Е.В. Радкевич - Лекции по урматфизу (1120444), страница 7
Текст из файла (страница 7)
 ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì áåñêîíå÷íóþ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèÿ.Êîíå÷íî, ýòî èäåàëèçèðîâàíàÿ ìîäåëü, íî ðàññìîòðåííûå ñëó÷àè óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ïîêàçûâàþòíà ñóùåñòâåííîå ðàçëè÷èå ñòðóêòóðû ðåøåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñåìåéñòâõàðàêòåðèñòèê.III. Ïóñòü b2 − ac < 0, òîãäà óðàâíåíèå (53) èìååò êîïëåêñíî ñîïðÿæåííûå êîðíè. Ðàññìîòðèìóðàâíåíèå´pdψ(x)1³=b + b2 − ac(59)dxcïðàâàÿ ÷àñòü êîòîðîãî âåùåñòâåííî àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, ïðèíèìàþùàÿ êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ,åñëè âåùåñòâåííî àíàëèòè÷íû a, b, c.Çàäà÷è(íàø çàäà÷íèê!!!!!!!!!!) Ïðèìåðû íà ïîñòðîåíèå ìàæîðàíò â òåîðåìå Êîâàëåâñêîé, çàäà÷èíà òåîðåìó Êîâàëåâñêîé èç íàøåãî çàäà÷íèêà.Ëåêöèÿ IV. Ñèììåòðèçóåìûå ñèñòåìû. Óñëîâèå Ãîäóíîâà Áîëüøèíñòâîáàçîâûõ ñèñòåì óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêèõ ôèçèêè ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå òàê íàçûâàåìûõñèñòåì çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ âèäà∂t uj +nX∂xk f j,k = 0,j = 1, .
. . , m,x ∈ Rn .(60)k=1Çäåñü f j,k ôóíêöèè âåëè÷èí u = (u1 , . . . , um ). Èç (60) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ãëàäêèõ ðåøåíèé, ñòàáèëèçèðóþùèõñÿíà áåñêîíå÷íîñòè (u → 0 åñëè |x| → ∞), ñðåäíèåZuj (t, x) dx = const,ò.å. uj ñîõðàíÿþò ïðè ýâîëþöèè ñâîè ïðîñòðàíñòâåííûå ñðåäíèå ( ÿâëÿþòñÿ êîíñåðâàòèâíûìè âåëè÷èíàìè). ýòîì ïàðàãðàôå ìû ïðèâåäåì íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñèììåòðèçóåìîñòè ñèñòåìûçàêîí ñîõðàíåíèÿ (60). Ïîêàæåì, ÷òî ýòà çàäà÷à ñâÿçàíà ñ ñóùåñòâîâàíèåì òàê íàçûâàåìîãî âûïóêëîãî( ïî Ãîäóíîâó [2,5]) ðàñøèðåíèÿ ñèñòåìû (60), ò.å. äîïîëíèòåëüíîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ∂t Φ(u) +nX∂xk Ψk (u) = 0,(61)k+1êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñèñòåìû (60) (ýòî óðàâíåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ ãëàäêèõ ðåøåíèé(60)). Ãëàäêèå ôóíêöèè (Φ(u), (Ψ1 , .
. . , Ψn (u)) íàçûâàþòñÿ ýíòðîïèåé è ïîòîêîì ýíòðîïèè ñîîòâåòñòâåííî.Ýíòðîïèÿ íàçûâàåòñÿ ñòðîãî âûïóêëîé, åñëè ìàòðèöà âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ³´∂uk ∂uj Φ(u) > 0.(62)ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà.Ëåììà 0.2 Ñèñòåìà (60) ñèììåòðèçóåìà, åñëè ñóùåñòâóåò åå ñòðîãî âûïóêëîå ðàñøèðåíèå.Äîñòàòî÷íîñòü Ïóñòü ñóùåñòâóåò äîïîëíèòåëüíûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ñ ëþáûìè ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè(Φ(u), (Ψ1 , . . . , Ψn (u)). Cëåäóÿ [6] ïîëîæèì Φj = ∂uj Φ, flj,k = ∂ul f j,k , Fl = ∂ul Ψ.
