Е.В. Радкевич - Лекции по урматфизу (1120444), страница 6
Текст из файла (страница 6)
íå ðàçðåøåíà îòíîñèòåëüíî ñòàðøåé ïðîèçâîäíîéFi (x, u, ∂x u, . . . , ∂xα u, . . . ) = 0,i = 1, . . . , m,(42)βãäå u = (u1 , . . . , um ), ∂xβ u = ∂∂xβ u. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè Fi ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè èçàâèñÿò îò ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé uj ïîðÿäêà ≤ nj . Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ðàññìîòðèì íà ãëàäêîéàíàëèòè÷åñêîé ãèïåðïîâåðõíîñòè Γ∂νk ui (x) = ϕi,k (x),x ∈ Γ, k = 0, 1, . . . , ni − 1; i = 1, . .
. , m.(43)Çäåñü ∂ν ïðîèçâîäíàÿ ïî íîðìàëè ê Γ.Ñíà÷àëà ñâåäåì ýòó çàäà÷ó ê íîðìàëüíîìó âèäà :n∂t j uj = Gi (t, y, u, ∂t u, ∂y u, . . . , ∂tk ∂yα u, . . . ), k ≤ nj − 1, |α| ≤ nj , j = 1, . . . , K∂tk uj |t=0= ϕ(y)e jk ,k = 0, . . . , nj − 1, j = 1, . . . , K(44)(45)Ñäåëàòü ýòî ìîæíî ïðè äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ. Ââåä¸ì â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè P0 ∈ Γëîêàëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò (t, y1 , . .
. , yn−1 ) òàê, ÷òîáû ýòè êîîðäèíàòû âûðàæàëèñü ÷åðåç xàíàëèòè÷åñêè è ÷òîáû ïåðåìåííàÿ t ìåíÿëàñü â íàïðàâëåíèè íîðìàëè ê Γ òàê, ÷òî ïîâåðõíîñòüΓ îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì t = 0, à êîîðäèíàòû y1 , . . . , yn−1 ïðè t = 0 áûëè áû ëîêàëüíûìèêîîðäèíàòàìè íà Γ:∇x S ∇x S1 6= 0t = S(x), yj = Sj (x), j = 1, . . .
, n − 1,det ...∇x Sn−1ãäå S, Sj − âåùåñòâåííî àíàëèòè÷åñåêèå ôóíêöèè, óðàâíåíèå S = 0 ëîêàëüíî îïðåäåëÿåò ïîâåðõíîñòüΓ.  íîâûõ êîîðäèíàòàõ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïðèîáðåòàþò ôîðìó (45) è ñèñòåìà (44) ïðèìåò ñëåäóþùèéâèä:Fei (t, y, ∂tn1 u1 , . .
. , ∂tnK uK , . . . , ∂tk ∂yα us , . . . ) = 0, i = 1, . . . , K.(46)Óñëîâèå (45) ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü âñå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè uj ïðè t = 0 äî ïîðÿäêà nj − 1.Áîëåå òîãî, äèôôåðåíöèðîâàíèå íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïîçâîëÿåò íàéòè ïðè t = 0 âñå ïðîèçâîäíûå∂tk ∂yα uj , êîòîðûå èìåþò ïî t ïîðÿäîê ≤ nj − 1 ( ëþáîãî ïîðÿäêà ïî y ). Òàêèì îáðàçîì, ïðè t = 0èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé ìîæíî íàéòè çíà÷åíèÿ âñåõ àðãóìåíòîâ ôóíêöèé Fei , èñêëþ÷àÿ ïðîèçâîäíûåïî t ìàêñèìàëüíîãî ïîðÿäêà nj äëÿ uj , òàê ÷òî ýòè óðàâíåíèÿ ïðè t = 0 ìîæíî çàïèñàòü â âèäåóðàâíåíèéFei (0, y, ∂νn1 u1 (0, y), .
