Е.В. Радкевич - Лекции по урматфизу (1120444), страница 8
Текст из файла (страница 8)
 ñàìîì äåëå, åñëè f ìàëî â íîðìå ïðîñòðàíñòâà L2 (Ω) è ψìàëî â íîðìå L2 (G), òî è u ìàëî ³â íîðìå´ L2 (Ω).e u ≥ (u, u) íå îãðàíè÷èâàåò îáùíîñòè íàøèõ ðàññìîòðåíèé.Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî óñëîâèå Bu,Ïóñòü îíî íå âûïîëíåíî. Ñäåëàåì çàìåíó èñêîìîé ôóíêöèè v = ue−µt , ãäå µ íåêîòîðàÿêîíñòàíòà, êîòîðóþ è âûáåðåì íèæå. Íîâûé âåêòîð v óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìåvt +nXAj vxj + Bv + µEv = f e−µt .j=1Êîíñòàíòó µ > 0 âûáåðåì äîñòàòî÷íî áîëüøîé, ÷òîáû äëÿ íîâîé ñèñòåìû ìàòðèöàe = 2B + 2µE −BnXAjxjj=1³´e u ≥ (u, u).óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèþ Bu,¯¯Òàê êàê v ¯t=0 = u¯t=0 = ψ(x), òî ýíåðãåòè÷åñêîå íåðàâåíñòâî äëÿ v ïðèìåò âèäZZZ¡ −µt¢¡ −µt¢ue , ue−µt dx ≤(ψ, ψ) dx +f e , f e−µt dxdtGτGΩτèëè·ZZ(u, u)dx ≤ e−µTGτ¸(f, f )dxdt .Z(ψ, ψ)dx +GΩτÒàê êàê µ, ïðè ôèêñèðîâàííîì T , çàâèñèò òîëüêî îò êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû (3.1) è íå çàâèñèòîò ïðàâîé ÷àñòè, òî èç ýòîãî íåðàâåíñòâà ñðàçó ñëåäóþò òåîðåìû î åäèíñòâåííîñòè è íåïðåðûâíîéçàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè îò íà÷àëüíûõ äàííûõ è ïðàâîé ÷àñòè (êîððåêòíîñòü çàäà÷èÊîøè â êëàññå êëàññè÷åñêèõ ðåøåíèé).Ïðèëîæåíèå ê Ëåêöèè 4.Çàäà÷èËåöèÿ V.
Îáîáùåííûå ôóíêöèè. Îñíîâíûå ñâîéñòâà Òåïåðü îñëàáèìóñëîâèÿ ãëàäêîñòè ðåøåíèé (3.1). Äëÿ ýòîãî ñôîðìóëèðóåì íåîáõîäèìûå â äàëüíåéøåì ïîíÿòèÿè óòâåðæäåíèÿ. Ïóñòü C ∞ (Rn ) ïðîñòðàíñòâî áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ â Rn ôóíêöèé.Îïðåäåëèì êëàññ S ôóíêöèé Øâàðöà: ôóíêöèÿ u(x) ïðèíàäëåæèò S , åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ:1. u(x) ∈ C ∞ (Rn );2. äëÿ ëþáûõ ìóëüòèèíäåêñîâ α, β ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà Mα,β òàêàÿ, ÷òî¯ β α ¯¯x D u¯ ≤ Mα,β . êëàññå S îïðåäåëåíî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ïåðåâîäÿùåå S â S ïî ôîðìóëå:Zub(ξ) =e−i(x,ξ) u(x)dx.RnÍîðìó â S ìîæíî ââåñòè ñëåäóþùèì îáðàçîì:Z X22|Dα u| dx,kuks =s = 0, 1, 2, .
