И. Петровский - Лекции (1120446), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Доказательство. Возьмем круг Кр,, По предпо- ложсни!о, все внутренние точки этого круга прпиадле- жат 6. Если и (х, у) ие равна постоянной, то по теореме о максимуме и минимуме функция и (х, у) прннимает навменьшее значение только в граню!ных точках 6. По- этому значение и (х, у) во всех внутрен!шх точьах ХР, стро- го меньше значения и(х, у) в точке Р,. Применяя лемму 1 ди этого параграфа, получпм, что — „О в точке Р„если только эта производная существует. В точках Г, где и(х, у) принимает наибольшее зна- чение, функция — и(х, у) принимает наименьшее значед ди нне и, по доказанному, — ( — и) с О, т.
е. — >О. ди ' ' ' ди Теорема 2. Решения одной и той зюе второй краевой задачи могут отличаться между собой только постоян- ными слагаемыми, если гране ца С удовлетворяет уело- вию, сформулорованному в теореме '1, Доказательство. Пусть и,(х, у) н и,(х, у) — гар- мошгческне функции С, непрерывные в 6+Г и —.' = ди диь — на 1. Функция и(х. у)=и,(х, у) — и (х, у'), гармоническая в 6, непрерывна в 6+Г н —.' =-О. Если ди бы и(х, у) отличалась от постоянной, то согласно тео- реме 1 в точке Р„где и(т., у) принимает наименьшее ди значение, производная — была бы отличной от нуля. ди !:лвдовательно, и(ть у) равна постоянной.
$ 29. Решение задачи Днрихле для круга 1, Пусть на окружности радиуса 1 задана непрерывная функция /(г). Здесь з означает длину дуги окружности, отсч!пываемую от пеноторой! фиксированной точки, и предполагается, что 1(0) = !'(2ч). Требуется построить гармонпческу!о внутри окружности фупнцшо и, прнннма!ощую на самой окружностк заданные значения 1(г). Поместим начало координат в центр рассматриваемого круга и ось Ох направим в точку г=0. Перейдем к полярным координатам, взяв Ох за полярную ось н Π— за пов!ос.
Тогда уравнение граничной окружности запишется в полярных координатах: о =1, и функция 1(з) = !(е), где Р— полярный угол точки на окруж ности. Применим для решения нашей задачи метод Фурье, предполагая сначала, что 1(!) имеет непрерывпуьо производную второго порядка. Позднее мы освободимся от етого ограничения. Уравнение Лапласа в полярных координатах имеет впд дзи ! ди ! дви —.. + — — т — —.=О. дев Р дз Рь дтз Вудем искать решение этого уравнения в виде денни двух функций: ! = 11 (Р) ф Ь) пронзве- (2,29) Подставляя такое произведение в уравнение (1,29) и разделяя переменные, получим (аналогнчно з 20) для Задача Третья краевая залача состонт в том чтобы нанти гармонвческу!о функцию и (х, у) в области 6, непреди рывну!о в 6+ Г н такую„что —. + аи в каждой точке границы области 6 равно значению заданной функция ! (а >О, а~О и — — производная по направлению внешди ди вей нормали).
Докажите единственность решения третьей краевой задачи зля уравнения Лапласа, предполагая, что граница Г области 6 удовлетворяет условию, сформулированному в теореме 1. зллиптичвскив уРАвнвпня [гл, 3 1 зв) Рвшвнив ЭАдАчи диРихлв для кРуГА 237 фунтщий )7(Р) и Ф(ч) обыкновенные дифференциальные уравнения Ф"-)-),Ф =-0 Рай-+Р)7 1)7=0. (3,29) Фуккпия Ф(Р) по смыслу задачи должна иметь пе- )щод 2я, что мелеет быть только прк А, равном квадрату целого числа л пли нулао. Полагая ),=-ла и Ф = и, соз 11Ф -(- бя З1п егт, нз (3,29) получаем для Л уравнение Ра)7 ). )7' ад 0 Это уравнение пмеет линейно независимые решения )а = Р' н )а'=-р "), и так как второе рещение имеет разрыв в начале координат, то непрерывными внутри единичного круга частными решениямн вида (2,29) явлшотся функции п„(Р, аа) =-Р" (а„соз иР+ Ьвзап лР).