Î÷åâèäíî, (61)ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì (60) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàΦj flj,k = Ψkl ,j, l = 1, . . . , m, k = 1, . . . , n.(63)Äèôôåðåíöèðóÿ (67) ïî us , ïîëó÷èìj,kΦj,s flj,k = Ψkl,s − Φkj fl,s.(64)Èç ñèììåòðè÷íîñòè ïðàâîé ÷àñòè (64) ñëåäóåò ñèììåòðè÷íîñòü å¸ ëåâîé ÷àñòè. Îòñþäà, óìíîæàÿóðàâíåíèÿ ñèñòåìû (60) íà Φj,h è ñóììèðóÿ ïî j , ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèéΦjh ∂t uj + Φj,h flj,k ∂xk ul = 0,h = 1, .
. . , m,(65)kñ ñèììåòðè÷íûìè, â ñèëó (64), ìàòðèöàìè ∂ 2 Φ = (Φj,h ), Fhl= (Φj,h flj,k ). Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâîâàíèåðàñøèðåíèÿ (61) ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñèììåòðèçóåìîñòè ñèñòåìû çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ(60). Îñòàëñÿ îòêðûòûì âîïðîñ î ïðèâîäèìîñòè ñèñòåìû (??) ê íîðìàëüíîìó âèäó ñ åäèíè÷íîéìàòðèöåé ïðè ïðîèçâîäíîé ∂t (ñì. [2] èíâàðèàíòû Ðèìàíà).  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ñèñòåìû (60) ñëèíåéíûìïîòîêîì (ìàòðèöà (flj,k )− ìàèðèöà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, ýíòðîïèÿ Φ(u) =Pj kajk u u êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ) äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü ñòðîãóþ âûïóêëîñòü ýíòðîïèè. Òîãäàñóùåñòâóåò çàìåíà ïåðåìåííûõ u = Ov ïðèâîäÿùàÿ ñèñòåìó (65) ê íîðìàëüíîìó âèäój,k∂t vj + λ−1j Gl ∂xk vl = 0,−1 k(Gj,kF O,l )=O(66)λj > 0− ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû ∂ 2 Φ.Íåîáõîäèìîñòü Çàìåòèì, ÷òî åñëè ñèñòåìà (60) ñèììåòðè÷íàflj,k = fjl,k(67)ôóíêöèèmΦ=1X j 2(u ) ,2 j=1Ψk = uj f j,k − g k ,∇xj g k = f j,k .(68)îïðåäåëÿþò ñòðîãî âûïóêëîå ðàñøèðåíèå ïðè óñëîâèè ðàçðåøèìîñòè ñèñòåìû óðàâíåíèé (68).
Óñëîâèÿñèììåòðè÷íîñòè (67) ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå ãëàäêîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû∇xj g k = f j,k .Ïðèìåð. Ïðèâåäåì ïðèìåðû ñèìåòðèçóåìûõ ñèñòåì:1. Èññëåäóåì íà ïðåäìåò ñèììåòðèçóåìîñòè ñèñòåìó, ðàñìîòðåííóþ íàìè âûøå2∂t v(x, t) + v(x, t) ∂x v(x, t) + ∂x Π(x, t) = 0, (x, t) ∈ R+12∂t Π + µ ∂x v(x, t) + Π = 0, (x, t) ∈ R+τ(69)Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýíòðîïèéíàÿ ïàðà â ýòîì ñëó÷àåΦ(v, Π) =µ 2 1 2v + Π ,22Ψ(v, Π) =µ 3v + µ vΠ.3Òîãäà âûïóêëîå äèññèïàòèâíîå ðàñøèðåíèå:³µ³µ´ 11 ´∂tv 2 + Π2 + ∂xv 3 + µ vΠ + Π2 = 0223τÌàòðèöà âòîðûõ ïðîèçâîäíûõµ¶µ 02∂ Φ=0 1µv 1µ 0F =¶µ⇒2∂ Φ· F =µvµµ0¶Îòñþäà ñëåäóåò ñèììåòðèçóåìîñòü ñèñòåìû (69)µ¶ µ¶µ¶µ¶µ¶1µ 0vµv µv0∂t+∂x+= 0.0 1Πµ 0ΠΠτ2Òåïåðü ìîæíî ïîëó÷èòü àïðèîðíóþ îöåíêó â C((0, ∞); L2 (R+)).