. . , ∂νnm um (0, y), . . . , ∂tk ∂yα ϕes , . . . ) = 0,i = 1, . . . , m.(47)îòíîñèòåëüíî ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ ïðîèçâîäíûõ ïî t. Åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ÿêîáèàíff∂(F1 , . . . , FK )∂(∂tn1 u1 , . . . , ∂tnK uK )6= 0áûë îòëè÷åí îò íóëÿ ïðè t = 0, ñèñòåìó (42) ìîæíî ëîêàëüíî ïðèâåñòè ê íîðìàëüíîìó âèäó (44).Åñëè ïîâåðõíîñòü Γ çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì S(x) = 0, |∇x S| 6= 0, òî ýòî óñëîâèå â ñòàðûõ êîîðäèíàòàõìîæíî çàïèñàòü â âèä寯 X¯¯∂ Fi¯¯α ¯¯det ¯¯(∂S)6= 0, t = 0.(48)¯¯x∂(∂xα uj )i,j=1,...,K|α|=njÒàêèì îáðàçîì, ëîêàëüíîå ïðèâåäåíèå ê íîðìàëüíîìó âèäó òðåáóåò âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ íåõàðàêòåðèñòè÷íîñòè(48) ãðàíèöû Γ è åå ëîêàëüíîé âåùåñòâåííîé àíàëèòè÷íîñòè (S ∈ Aloc ).Óñëîâèå íåõàðàêòåðèñòè÷íîñòè (48) ïîâåðõíîñòè Γ èìååò îñîáåííî ïðîñòîé ñìûñë, êîãäà Fiëèíåéíî çàâèñÿò îò ïðîèçâîäíûõ. Íàïðèìåð äëÿ óðàâíåíèÿXaα (x)∂xα u + f (x) = 0,(49)|α|≤ móñëîâèå (48) ïðèìåò âèäXaα (x)(∂x S)α 6= 0,S(x) = 0.|α|=m òî÷êàõ, â êîòîðûõ (48) ðàâåí íóëþ, ãîâîðÿò ÷òî íîðìàëü ê Γ â òàêèõ òî÷êàõ èìååò õàðàêòåðèñòè÷åñêîåíàïðàâëåíèå.
Åñëè â ëþáîé òî÷êå Γ îïðåäåëèòåëü â (48) ðàâåí íóëþ, ïîâåðõíîñòü Γ íàçûâàåòñÿõàðàêòåðèñòè÷åñêîé.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà (47) ïîðîæäàåò ïðè t = 0 íåòðèâèàëüíîå ñîîòíîøåíèåäëÿ íà÷àëüíûõ äàííûõR(ϕ1,0 , . . . , ϕm,0 , . . . , ∂x ϕi,j , . . . ) = 0.Íàïðèìåð äëÿ (49) ïðè S(t, y) = t, x = (t, y), ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèåXak,β (0, y)∂yβ ϕk (y) + f (y, 0)) = 0.k+β≤ m, k6= mÏðèìåð íåñóùåñòâîâàíèÿ àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ×òî æå áóäåò â õàðàêòåðèñòè÷åñêîìñëó÷àå? Ðàññóæäåíèÿ, êîòîðûå áûëè èñïîëüçîâàíû âûøå ïðè äîêàçàòåëüñòâå åäèíñòâåíîñòè àíàëèòè÷åñêîãîðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè, ïðèìåíèìû ê ñèñòåìàì âèäà∂tni ui = fi (t, x, u, ∂t u, ∂x u, .
. . ),i = 1, . . . , m.(50)è â òîì ñëó÷àå, êîãäà ïðàâûå ÷àñòè ìîãóò ñîäåðæàòü , íàïðèìåð, ïðîèçâîäíûå ∂tk ∂xα uj ñ k + α >nj , k < nj (äëÿ ñèñòåìû òèïà Êîâàëåâñêîé òðåáóåòñÿ, ÷òîáû k + α ≤ nj , k < nj ). Îäíàêî âýòîì ñëó÷àå àíàëåòè÷åñêîå ðåøåíèå, âîîáùå ãîâîðÿ, ñóùåñòâóåò íå äëÿ âñåõ íà÷àëüíûõ äàííûõ.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè∂t u = ∂x2 u,x ∈ R1 , t > 0;u(0, x) =1.1 + x2(51) ýòîì ñëó÷àå S(x, t) = t ⇒ ∇ S = (0, 1) èXaα (∂x S)α1 (∂t S)α2 ≡ 0.|α|=2Òàêèì îáðàçîì çàäà÷à (51) õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ. Äîêàæåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå íåò àíàëèòè÷åñêîãîðåøåíèÿ â îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàò (0, 0).Áóäåì äîêàçûâàòü îò ïðîòèâíîãî.
