И. Петровский - Лекции (1120446), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Функция и(()), рассматриваемая при )',)»П н продолжонная на Т. своими предельными значениями дает функцию н()',)), непрерывную и е +л.; аналогично для ~)»И. Этого достаточно для доказатс'чьства теоремы 5. Для того чтобы убедиться в равномерной сходимост) интеграла ( 0,34) в точке Р, возьмем дугу 7ю как при доказательстве теоремы 3, и оцепим интеграл вида (20,34), взятый по 7„. Получим: соз (Ад, ил) ( ).())- )«))- —,)„'г)"-г)./г ) )г) — )«))( ' " а.
ц ) Мы можем считать дугу 7„настолько малой, что она составлена не более чем яз двух выпуклых дуг или прямолинейных отрезков. Легко видеть, что выражение ) ,соз(Ае), пл) )агл равно проекшт элемента дуги а(л на касательну)о в точке А к окружности радиуса «(А,(7) ~сов(А)7, и„) ~ с центрам в точке ««, а — с)гл — углу, под котрым виден нз точки с) элемент е(7А. Очевидно, что для любой выпуклой дуги 7, которую всякий луч, выходящий нз точки «, пересекает но более чем в одной точке, а также для любого прямолинейного отрезка спраэедлизоТнеравенство ( ~ ~) г), < 2,. ) В сякую выпуклую дугу 7 можно разбить ка две части -7, и 1„каждую нз которых всякий луч, выходящий пз точки )), будет пересекать не более чем в одной точке.
Так как дуга 7А состоит не более чем из четырех д г у (или отрезков), обладающих этим свойством, то ) ссэ (А)7, э ) ( ~~ — ° ~ЛА <8„ «(А ф ~ л. н с )едовате)пно с )соэ (А)7, нл) 1 т))х) с(4) т (Р) ( ~ ( -'— ) а)л:й п)ах(т ( 4) — т (Р))'8я. ) )л Если Ь стремится к ~улю, то, ввиду непрерывности т (А), выражение щах(т(А) — т(Р) ).8л стремится к путо равно)« мерно для всех (). Тж)рема 5 доказана. Рассмотрим кормальну)о производную от потенциала простого слоя.
Пусть Р» Т и какая-нибудь функция Р (),«) определена в некоторой окрестности Р. Тогда мы обозначим др(Р) . Г(Р') — Г(Р) дн",, «(Р', Р) др(Р) . Р(Р) — Р(Р") — — — )')ж — —- ди- . Р «(Р, ') Здесь и — нормаль к лкнвц е, проведенная через точку Р; н+ — ее внешняя часть по отнощении) к б, и— ое внугрснпяя часть.
Положительным направлением нормали мыбудем считать ее направление н на вяешиою часть плоскости по отяошепн)о н П. Точка Р' » В, точке Р»С. Мы будем предполагать, что Е удовлетворяет всем тем условиям, которые были сформулированы на стр. 276 — 277, и, кроме того, имеет ограниченную кривизну. Тогда справедлива следующая То о рема 6. Йотенпиал «)ростаео елея и ()7), онред ленный формулой (12,34), имеет е любой тоже Р» Е. дн (Р) «2)«(Р) нроигеадяые — „— и †.
Прн етом дн" дндн Р) с са ~А7',))г) — (А) ','„' —,, Лл-я У», (2(,34) ди (Р) с сог (АР, йг) — — = — ~ и ( 4) — ' а)А + аг) (Р), (22,34) дэ Э «(А, Р) Е Интегралы, стояшие е враль)х частяя (2(,34) и (22,34), еходятея. Предлолаеается, пио г) (А) — непрерывная функ))ця на Ь.
Доказательство. Если с) лежит на лр, но не лежит на. Е, то производная от а(Е по направлению нг ОЛЛИПТР1ЧВСКИВ УГХВЕ1КБЕРН (ГГР. 3 ( 1 24) тковия потвнцнвлА 28! существует и определяется при помощи дифференцирова- ния интеграла (12,34) по параметру: ди (ф д д(пг(А, ~! г сов(АФ "Р! —,' -= — "!.,РЕ Ю.= — ).1С вЂ” ' — 'М,. до, з дв, в г(А ()) с ь (23,34) рассмотрим потенциал двойного слоя в,(()), получен- ный от распределения диполя по е'- с плотностью е (А).
Тогда, если 4) нс лежит на Х,, то Докажем, что полученный интеграл равномерно сходится в точке Р, осли (» находится на лр. Конечно, при етом определение равномерной сходлмости в точке Р (см, п. 3) надо несколько изменить, а именно требовать, чтобы тОЧКа Р» ЛЕжаЛа НЕ ГДЕ УГОДНО В $', а Па ПЕРЕСЕЧЕИИН Лр с окрестностью Г' точки Р. Однако теорема 1 при етом сохранится, если в ее формулировке всюду требовать, чтобь1 точка (» пзходялвсь на лр.
Пусть 1 — малый кусок Л около точки Р. Тогда, вели пюх(св(А)(=С, ! сов(А9, 5РА) — сов (Ас», йр) ! гР) РПА «» г(:Е, 1) ( ! (гЕ(), ОР,) — (.Щ, и ) г(А,, ® — с()в =- ! 2 (вж зр) ' = 2С ~ — — — Л„< С ( ~' р Н„в). (25,34) (АВ ")(АО) Здесь мм зевло:Рьвонвзксь тем, что длв любых ь н б — я .