Ïîëó÷èì¶ µ¶ µ¶¶¶µ¶ µ¶¶Z µµZ µµµ 0vvµv µvv∂t,dx +∂x,dx =0 1σΠµ 0ΠσR1R1¶µ¶Z µZ1 d1µ v20=dx = −dx22ΠΠ2 dt R1τ R1Òàêèì îáðàçîì, èìååì:dµdtZò.å. âåëè÷èíà v êîíñåðâàòèâíàddt2v dx = 0,R1Z2Π dx +τR1ZΠ2 dx = 0,R1Z2v dx(t) ≡R1R1íåðàâíîâåñíàÿ ïåðåìåíàÿ Π → 0:ZZ2−t/τΠ dx(t) = eR1Z2R1v|2t=0 dx,Π|2t=0 dx → 0åñëè t → ∞.2. Ðàñìîòðèì îäíîìåðíóþ ñèñòåìó ïåðâîãî ïîðÿäêà∂t u + ∂x v = 0,∂t v − ∂x u − ∂x σ = 0,∂t σ − 3∂x v = 0.Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòà ñèñòåìà èìååò ñòðîãî âûïóêëîå ðàñøèðåíèåihi£∂t u2 + v 2 + (σ + 2u)2 − 2∂x vσ + uv = 0,äëÿ ýíòðîïèéíîé ïàðûhiΦ = u2 + v 2 + (σ + 2u)2 , Ψ = −2 vσ + uv .(70)Çäåñü ìàòðèöà âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ10 0∂2Φ = 0 24 0Ïðèìåíÿÿ ýòó ìàòðèöó0 −2040 ;2ê ñèñòåìå (70), ïîëó÷èì10−2 00 −2 ∂t U + 04−2 0³´det ∂ 2 Φ 6= 0.ñèììåòðèçîâàííóþ ñèñòåìó0 42 0 ∂x U = 0, U = (u, v, σ)> ,0 2êîòîðóþ ìîæíî (ñì.
(66)) ïðèâåñòè ê ñèììåòðè÷íîìó íîðìàëüíîìó âèäó ñèñòåìû òèïà Êîâàëåâñêîé∂t U + A ∂x U = 0.Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèììåòðè÷íîé ñèñòåìû  ýòîì ïàðàãðàôå ìûïðîäîëæèì èññëåäîâàíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåì ïåðâîãî ïîðÿäêà, íî äëÿ ïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿëèíåéíûì ñëó÷àåì. Ïóñòü â ïîëîñå QT = {0 ≤ t ≤ T, x ∈ Rn } çàäàíà ñèñòåìà N óðàâíåíèéL(u) = ut +nXAj (t, x)uxj + Bu = f (t, x),(3.1)j=1ãäå u(t, x) = (u1 (t, x), . . . , uN (t, x)), f (t, x) = (f1 (t, x), .
. . , fN (t, x)). Ìàòðèöû Aj (j = 1, . . . , n) ïðåäïîëàãàþòñÿñèììåòðè÷åñêèìè: Aj = (Aj )∗ . Ïðèâåä¸ì ðÿä îïðåäåëåíèé:Îïðåäåëåíèå0.1 Ñèñòåìà(3.1) íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé ïî íàïðàâëåíèþ îñè t, åñëè óðàâíåíèå°P°° n°det ° j=1 Aj ξj + λE ° = 0 îòíîñèòåëüíî λ ïðè âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ξ 6= 0 èìååò ðîâíî N äåéñòâèòåëüíûõêîðíåé λ1 , . .