Кроме того, при 1 = 0 получается решение и (р, 1Р) = сопзс., которое мы обозначим —,' . Ряд 2 ц (Ра 'Р) = —, + Я Р ' (Ав Соз лу + Ь„зан лР) (4,29) в=.а прн любых ограниченных ав я Ь„сходится в шобой внутренней точке круга, так как при Р < 1 этот ряд можно мажорировать сходящимся рядом вида 1)1(1( „, Ра, +Рв+ ), (529) где Р~ Ра< 1- Чтобы показать, что функция (4,29) является гармонической при 0 <р < 1, запишем рвд (4,29) с помощью координат х и р: п(х, у)=++ ';а' Вее1(и„— И„)(х+ау)".
(6,29) в 1 е) Подстановкой р=еа оно орвюдктся к уравнению с настоянными коэффициентами. Ряд (6.29) и ряды, полученные из него почленным дифференцированием по х и по у любое число раз, сходятся равномерно прп 0<Р < Рас 1, так как зти ряды мажорируются ридом (5,29) и рядами, полученнылан из (5,29) почленным дифференцированием по р,.
Отекала следует, что п(х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа, так как каждый член ряда (6,29) является гармонической функцией. Полагая р —.— 1 и п(1, Р) =1(р), мы из (4,29) получаем равенство Г (р) = — ',* + ',"а', (а„соз в» + 5„зап лр), которое будет справедливым прн сделанном относительно /(Р) пРедположении, если положить а„, ан и бв Разными коэффициентам Фурье для функция /(р): "= †„)Пр)(р $ Г О а„= — ~ ~(й) сов лясйР; 1 Г о г 1 ей) зп л,в с(в о Чтобы ряд (4,29) с коэффициентами, определенными по формулам (7,29), давал рещение задачи Днрнхле, надо доказать еще непрерывность атой функции в замкнутом круге Рс.'1 (см, З 27).
Но при Р(1 ряд (4,29) можно ма>корировать рядом — + У (а.„!+(5„(, сходящимся в силу предположения о непрерывности вто- рой производной функции 1(з)в). ") В этом случае, как аэээстао, «я=О( — а ) я Ьв=0 ( а/ ' ЭЛЛИПТИ«1ВСКИВ УРАВНВНИЯ [гл. 3 238 Таким образом, дчя дважды непрерывно днфференцирусмых граничных функций 7 (г) задача Дврнхле дла круга единичного радиуса решается радам (4,29), Покажем теперь, что ряд (4,29), где а„, б„опроделя>отея формулами (7,29), нредставляст (при р < 1) решение задачи Дирихле и в том случае, когда ~(г) — произвольная непрерывная функция.
Для этого построим последовательность дважды непрерывно диффер«нцвруемых функций 7„,(е), равномерно сходяшу>ося к заданной на окружности р = 1 непрерывной функции >'(з). Пусть и — решение задачи Дирихле, соответствующео функции 1 (з). По лемме 2 3 28 последовательность и,„ равномерно в круге р<1 сходятся к непрерывной функцип и(х, у).
Очевидно, прн р=-1 и(х, у) совпадает с 7'(з). Покажем, что при р < 1 функция и(х, у) представляется рядом (4,29) с коэффициентами (7,'9). По доказанному, этот ряд сходится прн р с 1 и является гармонической функцией. Пусть а>„'ч>, Ỡ— коэффициенты Фурье фу'нкпин 1«,. Прп достаточно большом и> для всех и имеем: [а„— а,"' ~ <о, ~ б„— б„[ <о, где з — вропзвольное положительное число. Отсюда —.,'+ ~ч3 ~р" (а„созпр+ б„з!я яр) — и ««! !>ч) — + ~', р ((а„— а~'"~) соз п«р-~-([>ч — б>с«>) з[л п«р) ~ а: ч.= ! а; 2~ ~' р = 2з р =о Таким образом, функция и(х, у) представляется рядом (4,29) и является решением задачи Дирихле, соответствую>цим граничной функции [(г). 2. Преобразуем ряд (4,' 9), подставив вместо коэффициентов 'а„и б„нх выражения по формулам (7,29). 2 2е) рвшвнив 3АдАчи дкРихлв длЯ кРУРА 239 Мы получим прн р < 1: и (, Ф) = — оо -[- ~" р" (а.