Ïðåäïîëîæèì ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ, àíàëèòè÷åñêîãî â íà÷àëåêîîðäèíàò:Xuα1 ,α2 tα1 xα2 .u(t, x) =|α|≥0Òîãäà êîýôôèöèåíòû uα1 ,α2 èìåþò ñëåäóþùèé âèäu2s,k =(2s + 2k)!(−1)k+s ,(2s)!k!u2s+1,k = 0,s ≥ 0, k ≥ 0.Íî òîãäà ýòîò ðÿä íå ñõîäèòñÿ íè â êàêîé îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàò, ïîñêîëüêó îí ðàñõîäèòñÿ,íàïðèìåð, â ëþáîé òî÷êå (0, x), x 6= 0.Êîììåíòàðèé Òåïåðü ñäåëàåì êîììåíòàðèè ê òåîðåìå Êîøè (òåîðåìû Êîâàëåâñêîé), äîêàçàííîéíàìè íà ïðåäûäóùåé ëåêöèè. Î÷åâèäíî, âñå ñâîéñòâà ìàæîðàíò è ìàæîðàíòíûõ óðàâíåíèé ïåðåíîñòñÿíà âåùåñòâåííî àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè u ∈ ACloc ëîêàëüíî ïðåäñòàâèìûõ â âèäå àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿñòåïåííûõ ðÿäîâXu(x) =uα (x − x0 )α ,uα ∈ C 1 , x ∈ Rn , n ≥ 1,|α|≥0êîýôôèöèåíòû êîòîðûõ ïðèíèìàþò êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ, è óðàâíåíèÿdu = f (u, x)dxèëè ñèñòåìûn∂t j uj = Fj (t, y; u1 , .
. . , uK , . . . , ∂tk ∂yα us , 0 ≤ k ≤ ns − 1, |α| + k ≤ ns , |α| ≥ 0),ïðàâûå ÷àñòè êîòîðûõ âåùåñòâåííî àíàëèòè÷íû ïî x = (t, y) è ãîëîìîðôíû ïî u è åå ïðîèçâîäíûì,ò.å. ëîêàëüíî ïðåäñòàâèìûõ â âèäå àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâFj (t, y; ξ1 , . . . , ξK , . . . , ξk,α,s ; 0 ≤ |α| + k ≤ ns ; 0 ≤ k ≤ ns − 1; s = 1, . . . , K) =X0=fl,β;βk,α,s (t − t0 )l (y − y0 )β (ξk,α,s − ξk,α,s)βk,α,s ,(52)l+|β|+|βk,α,s |≥00fl,β;βk,α,s , ξk,α,s , ξk,α,s∈ C 1 , (t, y) ∈ Rn .0Îòñþäà ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ ψ(x) ∈ ACloc çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (59) ñ ψ(x0 ) = ψ .Òîãäàψ(x) = ψR (x) + i ψI (x),ψR (x), ψI (x)-ëèíåéíî íåçàâèñèìû, âåùåñòâåííî àíàëèòè÷íû è ïðèíèìàþò âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ.Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî çàìåíà ïåðåìåííûõx1 = y − ψR (x),x2 = y − ψI (x)ïðèâîäèò óðàâíåíèå (53) ê êàíîíè÷åñêîìó (ýëëèïòè÷åñêîìó) âèäó´³Q(x1 , x2 ) 6= 0.Lu = Q(x1 , x2 ) ∂x21 + ∂x22 u + .
. . ,òî÷êàìè îáîçíà÷åíû ìëàäøèå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ.Ïðèâåäåì ïðèìåð êà÷åñòâåííîãî ðàçëè÷èÿ ðåøåíèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî ¤ u ≡ ∂t2 u − ∂x2 u = 0è ýëëèïòè÷åñêîãî ∆ u ≡ ∂x2 u + ∂y2 u = 0 óðàâíåíèé. Ïîñòàâèì òàêóþ çàäà÷ó: äëÿ êàêîãî èç ýòèõóðàâíåíèé ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíîå êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå ñ çàìêíóòîé ëèíèåé óðîâíÿ?Ðåøåíèåì ïåðâîãî óðàâíåíèÿ â åäèíè÷íîì êðóãå ñ íóëåâûìè äàííûìè íà ãðàíèöå êðóãà áóäåòíåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå u = t2 + x2 − 1.  òîæå âðåìÿ, äëÿ âòîðîãî óðàâíåíèÿ (ê ýòîìó ìû âåðíåìñÿïîçäíåå) ñïðàâåäëèâ òàê íàçûâàåìûé ïðèíöèï ìàêñèìóìà, ò.å.