. , λN , âîçìîæíî êðàòíûõ.Îïðåäåëåíèå 0.2 Ñèñòåìà (3.1) íàçûâàåòñÿ ñòðîãî ãèïåðáîëè÷åñêîé, åñëè ýòè êîðíè äåéñòâèòåëüíûè ðàçëè÷íû äëÿ ëþáîãî ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) 6= 0.Åñëè Aj ñèììåòðè÷åñêèåAj = (Aj )∗ , òîãäà ñèñòåìà àâòîìàòè÷åñêè ãèïåðáîëè÷íà (äëÿPn ìàòðèöû,jëþáîãî ξ0 6= 0 ìàòðèöà j=1 A ξj èìååò âåùåñòâåííûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ) .Îïðåäåëåíèå 0.3 Ìàòðèöà B íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, åñëè (Bu, u) > 0 äëÿëþáîãî u 6= 0 (äèññèïàòèâíîñòü).Îïðåäåëåíèå 0.4 Âåêòîð ξ = (ξ0 , .
. . , ξn ) íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì, åñëèn°°X°°det °ξ0 E +ξj Aj ° = 0.j=1Îïðåäåëåíèå 0.5 Ïîâåðõíîñòü S ⊂ Rn+1 íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ ïðîñòðàíñòâåííîãî òèïà,åñëè äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ν = (ν0 , . . . , νn ) âíåøíåé íîðìàëè ê S ìàòðèöàν0 E +nXνj Ajj=1ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé.Î÷åâèäíî, ïîâåðõíîñòü t = const ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ ïðîñòðàíñòâåííîãî òèïà.
Çíà÷èò, òàêèåïîâåðõíîñòè ñóùåñòâóþò. äàëüíåéöøåì áóäåì íàçûâàòü çàäà÷ó Êîøè äëÿ (60) êîððåêòíîé, åñëè äëÿ ëþáûõ ãëàäêèõíà÷àëüíûõ äàííûõ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ãëàäêîå (êëàññè÷åñêîå) ðåøåíèå, ïî êðàéíåé ìåðå âäîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè ãèïåðïëîñêîñòè t = const èëè íåõàðàêòåðèñòè÷åñêîé ãèïåðïîâåðçíîñòèäëÿ êîòîðãî ñïðàâåäëèâà àïðèîðíàÿ îöåíêà (íàïðèìåð â L2 ). Öåëüþ ýòîãî ïàðàãðàôà ÿâëÿåòñÿèññëåäîâàíèå óñëîâèé êîððåêòíîñòè çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåìû (3.1).Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè Ðàññìîòðèì íà ïëîñêîñòè t = 0 îáëàñòü G è ïóñòü Ω îáëàñòüâ Rn+1 , îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòüþ G ⊂ Rn è ïîâåðõíîñòüþ S ïðîñòðàíñòâåííîãî òèïà ïî îòíîøåíèþ êñâîåé âíåøíåé íîðìàëè. Ïóñòü äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (3.1) çàäàíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ â îáëàñòè G:¯¯u¯= ψ(x),(3.2)t=0òî åñòü ïîñòàâëåíà çàäà÷à Êîøè.Òåîðåìà 0.2 C 1 − ðåøåíèå ñèñòåìû (3.1) â G îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ çàäàííûìè íà÷àëüíûìèäàííûìè (3.2) â ëþáîé òî÷êå îáëàñòè Ω.Äîêàçàòåëüñòâî Ðàññìîòðèì ñå÷åíèå îáëàñòè Ω ãèïåðïëîñêîñòüþ t = τ :Gτ = Ω ∩ {t = τ }.Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿQτ = {0 ≤ t ≤ τ, x ∈ Rn },Ωτ = Ω ∩ Qτ ,Sτ = S ∩ Qτ .Óìíîæèì âåêòîðíîå ðàâåíñòâî (3.1) ñêàëÿðíî íà âåêòîð 2u.