. .Rn |α|≤s(äëÿ ôóíêöèé u(x) ∈ S òàêèå èíòåãðàëû àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ).Îïðåäåëåíèå 0.6 Ïðîñòðàíñòâîì Hs íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâî, ïîëó÷åííîå çàìûêàíèåì S ïîíîðìå kuks .Ïðè s = 0 ïîëó÷èì H0 = L2 (Rn ). Êàê çàäà÷ó ìîæíî ïðåäëîæèòü ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿÏðåäëîæåíèå 0.2 Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {um (x)}, um (x) ∈ S , ôóíäàìåíòàëüíà â íîðìåkuks . Òîãäà èç îãðàíè÷åííîñòè kum ks ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ó ïðåäåëüíîé ôóíêöèè îáîáùåííûõïðîèçâîäíûõ äî ïîðÿäêà s âêëþ÷èòåëüíî, ñóììèðóåìûõ â êâàäðàòå.Ïðåäëîæåíèå 0.3 Ïðîñòðàíñòâî Hs ñîäåðæèò âñå ôóíêöèè, ó êîòîðûõ ñóùåñòâóþò îáîáùåííûåïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà s, ñóììèðóåìûå â êâàäðàòå.Òåïåðü ââåäåì â Hs ýêâèâàëåíòíóþ íîðìó. Ïóñòü u, v ∈ S , òîãäà èç ðàâåíñòâà ÏàðñåâàëÿZZnuvdx =ub(ξ)bv (ξ)dξ.(2π)RnRnÅñëè ïîëîæèòü u = u, ïîëó÷èìZZ|u|2 dx =(2π)nRn|bu(ξ)|2 dξRnãäå v− ôóíêöèþ, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííóþ ê u.
Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ôóíêöèè u(x) ñïðàâåäëèâàα u = (iξ)α udôîðìóëà Db(ξ). Ïîýòîìó kuks ìîæíî çàïèñàòü â âèäåZ X ¯Z X¯2¯¯d2kuk2s = (2π)−nξ 2α |bu(ξ)| dξ.¯Dα u¯ dξ = (2π)−nRn |α|≤sRn |α|≤sò.å. kuks ýêâèâàëåíòíà íîðìå, çàäàâàåìîé ôîðìóëîé:Z¡¢s21 + |ξ|2 |bu(ξ)| dξ.kuk2s = (2π)−nRnÏðèëîæåíèå ê Ëåêöèè 5.Çàäà÷èËåêöèÿ VI. Ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿÏðèëîæåíèå ê Ëåêöèè 6.Çàäà÷èËåêöèÿ VII. Òåîðåìû âëîæåíèÿÒåîðåìà 0.3 (Ñîáîëåâ) Ïóñòü u ∈ Hl+k (l, k ≥ 0 öåëûå). Òîãäà, åñëè 2l > n, òî ôóíêöèÿ u(x)èìååò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå âî âñåì ïðîñòðàíñòâå Rn äî ïîðÿäêà k âêëþ÷èòåëüíî.
Äðóãèìèñëîâàìè Hl+k ⊂ C k (Rn ) ïðè n < 2l.Áîëåå òîãî åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {um }, um ∈ Hl+k , ñõîäèòñÿ â íîðìå ïðîñòðàíñòâà Hl+k ,òî îíà ñõîäèòñÿ è â íîðìå ïðîñòðàíñòâà C k (Rn ).ÇäåñükukC k = sup³ Xx∈Rn´|Dα u| .|α|≤kÄîêàçàòåëüñòâî Äëÿ u(x) ∈ S èìååìZZα udξ = (2π)−ndei(x,ξ) DDα u = (2π)−nÎòñþäàX|Dα u| =|α|≤kZ≤ C1RnX¯Z¯(2π)−n ¯¯|α|≤k(iξ)α ub(ξ)dξ.RnRnRn¯Z¯(iξ)α ub(ξ)dξ ¯¯ ≤ (2π)−n¡¢k/2|bu(ξ)| dξ = C11 + |ξ|2XRnZ¡1 + |ξ|2¢(k+l)/2 ¡|ξ|α |bu(ξ)|dξ|α|≤k1 + |ξ|2¢−l/2|bu(ξ)| dξ.RnÇäåñü êîíñòàíòà C1 çàâèñèò òîëüêî îò k . Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî, ïîëó÷èìsZsZXk+l−l|Dα u| ≤ C1(1 + |ξ|2 )|bu(ξ)| dξ ·(1 + |ξ|2 ) dξ.|α|≤kÒàê êàê 2l > n, òîRnZRnRn¢−l¡dξ < ∞.1 + |ξ|2C ó÷åòîì ýêâèâàëåíòíîñòè ââåäåííûõ â Hl+k íîðì èìååìX|Dα u(x)| ≤ Ckukl+k .|α|≤kÝòà îöåíêà ðàâíîìåðíà ïî x ∈ Rn , ïîýòîìó äëÿ âñåõ u ∈ SkukC k ≤ C kukl+k .(3.7)Òåïåðü ïóñòü um ∈ S , m = 1, 2, .