äëÿ êëàññè÷åñêèõ ðåøåíèé ìàêñèìóìè ìèíèìóì ðåøåíèÿ äîñòèãàþòñÿ íà ãðàíèöå îáëàñòè. Òîãäà åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì âòîðîãî óðàâíåíèÿñ íóëåâûìè äàííûìè íà ãðàíèöå êðóãà áóäåò òîëüêî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå u ≡ 0.Ðàññìîòðèì åùå îäèí ïðèìåð (óðàâíåíèå Òðèêîìè):∂x2 u + x ∂y2 u = 0Óðàâíåíèå äëÿ õàðàêòåðèñòèêSx2 + x Sy2 = 0,êîòîðîå â ãèïåðáîëè÷åñêîé çîíå x < 0 îïðåäåëÿåò äâà ñåìåéñòâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ õàðàêòåðèñòèêS ± = y − ϕ± (x),± ϕ0± =√2−x =⇒ ϕ(x) = ± (−x)3/2 + const3Çàìåíà22t = y + (−x)3/2 , z = y − (−x)3/233ïðèâîäèò óðàâíåíèå â ãèïåðáîëè÷åñêîé çîíå (x < 0)ê êàíîíè÷åñêîìó (ãèïåðáîëè÷åñêîìó) âèäó³3´2/3− (t − z)∂t ∂z u + .
. .4 ýëëèïòè÷åñêîé çîíå (x > 0):ϕ0 = i√xϕ(x) =2 3/2ix ,3S(x, y) = y −2 3/2ix3=⇒Ïåðâûé èíòåãðàëîïðåäåëÿåò çàìåíó ïåðåìåííûõx1 = Re S = y,i2 = −1.2x2 = Im S = − x3/2 ,3êîòîðàÿ ïðèâîäèò óðàâíåíèå Òðèêîìè ê êàíîíè÷åñêîìó (ýëëèïòè÷åñêîìó) âèäó â ýëëèïòè÷åñêîéçîíå (x > 0):³ 2 ´2/3 ³´− x2∂x21 + ∂x22 u + . . .3Ïðèëîæåíèå ê Ëåêöèè 3.Ïðèìåðû.
Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêàL u = a(x, y)∂x2 u + 2b(x, y)∂x ∂y u + c(x, y)∂y2 u = 0.Íåâûðîæäåííûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè S(x, y) = 0, ∇ S 6= 0, îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèåìa(x, y)Sx2 + 2b(x, y)Sx Sy + c(x, y)Sy2 = 0.(53)Èç íåâûðîæäåííîñòè ïîâåðõíîñòè S = 0 ìîæíî èñêàòü â âèäå S(x, y) = y − ϕ(x) ëèáî S(x, y) =x − ϕ(y). Îñòàíîâèìñÿ íà ïåðâîì ñëó÷àå. Òîãäà óðàâíåíèå (53) ïðèìåä âèäa(x, y)(ϕ0 )2 − 2b(x, y)ϕ0 + c(x, y) = 0,y = ϕ(x).(54)I. Åñëè b2 − ac > 0, èìååì:d ±ϕ = λ± (ϕ± , x),dxλ± =´p1³b ± b2 − ac .a ýòîì ñëó÷àå åñòü äâà ðàçëè÷íûõ âåùåñòâåííûõ êîðíÿ, ò.å.
äâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ïåðâûõèíòåãðàëà S ± = y − ϕ± (x), êîòîðûå îïðåäåëÿþò çàìåíó ïåðåìåííûõξ = S + (x, y),η = S − (x, y),â êîòîðîé óðàâíåíèå (53) ïðèìåò êàíîíè÷åñêèé (ãèïåðáîëè÷åñêèé) âèä(55)L u = Q(ξ, η)∂ξ ∂η u + . . . ,òî÷êàìè îáîçíà÷åíû ìëàäøèå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ. Êîýôôèöèåíòû ïðè ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ ∂ξ2 u, ∂η2 uðàâíû íóëþ â ñèëó õàðàêòåðèñòè÷íîñòè ïîâåðõíîñòåé S ± .