Ïîëó÷èì(2u, ut ) + 2nX¡¢Aj uxj , u + 2 (Bu, u) = (2u, f ) .(3.3)j=1Ïðåîáðàçóåì îòäåëüíûå ÷ëåíû´¡ j¢¡¢ ¡¢ ³A u, u xj = Aj u, uxj + Aj uxj , u + Ajxj u, u ,(2u, ut ) = (u, u)t ,îòêóäà â ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè ìàòðèö Aj³´¡¢ ¡¢2 Aj uxj , u = Aj u, u x − Ajxj u, u .jÏîäñòàâèì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â ðàâåíñòâî (3.3). Ïîëó÷èì(u, u)t +n³´X¡ j¢e u = 2 (u, f ) ,A u, u xj + Bu,(3.4)j=1e = 2B − Pn Ajx . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìàòðèöà Be óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþãäå Bj=1j³´e u ≥ (u, u).Bu,Íèæå ìû ïîêàæåì, ÷òî íà êîíå÷íîì âðåìåííîì èíòåðâàëå (0, T ) ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ýòî äîïîëíèòåëüíîåóñëîâèå íå îãðàíè÷èâàåò îáùíîñòè.Ïðîèíòåãðèðóåì (3.4) ïî Ωτ è âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿîáúåìíîãî èíòåãðàëà â ïîâåðõíîñòíûé. (~n âåçäå îáîçíà÷àåò åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè êïîâåðõíîñòè, îãðàíè÷èâàþùåé Ωτ ).
Ïîëó÷èì:ZΩτèëèZn³´onX¡ j¢e u dxdt = 2(u, u)t +A u, u xj + Bu,Z(u, f )dxdtΩτj=1nonX¡ j¢A u, u cos(~n, xj ) dσ+(u, u) cos(~n, t) +∂Ωτ =G∪Gτ ∪Sτj=1Z³+Z´e u dxdt = 2Bu,Ωτ(u, f )dxdt.ΩτÍà Gτ èìååì cos(~n, t) = 1, cos(~n, xj ) = 0, â òîæå âðåìÿ íà G cos(~n, t) = −1, cos(~n, xj ) = 0. ÎòñþäàZZ(u, u)dxZ−ni´³hXE cos(~n, t) +Aj cos(~n, xj ) u, u dσ(u, u)dx +GτGZSτ³+j=1Z´e u dxdt = 2Bu,(u, f ) dxdt.ΩτΩτÒàê êàê S ïîâåðõíîñòü ïðîñòðàíñòâåííîãî òèïà, íîðìàëü~n = (cos(~n, t), cos(~n, x1 ), . . .
, cos(~n, xn )), òîZ ³hni´XE cos(~n, t) +Aj cos(~n, xj ) u, u ≥ 0.Sτj=1³´e u ≥ (u, u), ïîëó÷èì íåðàâåíñòâîÓ÷èòûâàÿ, ÷òî Bu,ZZZ(u, u) dx +Gτ(u, u)dxdt ≤ΩτZ(u, u) dx + 2G(u, f ) dxdt.(3.5)ΩτÄëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ v, w ñïðàâåäëèâî 2(v, w) ≤ (v, v) + (w, w), îòêóäàZZZ2(u, f ) dxdt ≤(u, u) dxdt +(f, f ) dxdt.ΩτΩτΩτÑ ó÷åòîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé íåðàâåíñòâî (3.5) çàïèøåòñÿ â âèäåZZZ(u, u) dx ≤(ψ, ψ) dx +(f, f ) dxdt.GτG(3.6)ΩτÝòî íåðàâåíñòâî íîñèò íàçâàíèå ýíåðãåòè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà èëè àïðèîðíîé îöåíêè C 1 − ðåøåíèÿçàäà÷è Êîøè.Ïóñòü òåïåðü u0 (t, x) è u00 (t, x) äâà ðåøåíèÿ ñèñòåìû (3.1), óäîâëåòâîðÿþùèå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ(3.2).
Òîãäà v = u0 − u00 åñòü ðåøåíèå ¯îäíîðîäíîé ñèñòåìû, ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìå (3.1), ò.å. ïðèf (t, x) = 0, ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì v ¯t=0 = 0. Èç ýíåðãåòè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà äëÿ v ñëåäóåò, ÷òîv(t, x) ≡ 0, ò.å. u0 ≡ u00 .Èç àïðèîðíîé îöåíêè (3.6) ñëåäóåò òàêæå òåîðåìà î íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ (3.1) îòíà÷àëüíûõ äàííûõ è ïðàâîé ÷àñòè f .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