. . , è um → u ∈ Hl+k â íîðìå ïðîñòðàíñòâà Hl+k . Åñëèìû äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {um } ôóíäàìåíòàëüíà â íîðìå C k (Rn ), òî â ñèëó ïîëíîòûïîñëåäíåãî ïðîñòðàíñòâà òåîðåìà áóäåò ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Èç íåðàâåíñòâà (3.7) ñëåäóåò, ÷òîkum1 − um2 kC k ≤ C kum1 − um2 kl+k .Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {um } ôóíäàìåíòàëüíà â Hl+k , òî åñòü kum1 − um2 kl+k → 0 ïðè m1 , m2 → ∞.Ïîýòîìó kum1 − um2 kC k → 0 ïðè m1 , m2 → ∞.
Çíà÷èò, {um } ôóíäàìåíòàëüíà â C k (Rn ). Òåîðåìàäîêàçàíà.Òåïåðü ðàññìîòðèì îïåðàòîð îãàíè÷åíèÿ íà ìíîãîîáðàçèå Γ ∈ Rn êîðàçìåðíîñòè 1. Íàñ áóäåòèíòåðåñîâàòü ïðîñòåéøèé ñëó÷àé îãðàíè÷åíèÿ íà ïëîñêîñòü x1 = 0 (ñìåøííàÿ çàäà÷à) èëè t = 0(çàäà÷à Êîøè).Òåîðåìà 0.4 (Òåîðåìà î ñëåäå) Äëÿ ëþáîãî s > 1/2 îïåðàòîð âëîæåíèÿH s (Rn ) ⇒ H s−1/2 (Rn−1 )íåïðåðûâåí, ò.å.||H s−1/2 (Rn−1 )|| ≤ Cs ||u; H s (Rn )||,∀u ∈ H s (Rn ).(71)Ïîñòîÿííàÿ Cs -íå çàâèñèò îò u.Äîêàçàòåëüñòâî Ðàññìîòðèì ñëó÷àé Γ = {x1 = 0}.
 ñèëó ïîëíîòû ïðîñòðíñòâà Øâàðöà S âH s , äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ðàâíîìåðíîñòü â S îöåíêè (71). Ïóñòü uj → u â H s , uj ∈ S . Ïî ôîðìóëåñâÿçè ÷àñòè÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïî x0 (x = (x1 , x0 )) è ïîëíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äëÿôóíêöèé uj ∈ S èìååìZubj (x1 , ξ 0 ) =eix1 ξ1 uej (ξ1 , ξ 0 )dξ1ÎòñþäàZ0ubj (0, ξ ) =uej (ξ1 , ξ 0 )dξ1Òàêèì îáðàçîì, ìû îïðåäåëèëè ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îãðàíè÷åíèÿ ãëàäêîé ôóíêöèè uj íà ïëîñêîñòüx1 = 0. Îòñþäà, èç ôîðìóëå Ãåëüäåðà, ñëåäóåò, ÷òî³Z´ Zdξ1|ubj (0, ξ 0 )|2 ≤(1 + |ξ|2 )s |uej (ξ1 , ξ 0 )|2 dξ1 ×(1 + |ξ|2 )sÑäåëàâ çàìåíó ξ1 = (1 + |ξ 0 |2 )s/2 z , ïîëó÷èìZZdξ10 2 s−1/2=(1+|ξ|)(1 + |ξ|2 )sdz.(1 + z 2 )sÎ÷åâèäíî, ïîñëåäíèé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, åñëès > 1/2,÷òî îïðåäåëÿåò îãðàíè÷åíèÿ äëÿ s â òåîðåìå î ñëåäå.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîZZZ(1 + |ξ 0 |2 )s−1/2 |ubj (0, ξ 0 )|2 dξ 0 ≤ Cs2(1 + |ξ|2 )s |uej (ξ1 , ξ 0 )|2 dξ1 dξ 0 , Cs2 =dz.(1 + z 2 )sÏî ðàâåíñòâó ÏàðñåâàëÿZ||uj ; Hñëåäîâàòåëüíîs−1/2(Rn−12(1 + |ξ 0 |2 )s−1/2 |ubj (0, ξ 0 )|2 dξ 0 ,)|| =||uj ; H s−1/2 (Rn−1 )|| ≤ Cs ||uj ; H s (Rn )||.Ïî íåïðåðûâíîñòè ïîëó÷èì òðåáóåìûé ðåçóëüòàò, ÷òî||u; H s−1/2 (Rn−1 )|| ≤ Cs ||u; H s (Rn )||,∀u ∈ H s (Rn ).Çäåñü óìåñòî çàìå÷àíèå, ÷òî è â òåîðåìå âëîæåíèÿ.  êàêîì ñìûñëå ìâ ïîíèìàåì îãðàíè÷åíèåôóíêöèè èç H s , ò.å.