соз лФ + б„з[п пр) = ««! = —; ') 1(Ф) "Ф+ 2« 2«« +1 ~ р" ~ ~~(Ф)созпФ>(Ф созпФ+(,/(Ф)з[ппФ>[Ф з[ппФ~ о о 2«« ««2«« = ' 1у(Ф),[Ф+' ~ ~~(Ф)р-созп(Ф-Ф)[Ф= о ».>о ) 7(Ф) ~1-~-2 ~ч„'. р" соз п(Ф вЂ” Ф))[Ф. о ««! Положив Ф вЂ” Ф = «о, преобразуем выражение в скобках. Получим: ! «« ««« 1->-2 У р" созпм=- — 1+2 ~,' рРсозпо>= > [««! -о «О $ — 1 + 2Пее1 ч р"е! " = — 1+ 2 Пе«[в 1 — >с!~ ««=о ! — Р! (9 29) 1+2' — '>''оо«' Поэтому при р ч31 2«« >«.«>=и> >>>>««, — «. в- >"! о Р1нтеграл (9 29) называется интесрааом Пуассона. Для круга произвольного радиуса П р а П и и овзвольной иекрерывпой функции /(г) мы получим решение зада>и Дприхл«, заменив в формуле (9,29) р чере че з Р, В каче- Щ ОСНОВНЫВ Снойствк ГАРМОННЧВСКИХ еЗУНКЦНИ 24$ ЗЛЛИПтИЧВСННН теРАВНЕННЯ [гл.
3 ство переменной интегрирования вместо ф можно взять г=геф. Тогда мы получим интеграл Пуассона для произвольного круга Ие ре и(р, р) — „и ~ ((г) „,, „„„„, Зг. (10,29) б 3 а м е ч а н и е, Формулы, аналогичные (10,.29), имеют место для решения задачи Днрнхле и для л-мерного шара. При и=-3 соответствуеогдая формула имеет вид: з Не — ее и(,8, у)= — ~ 1 у(9', у'), е е е(е, вен,> г ' (ие дед еог т+ ее)не где интегрпрование производится по сфс ре ~)е радиуса В, а т — угол между радиусами-векторами точки (г, 6, р) и переменной точкн (К, $', у') иа ловерхностн ~д,, 3 а д а ч а 1, Докажите непосредственной проверкой, что интеграл Пуассона (10,29) является гармонической функцией в круге радиуса Я. Задача 2. Покажпте, что предельные значения иа окруэкностн р = П функции, определяемой кнтегралом Пуассона (10,29), совпадают с ~(г), 5 30, Теоремы об основных свойствах гармонических функипй Доказательства почти всех этих теорем бучут основаны на том, что е:ли функция и гармонична на каком- нибудь замкнутом круге К„ то ее можно представить на этом круге в виде очень удобного для исследованнй ивтеграча Пуассона.
В самом деле, если функция и гармонична н, следовательно, непрерывна па круге К, то по ее значениям на границе этого круга можно построить в виде интеграла Пуассона функцьпо и„гармоническуео внутри К и принимающую ло гравице К такие же значения, как и функция и.
Но по теореме о единственности решенпя задачи Днрнхле должно быть и,==и, т. е. Интеграл Пуассона представляет исходную функцию а. Теорема 1 (о среднем арифметическом), Значение гар,ноееической внутри некозчорого круга К и непрерывной на К функйии и(х, у) в Иенжре К равно срейнелеу арифлеетическону иг ее гначюгий на акруменоснме. Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим и внутри К по формуле (10,29). Прпмепяя эту формулу для центра, т.
с. для р = О, получим: Йек гт.:к и(0, у) =-, ~„~ 1(г1)(ег= ,—, ~ .(11, р)~1г, о е где р = — ', а зто и значит, что и(0, у) равно среднему И ' арифметическому пз значений и на окрун ности радиуса лт', Задача 1. Докажите тоорему о макскмуме и минимуме (З 28), пользуясь теоремой о среднем арифметическом для гармонических функций.
Задача 2. Пусть непрерывная в области 6 функция и(х, у) обладает тем свойством, что ее значение в центре любого круга, лежащего целиком внутри 6, равно среднему арифметическому ее значений на окружности. Докажите, что функция и (х, у) является гармонической функцией. Теорема 2. Всякая гарлеаническая функе)ия и(х, у) аналитична во х, у. Зто значит, что функция и(х, у) разлагается в степенной ряд по (х — х„), (у — у,) в окрестности точка (х„, у ), еслн точка (ха, у,) лежит внутри той области, где и(х, у) гармонична. Дока з а тельство.
Пусть функция и (х, у) гармоническая в круге К с центром (хг, у„) п радиусом гг. Переносом начала координат н преобразованием подобия можно достнгнуть того, что точка (хе, у„) перейдет в начало координат, а радиус К станет равным 1, Поэтому можно считать х„= у =-0 и л1 — 1. В п. 1 $ 29 было показано, что и(х, у) представляется рядом (6,29). Рассмотрим теперь ряд —;+ ~" ~' Вео1 Иа„, — Йкн)С'„+,ух~У'), (1,30) к-о~ е И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
