И. Петровский - Лекции (1120446), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Однако легко видеть, что зта функция не только ие аналитична в окрестности начала координат, но она даже рагрывна в начале координат. Таким образом, чтобы утверждать, что и аналити «на, надо предполоэкить некоторый первоначальный запас гладкости у функции и. Непрерывные решения уравнения Лапласа (т. е. непрерывные функции, у которых существуют производные д«и ч.«д"и — и э — «=О) называ«отся гармоническими функциями.
! Типичной краевой задачей для эллиптических уравнений является первая краевая задача (задача Дирихле), о которой мы упоминалл в $ 1. На границе !' некоторой конечной области 6 прося ранетва (х„..., х„) гадается непрерывная функция 1, Требуется найти функци«о и(х„..., х„), гармоническую внутри 6 и т«ринимаюи«ую заданные значгния !' на Г. Точный смысл слов «функция и(х„хю..., х„) должна принимать заданные на границе значению таков: должна быть непрерывной на 6= 6 мГ функция, совпадающая с и (х„х„, ..., х,) внутри 6 и совпада!ощая на границе с запойной там функцией /. Вторая краевая задача (задача Неймана) состоит в том, чтобы найпш внутри конечной области 6, ограниченной поверхностью !' с непрерывно врал(аю«це«тел касательной плоскостью, гармоническую функцию и(х„..., х„), ди непрерывную в 6+!', у которой производная — по нади правлению внешней нормали в каждой точке ераницы 6 равна.
значению в этой точке заданной функции !", В $ 1 мы рассмотрели примеры физичесних задач, которые приводят к первой и второй краевым задачам для уравнения Лапласа. В дальневщем мы рассмотрим подробно вопросы существования и единственности решения этих задач для уравнения Лап!шов. Задача. Пусть и(х„..., х„) = !(!), где г = = )/' (х, — х",)' т... -, (х„— х,",)', а функция ~ (г) определена при г > 0 и имеет неярерывную производную второго нарядна. Показать, что если и(х„..., х„) является гармонической при г . О функцией, то /(г)=С, + —,", пря и ~ 2, !(г)=С!+Се)п — лри п= Ц 28.
Свойство максимума и минимума и его следствия 1.!«(ы ограничимся рассмотрением гармонических функций и(х, у) от двух независимых перемени«лх. Все утверждения, доказанные в этом параграфе, справедливы для гармонических функций л«обого числа независимых переменных, и их доказательство может быть проведено аналогично. Лемма 1. Пусть на круге радиуса Н, включал его границу, задана непрерые««ол функция и (х, у), гармоническая во ее*х внутренних точках этого круга. Предлоложим, что во всех енуп«ренних точках (х, у) гп«ого круга и(х, у) > и(зю уг), еде (хы у„) — некоторая точка, лежа«цая на границе круга, Лала в точке (х«, уе) су«цееп«сует производная от функции и (х, у) по направлению т, обрагуюше.чу острый угол с направлением внутренней' нормали, то ЗЛЛНПТИЧЕСКПЕ УРАВНЕНИЯ (гл.
3 СВОИСТВО ИАКСНМУМА Н МНННМУМА 231 До к а з а те льс т в о. Так как при параллельном переносе координатных осей гармоническая функция переходит в гармоническую, то мы можем считать, что начало координат находится в центре круга. Рассмотрем функцито 1 гч 'г ! о(х, у) =1п — -ь —...
— 1п — —— г ' Акх и 4' где г =3гхв „у'-'. Таи каи на гранеце круга С=О и дэ 1 — „=- — — ч- —,,„, < О, осли 0 < г =Е, то во всех внутренних точках круга, кроме центра, В > О. Легко проверить, дег д'в что —.+- — =-;, если х'+у' м О. дкв две Нв ' Обозначим через .0 множество точек (х, у), для которых — лгэ < хв+ у < сгх. Пусть а равно наааменьшему значеншо функции и (х, у) — и (х, у ) на округвности 7гч в э х" +ух = — —. Из условий леммы следует, что а гь О.
Рассмотрим в области Аг функцшо (х, у) =и(х, у) — и (х„, у„) — п(х у) в (- —, 9 Легко видеть, что и» О на границе области 1). Функция пг(х, у) не может внутри области .О принимать наименьшее значение, так как в О, а в точке мпнимуага необходимо —... 0 и — ~>0. деш д»ш дха дух Поэтому Во всех точках области 6 должно быть цг>0, т. е. и(Х У) "(Хэг Уэ)> .
П(Х У). е~ —,,О ) В точке (то* уь) до де — =- — сон(», г), д» "дг где соз(», г) означает косинус угла между направлением радиуса-вектора в точке (х, уь) и направленвем т Очеваг дно, — г .> О. Так как функцци и(х, у) — и(х„, у„) и д В (Х, у) Обращагатея В НУЛЬ В ТОЧКЕ (Х»о у ) И В Обпаотн Р и(х, у) -и(хса у,)» — ' — п(х, у), то в точке (х„, уо) о~ в да ь дв > '>о, что и требовалось доказать. Т е о р е и а о и а к с и и у м е н и и н и и у и е, Га рлгони гесаая функггия и(х, у), античная от постоянной, не может в какой-нибудь внутренней точке обглсти 6 принимать вна гепае, равное верхггей ия:г нижней грани гначеннй и(х, у) в 6. (Если область 6 конечна и и(х, у) могкно так продоляцггь на 6, чтобы ато продолвгение, которое мы будем также обозначать через и(х, у), было непрерывно на 6„ то, очевидно, верхняя н нижняя грани значений и(х, у) па 6 совпадагот соответственно с ее максимальным иминвмальным значениями нв 6 ) Док аз а те льет зов).
