх " ~, (6,26) о где и(х, ).) есть решение уравнения (5,26). При этом оказывается, что в некоторых случаях не все решения уравнения удовлетворяют условшо (6,26). В этих случаях ») Нано»снсслс, что к атому виду заменой пораненных можно прнвеотн лагбое уравнение вида (»,22) с достаточао гладклсми ковфФсщиеитами. Р 2б) ДОПОЛНИТ. ОВВДВННЯ О СОВСТВКННЫХ ФУНКЦИЯХ (7,26) у' + — у' (- с з — —, ) у =- О, Кто решения суть у, («х) соа лх--,к-л (»х) *) у В результатеподстановкиу,=- )/х у уравнение (7,26) пере- ходит в уравнение Г л~ лл — — ~ 4 (7,26), вида (5,26).
Коли т > 1, то обрашшотся в нуль при х=О лишь функьии )г хх,(ех). При 0<»<( все решения уравнения (7,26)„удовлетворяют этому условию. В первом случае, чтобы получить собственные функции и собственные значения, сггедует на функцию р' хх',(зх) наложить граничное условие только в точке г', например условие — 'ФхУ„(зх)ггх г-П(Ъ'х.Х,(зх))=1=0. (3,26) ссх ") Псссс» целом функция ут (сх) опрсдоляетси иак продел при стремлении» н данному целому эпичен»по.
условие (6,26) вместе с граничным условием в точке х=( однозначно (с точностью до постоянного множителя) оцределяют собственные числа и собственные функции, причем спектр оказывается точечиьгм н сохраняется осцплляциоиная теорема Штурма. В других случаях оказываетсн, что все решения уравнения (5,26) удовлетворя»от условисо (6,26). Тогда условия (6,26) недостаточно для определения спектра уравнения (5,26); необходимо ввести дополнительное граничное условие в тонье О, иа характере которого мы здесь не будем останавливаться.
При этом дс полкнтельном условии вместе с условием при х=г спектр оказывается точечным. В обоих олучаях справедлива теорема о разложении для широкого класса функций. Обе возможности хорошо иллюстрируются уравнением Бесселя ГНПЗРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 222 1 26) дополнит. сВедения О сОБстВенных Функциях 223 ( .2 Зто условие вместе с условием (6,26) определяет собственные функции и собственные значения. Во втором случае, когда 0 <»с;1, к услови»о (8,26) надо добавить некоторое условие в точке х =-О. 6) Интервая (О, оо), Л (х) — неирерывная фуниуия, В атом случае физические задачи обычно приводят к отыскали»о решений и(х) уравнения (5,26), удовлетворяющих какому-либо краевому условию прк х= 0 н ограниченных при х-» со.
Прп этом, если Л(х) — абсолютно интегрируемая функция в интервале (О, оо), мы получаем тан называемый»еияошнод епевтр», т. е. непрерывную последовательность собственных значений и семейство собственных функций и(х, Л), непрерывно изменяющихся при изменении Л. На этот случай обобщается равенство Парсеваля, т, е. определение полноты системы собственных функций. Имеет место следующая теорема, Пусть »(х) — «руин»(ия с интегрируемым квадратом в интервале!О, «о). Тогда ) 1»(х) Ых= $ Р»(Л) «»р(Л) (равенство Парсеваяя), г О« где Р(Л) (обобщенное преобразование Фурье функции ~(х)) есть предел сходящейся в среднем при*»»-»«о последовательности функций Рв (Л) = ~ «х) и(х, ц (х, о т.
е, 11ш ) (Р(Л) — Р„(Л))»др(Л) =.О. П Здесь р(Л) есть некоторая неубывающая функция. редставление функции ~(х) в виде интеграла от собственных функций по параметру Л, т. е. формула вида йх) = ~ и (х ") в(у(Л) . прн некоторой функции у(Л) (аналог обычного интеграла Фурье для уравнении и" + Ли — 0), имеет место при гораздо более еильзых предположевиях, которые мы здесь приводить не будем. Более детально можно ознакомитьсн с этим кругом вопросов по книге Б. М.
