И. Петровский - Лекции (1120446), страница 40
Текст из файла (страница 40)
построив соотэетстэулощее решение задачи Днрихле с(х, у). В случае трехмерной области аналогичные построения кевозможны. 3. Внешннн вторая краеван задача состоит в следулоп!ем. Пусть дана некоторая ограниченная односвягная обяасть 6 с гяадкой гранитй Г. Пусть точки, не приноссеежаи(ие 6+ Г, образуют область Н с гранил)сй !'. Требуетсэ найлни гармоническукл функл(ию в Н, непрерывную в Н+Г, у которой нроагводная ло направлению внеланей (по онношению к Н) норглаяи в каждой точке границы Н равна гканению в этой точке заданной функуии /. При этом мы будем требовать еп!е, чтобы решение и(Р) внешней второй краевой задачи было ограниченным в случао двух независимых переменных и стремилось к нушо при стсемлении точки Р к бесконечноссн в случае трех и большего числа независимых переменных.
В случае двух независимых переменных внешняя вторая краевая задача сводится к внутренней второй краевой задаче преобразованием обратпымн радпусамивекторами. При этом очень существенно то, что в силу конформности преобразования обратнымн радиусами-векторами углы сохраняются. Поэтому кармаль к границе прежней области переходит в лнлппо, нормальную к границе новой области. Граничная функция длн получаемой таким образом внутренней второй краевой задачи получается в случае двумерной области следующим образом. Сохраняя те обозначения, которлзмп мы пользоналнеь при рассмотроннн вясшксй задачи Днрихле, будем иметлн и* (Р*) = и (Р), ОР Орх = Нл, * Эы~ Эн аэ йи Ф Здесь через г н г* обозначены соотэетствулощие толки гранлщ преншей и новой области, через пи пе — нормали йэ к их граилщам, — — коэффициент растяжении в точке гра- ' Енх нины по направлению нормали.
Так как при конформном. эллиптнчвскив гглвннния (гл. 3 гвовия потвнцггьлл хо7 прообразованип коэффициент растяжения в данной точке дв ие зависит от направления то для вычисления — можно дчч предположить, что направления и и иэ проходят через центр 0 преобразования. Тогда дэ д (ОР) Дг Йч' д [ОР*~ (ОР*)~ ' Чтобы рассматриваемая внешняя вторая краевая задача имела решение., необходимо и достаточно, чтобы соответствующая ей внутренняя вторая краевая задача имела решение. А для этого, как будет показано в 4 35, необходимо и достаточно, чтобы 0 = ) !*(э*)сЬ*= ~ /(э) — ''„— '<Хз= '! !(з)сЬ. (4,33) Здесь через Вэ мы обозначили линяю, в которую переходит Х после преобразования обратнымн радиусами-векторами. В силу конформности этого преобразования дч ~Ы" —.— — = 1.
аэ' <Ь Таким образом, сводя внешнюю вторую краевую задачу к внутренней н пользуясь теоремой об устранимой особенности, получим, что в случае двух независимых переменных решения одной и той же внешней второй краевой задачи могут отличаться между ообой только постоянными слагаемыми, и условие (1,33) является необходимым н достаточным условием суягостэования решения внешней второй краевой задачи. В случае трех независимых переменных с помощью преобразования обратнымн радиусами-векторами нельзя свостн внешнюю вторую краевую задачу к внутренней, дк" так как в этом случае — па границе выражается не дэ" только через †, но и через значения самой неизвестной дч ' функции и ва Г.
В случае трех и большего числа независимых переменных легко доказать единственность решения внешней второй краевой задачи в классе функций, стремящихся к нулю прп стремлении точки Р к бесконечности (при этом стремление к нулю понимается в том смысло, что )и(Р)(<з для любого з > О, если расстояние точки Р от начала координат достаточно велико). Будем предполагать, что граница Г области Н такова, что каждой точки гранины можно коснуться шаром, принадлежащим области Н. Пусть и (Р) — гармоническая функция, непрерывная в Н э Г, — = О на 1' и и(Р) --. 0 при Р— ~ос. Покажем, дч что ижО.
Рассмотрим область, ограниченную !' п сферой столь большого радиуса, что на этой сфере )и(Р)! « з. Так дч как —.=0 ка границе Г, то нз теоремы 1 З 23 и теодч ремы о максимуме и минимуме гармонических функций следует, что функция и(Р) принимает наибольшее и наименьшее значения на поверхности сферы, т. е. во всей рассматриваемой области ~ и (Р) ~ < с.