Предполоя<гам, что гармоническая функция, отличная от постоянной, принимает В области 6 значение пг, равное нгпкней грани значений и(х, у) на 6. Пусть .Š— множество тех точек 6, где и(х, у)=т, Так как фунипия и(х, у) не равна постоянной в 6, то найдется область 6„которая содержится вместе со своей грангщей Внутри 6 и такая, что 6, содержит некоторые точки множества Е и по крайней мере одну точку, не прпнадлежашую Е. Внутри ооластн найдется точка Р, не пркггадленгащая Е, расстояние которой до множества Е меньше, чем расстояние до границы С, так как сушествугот точки п С„сколь угодно бггнзкие к Е и не принадлежащие Е, а для всех точег т чек 6 О.
А. О йннн, О свойствах решений некоторых краеле" о ннн. ЗП вых задач длн уравнений эллиптического типа. Ма»ем. ~ борина.. (72): 3 (!9521, Ьзп — В97, г 28( зллкптичкскив уРАВпвниг! (гл. 3 свопство мАксимумА и ъгииимумА расстояние до границы С больше некоторого ноложительного числа е). Рассмотрим круг К с центром з точке Р, радиус которого равен расстоянию от точки Р до множества Е. Этот круг лежит внутри 6 и все внутренние точки этого круга ие принадлежат Е. На границе круга К найдется точка (?, принадлежащая Е. Это следует из определения расстояния от тожи до множества и из того, что предельные точки множества Е, содержащиеся в С, принадлежат Е.
В точках множества Е должка быть — = О ди дл ди н — = О. др Применяя лемму ( к функции и(х, у), рассматриваемой иа круге К, получим, что для и(х, гу)отлична от куля производная в точке 6 по любому направлению, ие касательному к кругу в точке г?, если только такая производная ди ди существует. Это противоречит тому, что — =Ю и — = О дг ду в точке г,?, так как хотя бы одна из координатных осей ие совпадает с касательной к кругу в точке г,?. Полученное противоречие показывает, что гармоническая функция и(х, у), отличная от постояннов, ие может принимать внутри 6 значение, равное т. Если бы и(х, у) принимала внутри 6 значение Уи, равное верхней грани значений и(х, у) в С, то функция — и(х, у) принимала бы значение, равное нижней грани ее значений в 6, что кевозможио.
Теорема доказана. Следствие. Гармоническая в коночной области 6 функция, непрерывная в С-„Г, принимает свое наибольшее н наименьшее значения иа границе Г. 2. Из только что доказанной теоремы сразу следует е!?ггнспгвенность регаения задачи Дарихле. В самом деле, допустим, что две гармонические функции и, и и совпадают на границе некоторой ограниченной области С. Тогда их разность, которая, очевидно, также являетси гармонической функцией, тождественно равна пуп!о на границе области и, по доказанному, не могкет внутри е) Ра-стоянием от точки Р Ио множества Эк ыы называем пианино гринь расстояний от Р до точек Зд.
области принимать больших или меныпнх, чем нуль, значений, т. е. и,— и=О и и,:— — и. Из теоремы о максимуме и минимуме следует также непрерывная зависимость рви!ения задачи Дирихле от граночных данных для произвольной ограниченной области С. Действительно, допуствм, что и, и и, — решения задачи Дирихле для некоторой области 6 при значениях у„соответственно уг, иа границе Г области 6 и что на Г всюду (у! — уг!, < е.
Тогда граничные значения гармонической фуякцик и, — ие, равные, очевидно, уг — уе, удовлетворя!от неравенствам г<?! ?г<е. Нз теоремы о максимуме и минимуме следует тогда, что во!оду в обл~~~~ 6 — е<иг — иг< е, т. е. (иг — иг( < е, что и требовалось доказать. Стсюда следуот полезная для дальнейшего Лемм а 2. Если последовательность непрерывных на некопгорой галскнутой ограни !енной области и гармонических внутри отой области функ!(лй равно.нерио сгодится на гран!!!(е области, то она также равномерно сходится на всей рассматриваемой области.
Для доказательства рассмотрим закую последовательность и„..., и„, ... и обозначим через у! значения функции иг на границе Г области С. По предположеииго, последовательность У,. равномерно сходится. По критерию Коши для всякого е > О существует такое Угг, что при и, т > ггг всюду иа Г (ӄ— У 1 < г.
Но тогда, по доказан ному, для этих и и т будет 1и — и ! - е вшоду в С. На основании достаточности критерия Коши мы заключаем отсюда, что последовательность и„..., ии,, .. равномерно сход!!тая в замкнутой области. 3. Пользуясь леммой ! и теоремой о максимуме и минимуме, можно доказать следующие теоремы. Теорема 1. ПУапь грани!(а Г области С такова, 'опо каждой точки Р грани!(гя Г можно коснуться кругом Кр, прг надо!ежа!нам обласгпи 6, ги.
е, сугцествует круг .Кр, которы!! содержит и!очку Р и все внутренние эллиптичкокив уРАВнвния (гл, 3 1 2Э) Рвшенив зАдАчи днеихлв для нРугя ззб точки «отарово принадлежат 6 (тан будет, например„ в том случае, если кривая, ограничнваюгцая область 6, имеет в каждой точке ограниченную «ривизну). Ксли гар.ионическая ьбункция и(х, у) непрерывна в 61-Г и не равна постоянной, то в точке Р, границы 6, где и(х, у) нрцнильаел! наименьшее (соответственно наабольшее) впади ченае, производная — от Функции и(х, у) по направле- нию внешней нормала о!прицалсльна (соответственно ди положительна), есзьи птоьько ароизводная — в втой точке ди суи!ест вует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