Левитана «Раздол«ение по собственным функцншв», Гостехиздат, 1950. 4, Точно так же, как в случае одной независимой переменной, для стучал большего числа измерении иногда приходится рассматривать задачу о собственных значеннях для уравнения с коэффициентами, обрзща»ощимися в бесконечность. Сколько-нибудь общей теории таких задач не существует, но в отдельных случаях удается решить задачу до конца и получить разложение по собственным функциям соответствующей задачи.
Приведем в качеотве примера уравнение колебаний газа в простран- стве при решении которого методом Фурье возникает задача об определении собственных функций уравнения оп+Ли=О для некоторой области П. Бели область Ю есть шар радиуса 1 с центром з начаче координат, то, приведи уравнение к сферическим координатам и определяя решения, имеющие внд и(а, 6, ~Р)=.~(р)У(6, »), мы получим для функции У(6, Ф) уравнение — — — — ~ + —. ~з)п6 — ~ +И'= О, 1 «д 1 дУ4 д Г . дУ1 з»лс ( дв еш З ВТ .~ де ~ дз ) коэффипиенты которого обращшотся з беснонечноеть в полюсах сферы 6 = О, 6 = в, Краееымн условиями для атого уравнения служат условия непрерывности н однозначности решения да сфере о=1.
При этих условиях мы получаем, как и з случае непрерывных коэффициентов, бесконечную последовательность собственных значений йв = и(и+ 1). Кажд«му собственному значению й„ соответствует 2и т 1 линейно независимых собственных функций У™(6, у) (сферические функции и-го порядка, т 1, 2, . „2и+ 1), причем последовательность собствеипьи функций является полной на поверхности сферы ГНПВРВОЛНЧВСКИВ УРАВНЕНИЯ (гн. 2 и всякая непрерывная и достаточно гладкая функция яа афере может быть разложена в равноморпо схоз(ящкйся ряд по сферическим функциям. 5.
Ва риац но нные методы для пр иближекного нахождения собственных функций н собственных значений (Репей, Ритц„Гнлеркин е), Как было показано в З 22, задача нахождения первого собственного значения и первой собственной функции уравнения (1,22) прн краевых условилх Х(О)=Х(1) =О аквивалентна задаче нахождения миннмума функционала с (Х) = ~ (рХ" + дХе) (Ь о (9,26) прн условии Н(Х)= ~ рХе(гх=1 б (10,26) Хк (х) =- ) ан рн (х) н ! (11,26) с неопределеннымп коэффициентами ан. Подставляя (11,26) в (9,26) и (10,26) и произведя интегрирование, мы придем к задаче нахождении мини- ") См.
Л. Н. Кн н то ровне н Н. И. Крылов, Преблаженные методы высшего анвннен, гл. сЧ, Гнстехизднт, (Эбз, стр. 258 — 373. в классе функций Х(х), непрерывных и дифференцнруемых ва отреаке (О, 1) и обращающихся в нуль на концах этого отрезка. Рассмотрим произвольную систему из бесконечного числа линейно независимых функций (рн(х), О~х<1, непрерывно дпфференцьруеыых и удовлетворяющих краевым условиям р(о)=- р(г) =о.
Будем искать приближенное решение поставленной экстремальной задачи в виде линейной комбинации из конечного числа функций 1 26) 22 мума квадратичной формы р(а, ..., а(в)=-. ~ ~ава„()(рр„'(х) в', (х)+дев (х)ср (х)) с(х= ! в ~Ю Авваввав в, ы-! при условии Ж и Ь(а ..., ав!)= ~~ а,ва„~ ра„р Ых.= й =- У Н а,а =1. в,вс ( с в, ж.= Это — задача дифференциального исчисления, которая практически лег е ки легко решается, так как производные и Ь по ан суть линейные функции от а„.', ак, к поэтому система уравнения — — (й=1,,, Н) (12,26) да~ есть линейная однородная сишема уравнений относительно а .