Так как з > 0 можно брать произвольно малым, то и(Р) =О в кзгкдой точке Р области Н, что и требовалось доказать. й 34, Теория потенциала 1. В ближайших двух параграфах мы получим решение основных краевых задач для уравнения Лапласа, а такжс для уравнения Пуассона (см. 4 1) методом интегральных уравнений. Этот метод основан на представлении решений в виде интегралов, часто встречающихся в механико и физике и заимсгтюпавшкх оттуда пазванво потекгп~алов, Зтн потенциалы строятся с помо~пью сноцпальпых частных решений, имеющих п переменной точке особенность определенного типа.
Пусть в некоторой точке 0 пространства (х, у, з) помещен точечный электрический заряд !г. Тогда, по кзвестному закону физики, этот заряд создает электростатическое поле, я пряженность которого Е в любой точке О, отличноя от точки О, равна с Е=йд —, Г теоРия потенциАлА $34! (гл.
3 эллиптичкскив уРАВнения 21О где лА — внешняя нормаль Ю в А. Этот интеграл называется по!кек!)паяем овойвого слоя, так как рассматриваемое распределение дизеля может быть приближенно осуществлено, как два палок!сивых на о распределения зарядов ! ! с плотностью — т (А) и — — й ч (А) па расстоянии Ь (по нормали к Ю) друг от друга, если только й > 0 достаточно мало. Правые части (3,34) и (6,34) явля!отея гармоническими функциями в пространстве всюду, кроме точки О. В этом можно убедиться прямым вычислением (достаточно проверить гармоничность (3,34), так как' тогда (6,34) в окрест. ности каждой точки, отлнчной от О, получится в качестве равномерного предела гармонических функций).
Отсюда при небольших предположениях относительно плотностп легко следует гармоничяость потенциалов простого и двойного слоя всюду вне о. Задача. Найдите потенциал простого слоя от равноморио распределенного заряда на поверхности сферы; объемный потенциал от заряда, распределенного равномерно по объему шара. 2. Пусть распределение зарядов в пространстве постоянно по з. Тогда и электростатическое полене зависит от з.
В этом случае вс!о картину распределения зарядов и потенциалов достаточно рассматривать в какой-либо одной пз плоскостей з †. сопзг. Пусть х и у — координаты в этой плоскости. Вместо напряженности от точечного заряда здесь надо рассматривать напряженность в точке О(х, у) от заряда постоивной линейной плотности а, равномерно распределенного по прямой х = а, у = б. Обо. значим !очку (а, о) буквой О.
Нз соображений симметрии следует, что при 1) те О искомая напряженность равна Е= 1!!'(г) г, (7,34) где г=-О(), г=(г). Для вычисления ~(г) за точку О примем точку (О, О) и за () точку (г, О). Тогда О0 („э „~„.а~"И г,! ~ т г Поэтому (7,34) даст откуда точки и, следовательно, при л!обом расположении и плоскости (х р! = —.— (х — - а), мт ы Эти величяны равны, с противоположным знаком, частным производным от функцтп1, называемой логарифмическим потеивкалом или просто потенциалом, и (Е = 227 )и — + сопзг., ! г соотв!тстзенво по х и у. В математических работах принято брать 2а = 1, сопз!.
= О. Таким образом, в случао ПЛОса ОГО ПОЛЯ ТОЧЕЧНЫЙ ЗаРЯД СОЗДаЕт В ПЛОСКОСтн ПОтсицкал к К!) — - а !и — = д !и ! . (9,34) ~Ф 0! 11 )+(д с! Отметим, что этот потенциал нельзя было найти из (3,34) непосредственным !!Ятегрярованг!ем по заряженной линии, так как тогда получился бы расходящийся интеграл. Потенциал от дкполя ва плоскости определяется, аналогнпк1 п. 1, по формуле ! д!ив г сов(00, !) к((!) =.
р —., — =р ' П!.авые части (9,34) и (10,34) являются гармонпческпмн функциями на плоскости вшоду, кроме О (ср. п. 1). Линии уровня этих функций (зквипотенциальпые ливии) имеют вид, изображенный на рис. 13 (для точечного заряда) и рис. 14 (для точечного дкполя). Соответственно (9,34) и (10,34) напишутся выражения для потенциалов от распределенного заряда н диполя.
(гл. 3 теОРия поткнциллА 1 34) 273 Рис. 13. Ркс. 1Ф, 272 ЗЛЛИПТИЧВОКИК УРКВНКННЯ Вместо объемного потенциала здесь будет двумерный потенциал а(ф = ~ ~ о(А)1п —,~Ил, (11,34) о где 6 — область на плоскости. Потенциалы простого и двойного слоя для плоскости цме1от вид соответственно и0;1) = ~ м(А) 1п — Нл, ('12,34) в1А, ,0) л и(17) = ~ в(А) * ' д(л. ('13,34) ь Здесь Х вЂ” лкння на плоскости, ггл — вектор, направленный по нормали к Х- в точке 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