Çäåñü³´¯¯Q(ξ, η) = a(x, y)Sx+ Sx− + b(x, y)(Sx+ Sy− + Sx− Sy+ ) + c(x, y)Sy+ Sy− ¯6= 0,(56)x=x(ξ,η),y=y(ξ,η)ïîýòîìó óðàâíåíèå (55) ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ(57)∂ξ ∂η u + . . . ,Íåðàâåíñòâî (56) äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âîçìåì ëþáóþ òî÷êó x0 , y0 . Íå îñëàáëÿÿîáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â êîîðäèíàòàõ (x, y) â òî÷êå x0 , y0 êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìàa(x0 , y0 )X 2 + 2b(x0 , y0 )XY + c(x0 , y0 )Y 2 = µ1 X 2 + µ2 Y 2ïðèâåäåíà ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó. Òîãäàpϕ± (x0 ) = ± −µ2 /µ1 =⇒ µ1 Sx+ (x0 , y0 )Sx− (x0 , y0 ) + µ2 Sx+ (x0 , y0 )Sx− (x0 , y0 ) = 2µ2 6= 0.Òåïåðü ðàññìîòðèì ãëàâíóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (57)∂ξ ∂η v = ∂z2 v − ∂t2 v = 0(58)â ñèñòåìå êîîðäèíàò (t, z), ïîâåðíóòîé íà π/2 îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû êîîðäèíàò (ξ, η).
Èç (58)ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå êëàññè÷åñêîå ðåøåíèåv(t, z) = f (z − t) + g(z + t)ñ äâóìÿ ïðîèçâîëüíûìè ôóíêöèÿìè f, g . Îòñþäà ëåãêî ïîëó÷èòü ôîðìóëó Äàëàìáåðà ðåøåíèÿçàäà÷è Êîøè ñ äàííûìè Êîøè :v|t=0 = ϕ(z),âèäàv(t, x) =∂t v|t=0 = ψ(z),11(ϕ(z − t) + ϕ(z + t)) +22Zz+tψ(s)dsz−tÈç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî çíà÷åíèå ôóíêöèè v â òî÷êå (z, t) îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè äàííûõÊîøè ϕ(z), ψ(z) íà îòðåçêå z ∈ [(z − t), (z + t)], îòñåêàåìûì äâóìÿ õàðàêòåðèñòèêàìè, âûõîäÿùèìèèç òî÷êè (t, x), ÷òî ñâÿçàíî ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèÿ.II. Åñëè b2 − ac = 0, óðàâíåíèå (53) èìååò îäèí êðàòíûé âåùåñòâåííûé êîðåíüdb(x, y) ¯¯ϕ=,¯dxc(y, x) y=ϕ÷òî îïðåäåëÿåò ñåìåéñòâî õàðàêòåðèñòèê S(x, y) = y − ϕ(x) = const . Ñäåëàâ çàìåíó ïåðåìåíûõt = S(x, y), z = S1 (x, y), ãä嵶∇Sdet6= 0,∇ S1ïîëó÷èì êàíîíè÷åñêèé âèä óðàâíåíèÿ (53):Lu = Q(t, z)∂z2 u + .
. .³´¯¯Q(t, z) = a(x, y)(∂x S1 )2 + 2b(x, y)∂x S1 ∂y S1 + c(x, y)(∂y S1 )2 ¯x=x(t,z),y=y(t,z)6= 0,òàê êàê S1 = const íå ÿâëÿþòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè. Ãëàâíîé ÷àñòüþ ýòîãî óðàâíåíèÿìîæåò áûòü óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè∂z2 v − ∂t v = 0,êîòîðîå ïðè t > 0 èìååò ðåøåíèå³ z2 ´1E(t, z) = √ exp −>04tt òîæå âðåìÿ, äëÿ ëþáîãî z 6= 0E(t, z) → 0∀t > 0, z ∈ R1 .t → 0.Òàêèì îáðàçîì, òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ïðè t = 0 äëÿ t > 0 ïîðîæäàåò ðåøåíèå íåðàâíîå íóëþ äëÿëþáîãî z ∈ R1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