в+в сова-сов 2=-2 в(в — ' в(п —, н ! в!а в( ьт (а !. 2 2 Мы предполагаем, что линия Т имеет ограниченную кри- визну в(А), Позтому (( „л,)(=~ ~ .(А) )(,(-.-С,)АР! и леван часть (25 34) будет не больше СС ~ — «1(в. (АР! г (А, 4Р) (26,34) Если дуга 1 достаточно мала, то прп А Ф Р ! Р— ~(втп(АР, л,)) ~1 ьг 2 г (А, Р) —, ( АР ~. Тогда, если обозначить через А' проекцн1о точки А на лр (рпс. 17), то г(А, (») >г(А, А') > —.«(А, Р) > —.(АР[ )г 2 2 Ргз н оценка (26,34) показывает, что левая часть (25,34) будет меесьше ССР 2)гг 2 ~ сРР'= в( =2 1гг2СС,;'((.
Отсюда видно, что левая *гасть (25,34) стремегг- СЯ К НУЛЕО ПРН 1 — РО РаВНОМЕРНО для всех Р», лежащих па пр. Таким образом, равномерная сходимость интеграла (24,34) доказана. Из равномерной сходимости рвс, !т. интеграла (24,34) в точке Р следует в силу теоремы 1 (соответственно измененной, так как () леясит в пересечении г' с Ргр), что интеграл имеет смысл (сходвтся), если О=Р, и имеет предел, когда ссг-эР по прямой лр.
Этот предел равен значению икте- творил патвнциАлА эллиптпчеснив уРАВнрния (гп.,'! трала (24,34) при л',)=Р. Иначе говоря, ди (Р') ( . Г ""(""' р,,) дх, 1пп à — +и (Р') =- 1ип "— — + и (Р")~ =.— Р-~Р1 Р р. р( дп и сои(АР, пл) — соз(АР, п,) Однако в левой части (24,34) характер разрыва вто- рого слагаемого определяется теоремой 5: )лш и,(Р') = и,(Р) = ~ (А) ' — л((А + . (Р), сох(АР, и ) Р) А ! ш и„(Р") = и, (Р) = ( и (Л) — "' Ж вЂ” хс! (Р).
Отсюда и нз (27,34) следует, что пределы и интшрал )пп —.— —, 1лш —., и (4) Ж ди(Р') . ди(Р') г сиз(АР, и ) р, 1, дпр 'р. р дпр ' ~ х(А, Р) сущеотву!от, причем дх. (Р') ! соз ( лр, и, ) ) (28,34) ,:!и(Р") ! !ох(АР, пр) !х-Р ~ Р 1 Прп помаши теоремы о конечных приращениях нетрудно убедиться в том, что если на каком-нибудь отрезке(а, б) (а < а) дана непрерывная функция л(х), причем )" (х) существует при а < х < б и 1(ш у'(и) (29,34) (х)х! (29 34 . существует, го производная г' (а) существует и равна ); конечно, под ~ (а) надо понимать правую произ- водную от у(х), т. е. 11 Ах О ллх>О) + Ах) — ! (о) Поэтому пз предыдущего вытекает„что —.
и— ди(Р) ди(Р) дп. ' ди- существуют, причем ди (Р) 1. ди (Р') ди (Р) 1. ди(Р ) дп' Р'ш д р ' дрл- р' р охр Отслода и из (28,34) следуют формулы (21,34) н (22,34). Теорема 6 доказана. 3 а д а ч а 1. Докажите теоремы, аналогичные теоремам 5 и 6, для случая, когда Ь вЂ” незамкнутая линия с непрерывно враша!ощейся касательной, составленная вз конечного числа выпуклых дуг, нме!ощнх ограниченну!о кривизну. Задача 2. Перенесите теоремы 3, 4, 5 ва тот случай, когда П есть многоугольник. Замечания. 1.
Все доказанные в настоящем параграфе теоремы о потенциалах простого н двойного слоя остаются справедливыми, если предполагать только, что линия Ь вс!аду имеет ограниченную кривизну, 2. Вое доказанные в настоящем параграфе теоремы естественна переносятся на потенциалы простого н двойного слоя в таехмерном пространстве, если предположить, что поверхность Ю, по которой берутся интегралы, соответствующие (4,34) (потенциал простота слоя) н (4,34*) (потенц!!ал двойного слоя), имеет всюду ограничепншо кривизну, Прн этом оказывается, что потенциал простого слоя всюду непрерывен, а потенциал двойного слоя н нормальные производные потенциала простого слоя около точки 0 заряженной поверхности имеют скачки 4лсс ф), соответственно 4яа (л„л), вместо 2хс ф), соатветственио 2хло (()), в случае плоскости.
Здесь и(()) соответственно сф), означаютплотность распределениязарядов,соответственно диволеи, ва поверхности Я, Предполагается, чта эти плотнаслн непрерывны. Совершенно так же переносятся на трехмерное пространство все рассуждения следующего параграфа. Доказательство этих утверждений можно нанти, например, в книге С. Л. Соболева, Уравнения математнческай физики, Го*технздат, 1950, стр. 204 — 219, ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (сл, 3 ь 35.
Решение краевых аадач с помощью потенциалов 1. Сведение краевых задач для гармонических функций к интегральным урагнекиям. Пусть Ь вЂ” плоская замкнутая линия с непрерывно вращающейся касательной и непрерывной кривизной, состоящая нз конечного числа выпуклых дуг и прямолинейных отрезкове), Пусть на Ъ задана непрерывная функция )(Р). Будем решать внутреннюсо задачу Дирихле, состоящую, как было указано в 5 27, п разысканон функции и ф), непрерывной в 6+ Х и гармонической в 6, причем на 1. должно быть и (Р) = у (Р), (1,35) Мы будем искать эту гармоническую функцию в виде потенциала двойного слоя с неизвестной непрерывной плотностью с(А) распределения дипсля на У.. Б силу теорем 2 и 5 Т 34 этому расиределенкю соответствует функция иф), непрерывная на 6+ с, и гармоническая при ~~ 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