ðåãóëÿðíûõ ðàñïðåäåëåíèé (ôóíêöèé èç L2 ). Ïîíèìàòü íóæíî â òîì ñìûñëå, ÷òîâ êëàññå ñìåæíîñòè ôóíêöèè u èç H s íàéäåòñÿ åäèíñòâåííàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, îòëè÷àþùàÿñÿ îòu íà ìåðå íóëü, îãðàíè÷åíèå êîòîðîé íà ïëîñêîñòü x1 = 0 ïðèíàäëåæèò êëàññó ñìåæíîñòè ôóíêöèèu|x1 =0 ∈ H s−1/2 (Rn − 1).Òåïåðü äîêàæåì ïðåäêîìïàêòíîñòü îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà H s1 â H s2 ïðè s2 +1 ≤ s1 . Íåïðåðûâåðñòüîïåðàòîðà âëîæåíèå H s1 (Rn ) ⊂ H s2 (Rn ) î÷åâèäíî.Òåîðåìà 0.5 (Òåîðåìà î êîìïàêòíîñòè âëîæåíèÿ) Äëÿ ëþáûõ s2 +1 < s1 ëþáîå îãðàíè÷åííîåìíîæåñòâî F ôóíêöèé â H s1 , íîñèòåëü êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò îãðàíè÷åííîìó çàìêíóòîìó ìíîæåñòâó◦1Ω ∈ Rn ( ò.å. F ∈ H (Ω)) ïðåäêîìïàêòíî â H s2 .Íàïîìíèì, ÷òî êîìïàêòíîñòü ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A : E1 → E2 , ãäå Ej áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà,îçíà÷àåò, ÷òî îáðàç åäèíè÷íîãî øàðà B1 = {x ∈ E1 , ||x||E1 ≤ 1} ÿâëÿåòñÿ ïðåäêîìïàêòíûììíîæåñòâîì â E2 .
Ïðåäêîìïàêòíîñòü ìíîæåñòâà F , ëåæàùåãî â ïîëíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâåE , ïî îïðåäåëåíèþ îçíà÷àåò, ÷òî îíî âïîëíå îãðàíè÷åíî, ò.å. äëÿ ëþáîãî ε > 0 èìååò êîíå÷íóþε− ñåòü ( êîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åê x1 , . . . , xN ∈ E , òàêèõ ÷òî äëÿ ëþáîé x ∈ Q íàéäåòñÿ èíäåêñk = k(x), ÷òî %(x, xk ) < ε, ãäå %− ìåòðèêà E ). Ïóñòü O1 (Ω) 1-îêðåñòíîñòü ìíîæåñòâà Ω. Ðàññìîòðèìïðîñòðàíñòâî C(O1 ) íåïðåðûâíûõ êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé íà O1 . Ïóñòü F ∈ C(O1 ). ÒåîðåìàÀðöåëÿ äàåò êðèòåðèé ïðåäêîìïàêòíîñòè F .
Ìíîæåñòâî F ïðåäêîìïàêòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà îíî ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíî è ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíî, ò.å. sup |f (x)| ≤ M, ∀ f ∈ F è ÷òîäëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ = δ(ε) > 0, ÷òî |f (x0 ) − f (x”)| ≤ ε, ∀ x0 , x” ∈ F .Îòìåòèì î÷åâèäíîå ñëåäñòâèå îáùèõ ôàêòîà î êîìïàêòíîñòè. Åñëè Q ⊂ E ïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãîïðîñòðàíñòâà E , òî äëÿ ïðåäêîìïàêòíîñòè Q äîñòàòî÷íî ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâîâàëîïðåäêîìïàêòíîå ìíîæåñòâî Qε ∈ E , ÷òî Q ëåæèò â ε− îêðåñòíîñòè ìíîæåñòâà Qε .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