а . Определитель атой системы есть многоллен (т'-й степени относительно !. Ои обращается н нуль Н И в=-в(( (,..., А(н, !С( (и,''Ав <...:: Хй. ВСЕ 1 Дсйствительны, Для к Д а до . 1.(Я) существует нетривиальное решение системы (1,26) ас, а ~, ..., н . о, (", 'со ... а ' . Бсл(( 1,( является й-кратным корнем определителя, то система (1о Рб) при у=А("! имеет Й линейно незавнспмых ро(пеннй (а((1, ..., а(0). 11 сть система функций с„(х) такова, что для всякой непрерывно днфференцнруемон на отрез. ( „) фу усть с. г (х), удовлетворяющей условиям / (О) =,(( ) = =,((1 = 0 и любого е 0 можно найти такую линейную комбинаци(о вс Ав ссср„функций ср„с постоянными коэффицпонтамк„что н=( ' " на отрезке 10, 11 )!1(х) — ~ с,р,(х) ~ ~ е и ))'(х) — У снср,'(х)) -.
е. Н. Г. Петровввссн гггпввваличвскин уэхвпвния [гл. з Тогда при каждом фиксированном значении с и )гг- са Ц"г- Ас, где )ч — г-е собственное значение данной задачи. Числа АР ' при г, не превасхадягцем некоторого фиксированного числа М, и достаточно большом [г, являются приближенными зиачонлями первых М собственных значений уравнения ([,22) при краевых условиях Х(О) = Х([) =-О. Из последовательности функций Х'; ' можно выбрать подоил последовательность Х; г такую, что равномерно ва отрезке (О, с] Х[" — Хс (х) при Л" — + са, где Х,. (х) — схя собственная функция данной задачи, Быстрота сходимости Х[ ' (х) к Х,.
(х) существенно зависит от выбора функций гр„(х) и степени гладкости коэффициентов р(х), г) (и), р(х). Подробное исследование этого вопроса приведено в раба~ах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова"). *) Лнгсрзгурз указана в книге «Матеиагика в СССР зз ЗО лета, Гастехзадат, 1У48, стр, 773 — 7Ю. ГЛАВА 3 ЭЛЛИНТИссЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ $ 27. Введение В качестве простейшего представителя эллиптических уравнений мы всгаду в этой главе будем рассматривать уравнение Лапласа дг ([,27) дз- дх~, Основные свойства решений этого уравнения не зависят от л. Для простоты записи мы всюду будем рассматривать случай, когда и =-2, на оговаривая каясдый раз, если аналогичные рассмотрения применимы и для и .> 2.
В конце главы будет даи обзор результатов, известных для эллвптпчес«их уравнений более общего вида. Эллиптическими уравнениями оппсываготся стационарные, установившиеся состояния, В $ [ мы видели, например, чта уравнению Лапласа удовлетворяет установившаяся в однородной пластинке нли в однородном теле температура и. Там же мы видели, что этим уравнением опнсывается форма мембраны, натянутой на некоторуго пространственную кривую и находящейся в равновесйгг, Потенциалы поля тяготения и шационарного электрического поля также удовлетворяют уравнению Лапласа в точках, в которых отсутствуют массы, соответственно электрические заряды. Одним из самых основных свойств решений эллиптических уравнений является их гладкость.
Иго вполне соответствует тому„что эллиптическими уравнениями описываются установившиеся состояния; физически ясно, 45* СВРИСТВО МАКСИМУМА И МИИИМУМА эллиптичвскив углвнвння !гл. 3 что все первоиачальныс неровности к моменту установления стационарного состояния должны сгладиться. В этой главе будет доказано, что все испрерывные решения уравнения Лапласа аналитичны по всем независимым переменным. Было бы неверным, однако, утверждение, что все решения уравнения Лапласа аналип«чны. Например, уравнен«по д«и д'и — + — =0 дя« ду« (2,27) всюду удовлетворяет функция и, определенная соотно- шениями и(х,у)=Нее! ~!е "~ лря гФО, где г = х + !'у, и(0, 0) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
